专题03二次函数的几何综合（期中复习讲义）九年级数学上学期浙教版

专题03 二次函数与几何综合（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数与线段周长问题 掌握用坐标表示线段长度的方法（利用距离公式或绝对值），学会将周长问题转化为线段和差（如利用轴对称 “化曲为直”），结合二次函数解析式求周长最值或定值。 高频中档题，解答题为主，常结合 “将军饮马” 模型，易因线段长度计算错误（忽略坐标正负）或转化思路不当出错，是综合题的基础题型。 二次函数与面积问题 掌握用 “割补法”“铅垂法” 表示二次函数图像与几何图形（三角形、四边形）围成的面积，学会列面积关于动点坐标的二次函数表达式，求面积最值或定值。 必考高频题，解答题核心，占分比高，常考 “动点带动面积变化”，易因面积公式误用（如铅垂法中底高对应错误）或动点范围忽略出错。 二次函数与角度问题 掌握用 “斜率求夹角”“三角函数”“全等 / 相似” 表示二次函数图像中角的关系，学会通过列方程（如 tan 值相等、角度和差）求解动点坐标或证明角相等 / 互补。 中档偏难题，解答题小问或压轴，常结合特殊角（30°、45°、60°），易因三角函数定义混淆（对边 / 邻边找错）或角度转化思路不清晰出错。 二次函数与直角三角形问题 掌握直角三角形的判定方法（勾股定理、两直角边斜率乘积为 - 1、直径所对圆周角为直角），学会设动点坐标，分情况讨论直角顶点，列方程求解动点位置。 高频压轴题，解答题为主，需分类讨论（3 种可能的直角顶点），易因漏情况（忽略某一顶点为直角）或勾股定理计算失误出错，是拉开分数的关键题型。 二次函数与等腰三角形问题 掌握等腰三角形的判定方法（两边相等、两点到第三点距离相等），学会设动点坐标，分情况讨论等腰顶点（3 种情况），结合距离公式列方程求解动点坐标。 高频压轴题，解答题为主，分类讨论是核心，易因漏情况（如忽略 “腰底互换”）或解方程后未检验动点是否在函数图像上出错。 二次函数与平行四边形问题 掌握平行四边形的判定条件（对边平行且相等、对角线互相平分、一组对边平行且相等等），学会利用 “中点坐标公式” 或 “向量平移” 列方程，求解平行四边形的动点坐标。 中档偏难题，解答题压轴常见，需分情况讨论（以不同线段为对角线或边），易因判定条件误用（如混淆对边与邻边）或中点坐标计算错误出错。 二次函数与特殊平行四边形 掌握矩形（对角线相等、有一个直角）、菱形（邻边相等、对角线垂直）、正方形（兼具矩形与菱形性质）的特殊判定条件，学会结合二次函数图像的顶点、交点坐标，列方程求解符合条件的动点。 压轴难题，解答题为主，常在 “平行四边形” 基础上增加特殊条件，易因特殊性质遗漏（如菱形的对角线垂直、正方形的边相等且角为直角）或分类讨论不全出错。 二次函数与相似三角形问题 掌握相似三角形的判定定理，学会结合二次函数图像中的定角（如与 x 轴夹角），设动点坐标表示对应边的比例关系，列方程求解动点或证明相似。 压轴难题，解答题为主，常考 “动态相似”（动点运动中保持相似），易因相似比对应错误（混淆对应边）或定角识别不清（忽略函数图像中的已知角）出错。 知识点01.二次函数与几何图形的交点问题 ①与直线的交点：联立方程 ax2 + bx + c = mx + n，转化为二次方程求解。 ②与圆的交点：联立圆方程与抛物线方程，结合几何条件分析。 ③相切问题：利用判别式 Δ = 0， 求参数（如切线条件）。 知识点02.几何图形的性质与二次函数结合 ①三角形与四边形：计算面积（分割法、顶点坐标公式）、周长，判断形状（如等腰、直角）。 ②对称性：抛物线的对称轴与几何图形对称轴的关系。 ③动点问题：设动点坐标为参数，通过几何条件（如距离、斜率）建立方程求解。 知识点03.存在性问题 ①点的存在性：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰/直角三角形，需构造方程验证解的存在性。 ②图形的存在性*：如平行四边形、菱形等，通过几何条件联立方程求解。 题型一 二次函数与线段周长问题 解｜题｜技｜巧 ◦设动点坐标（用二次函数表达式表示纵坐标）； ◦利用对称点转化折线（如作某定点关于抛物线对称轴 / 坐标轴的对称点）； ◦用两点间距离公式表示线段长度，求和后结合二次函数性质求最值。 【典例1】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【变式2】如图①，是抛物线上任意一点，是过点且与轴平行的直线，过点作直线，垂足为． (1)当时，，；当时，，； (2)对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图②，已知线段，端点在抛物线上滑动，直接写出两点到直线的距离之和的最小值． 题型二 二次函数与面积问题 解｜题｜技｜巧 ◦确定图形边界（固定点坐标 + 动点坐标）； ◦选方法：①底高法（水平 / 垂直边为底，对应高为纵坐标 / 横坐标差）；②割补法（拆为三角形、矩形，避免斜向边计算）； ◦列面积函数（含动点坐标的二次函数），结合自变量取值范围求最值。 【典例1】如图1，直线与轴、轴分别交于，两点，经过，两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)连接，在线段上的一个动点（不与，重合），过点作直线轴，交抛物线于点，交轴于点，连接，．设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值； (3)过点作直线轴，交线段于点，如图2，点是轴上一点，当面积最大时，求点的坐标． 【变式1】已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【变式2】综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【变式3】如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【变式4】如图，已知抛物线经过，两点. (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图，动点P在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点P的坐标. 题型三 二次函数与角度问题 【典例1】如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为 ． 【变式1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【变式2】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 题型四 二次函数与直角三角形问题 解｜题｜技｜巧 ◦设动点坐标（P(x, ax2+bx+c)），固定另外两点（如Aã��B）； ◦分三类：①∠P 为直角（PA2+PB2=AB2）；②∠A 为直角（PA2+AB2=PB2）；③∠B 为直角（PB2+AB2=PA2）； ◦解方程求动点坐标，验证是否在抛物线上。 【典例1】定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则 ． 【变式1】如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【变式2】如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 题型五 二次函数与等腰三角形问题 解｜题｜技｜巧 ◦设动点P，固定两点Aã��B，分三类：①PA=PB（P在AB垂直平分线上）；②PA=AB（用距离公式列方程）；③PB=AB（同上）； ◦化简方程求x，排除与Aã��B重合的点，验证是否在抛物线上。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【变式2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 二次函数与平行四边形问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，，连接． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小，请求出点M的坐标． (3)若P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的坐标． 【变式1】如图，抛物线与轴交、两点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上有一动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点的坐标． 【变式2】如图，已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，作于，当时，求点的坐标； (3)若点是直线上一点（不与点，重合），是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 二次函数与特殊平行四边形 解｜题｜技｜巧 ◦分析已知三角形的角 / 边，确定动点构成的三角形与已知三角形的对应顶点； ◦选方法：①三边成比例（用距离公式算边长）；②两边成比例且夹角相等； ◦列比例方程，求解动点坐标，验证相似条件。 【典例1】已知二次函数，点． (1)若点P在二次函数的图象上，求m的值； (2)当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标； (3)已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围． 【变式1】如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 【变式3】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【变式4】如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 题型八 二次函数与形似三角形问题（跨章节问题） 解｜题｜技｜巧 按角分类的本质是判断 “最大角的度数范围”，无需逐一分析所有角，直接聚焦最大角即可： 若最大角＜90° → 锐角三角形（其余两角必为锐角）； 若最大角 = 90° → 直角三角形（勾股定理逆定理可辅助验证）； 若最大角＞90° 且＜180° → 钝角三角形（其余两角必为锐角）。 关键逻辑：三角形内角和为 180°，若最大角是锐角，另外两个角必然也是锐角；若最大角是直角或钝角，不可能再出现第二个直角 / 钝角（否则内角和会超过 180°）。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【变式1】如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【变式2】已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图二次函数图象与轴交于，两点（点在轴的负半轴），与轴交于一点，过作轴交图象于点，连结，，若，则点的横坐标为　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，已知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 8．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴的下方，若点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若D是抛物线上一点，且满足，求点D的坐标． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为−3，与y轴交点C的纵坐标为−3，满足＝，称为友好函数． (1)判断是否为友好函数，并说明理由； (2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系； (3)若是友好函数，为锐角，求c的取值范围． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点和，与y轴相交于点C，且经过点，过点D作，交y轴于点E，连结． (1)当时，求这个二次函数的表达式． (2)试用含m的代数式表示点C的坐标． (3)作点D关于的对称点，连结．当的面积等于1时，请直接写出m的值． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 7．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2021·浙江·中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）连结，交抛物线L的对称轴于点M． ①求点M的坐标； ②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值． 3．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 4．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 5．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上． （1）当m=5时，求n的值． （2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围． （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与几何综合（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数与线段周长问题 掌握用坐标表示线段长度的方法（利用距离公式或绝对值），学会将周长问题转化为线段和差（如利用轴对称 “化曲为直”），结合二次函数解析式求周长最值或定值。 高频中档题，解答题为主，常结合 “将军饮马” 模型，易因线段长度计算错误（忽略坐标正负）或转化思路不当出错，是综合题的基础题型。 二次函数与面积问题 掌握用 “割补法”“铅垂法” 表示二次函数图像与几何图形（三角形、四边形）围成的面积，学会列面积关于动点坐标的二次函数表达式，求面积最值或定值。 必考高频题，解答题核心，占分比高，常考 “动点带动面积变化”，易因面积公式误用（如铅垂法中底高对应错误）或动点范围忽略出错。 二次函数与角度问题 掌握用 “斜率求夹角”“三角函数”“全等 / 相似” 表示二次函数图像中角的关系，学会通过列方程（如 tan 值相等、角度和差）求解动点坐标或证明角相等 / 互补。 中档偏难题，解答题小问或压轴，常结合特殊角（30°、45°、60°），易因三角函数定义混淆（对边 / 邻边找错）或角度转化思路不清晰出错。 二次函数与直角三角形问题 掌握直角三角形的判定方法（勾股定理、两直角边斜率乘积为 - 1、直径所对圆周角为直角），学会设动点坐标，分情况讨论直角顶点，列方程求解动点位置。 高频压轴题，解答题为主，需分类讨论（3 种可能的直角顶点），易因漏情况（忽略某一顶点为直角）或勾股定理计算失误出错，是拉开分数的关键题型。 二次函数与等腰三角形问题 掌握等腰三角形的判定方法（两边相等、两点到第三点距离相等），学会设动点坐标，分情况讨论等腰顶点（3 种情况），结合距离公式列方程求解动点坐标。 高频压轴题，解答题为主，分类讨论是核心，易因漏情况（如忽略 “腰底互换”）或解方程后未检验动点是否在函数图像上出错。 二次函数与平行四边形问题 掌握平行四边形的判定条件（对边平行且相等、对角线互相平分、一组对边平行且相等等），学会利用 “中点坐标公式” 或 “向量平移” 列方程，求解平行四边形的动点坐标。 中档偏难题，解答题压轴常见，需分情况讨论（以不同线段为对角线或边），易因判定条件误用（如混淆对边与邻边）或中点坐标计算错误出错。 二次函数与特殊平行四边形 掌握矩形（对角线相等、有一个直角）、菱形（邻边相等、对角线垂直）、正方形（兼具矩形与菱形性质）的特殊判定条件，学会结合二次函数图像的顶点、交点坐标，列方程求解符合条件的动点。 压轴难题，解答题为主，常在 “平行四边形” 基础上增加特殊条件，易因特殊性质遗漏（如菱形的对角线垂直、正方形的边相等且角为直角）或分类讨论不全出错。 二次函数与相似三角形问题 掌握相似三角形的判定定理，学会结合二次函数图像中的定角（如与 x 轴夹角），设动点坐标表示对应边的比例关系，列方程求解动点或证明相似。 压轴难题，解答题为主，常考 “动态相似”（动点运动中保持相似），易因相似比对应错误（混淆对应边）或定角识别不清（忽略函数图像中的已知角）出错。 知识点01.二次函数与几何图形的交点问题 ①与直线的交点：联立方程 ax2 + bx + c = mx + n，转化为二次方程求解。 ②与圆的交点：联立圆方程与抛物线方程，结合几何条件分析。 ③相切问题：利用判别式 Δ = 0， 求参数（如切线条件）。 知识点02.几何图形的性质与二次函数结合 ①三角形与四边形：计算面积（分割法、顶点坐标公式）、周长，判断形状（如等腰、直角）。 ②对称性：抛物线的对称轴与几何图形对称轴的关系。 ③动点问题：设动点坐标为参数，通过几何条件（如距离、斜率）建立方程求解。 知识点03.存在性问题 ①点的存在性：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰/直角三角形，需构造方程验证解的存在性。 ②图形的存在性*：如平行四边形、菱形等，通过几何条件联立方程求解。 题型一 二次函数与线段周长问题 解｜题｜技｜巧 ◦设动点坐标（用二次函数表达式表示纵坐标）； ◦利用对称点转化折线（如作某定点关于抛物线对称轴 / 坐标轴的对称点）； ◦用两点间距离公式表示线段长度，求和后结合二次函数性质求最值。 【典例1】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 【变式1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 【变式2】如图①，是抛物线上任意一点，是过点且与轴平行的直线，过点作直线，垂足为． (1)当时，，；当时，，； (2)对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图②，已知线段，端点在抛物线上滑动，直接写出两点到直线的距离之和的最小值． 【答案】(1)1，1；5，5 (2)；证明见解析 (3)6 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）在二次函数的解析式中，令和4，求出对应y的值，确定P的坐标，从而可求长度； （2）由（1）可猜想：，设，求出比较即可证明； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，由（1）知，，分为不过点和过点两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，，即，； 当时，，即，； 故答案为：1，1；5，5； （2）解：猜想：，证明如下： 设， 则， ， ∴； （3）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，此时即为点到直线的距离，即为点到直线的距离． ①当不过点时，连接． 在中，，由（2）得，， ∴； ②当过点时， ， ∴的最小值为6． 题型二 二次函数与面积问题 解｜题｜技｜巧 ◦确定图形边界（固定点坐标 + 动点坐标）； ◦选方法：①底高法（水平 / 垂直边为底，对应高为纵坐标 / 横坐标差）；②割补法（拆为三角形、矩形，避免斜向边计算）； ◦列面积函数（含动点坐标的二次函数），结合自变量取值范围求最值。 【典例1】如图1，直线与轴、轴分别交于，两点，经过，两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)连接，在线段上的一个动点（不与，重合），过点作直线轴，交抛物线于点，交轴于点，连接，．设点的横坐标为，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值； (3)过点作直线轴，交线段于点，如图2，点是轴上一点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，主要利用了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值问题，根据两函数图像解析式表示出是解题关键． （1）根据直线解析式令，求得点的坐标，令求得点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据直线和抛物线解析式表示出线段的长度，再根据点在线段上确定的取值范围，把求得的二次函数解析式整理成顶点式，然后根据最值问题求出的最大值； （3）求出直线的表达式，设，表示的面积，化成顶点式求出最大值，即得答案． 【详解】（1）解：对于直线，令，得，令，得， ， 设抛物线对应的函数表达式为， ，解得：， 抛物线的函数表达式为，即； （2）解：设，则， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）设直线的表达式为， 把和代入得： ，解得：， 则直线表达式为， 设， ， 面积为：， 当时，面积最大，此时点的坐标为． 【变式1】已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 【变式2】综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【答案】（1）；（2）或；（3）解析式为，顶点式为． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出直线的解析式，然后求出点，设点E的坐标为，可得点，，从而得到，，再根据，分两种情况解答即可； （3）过点P作轴交于点Q，由（2）得：点，，从而得到，再由，即可列出函数解析式． 【详解】解：（1）把点，代入得： ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 即， 解得：，， ∴点， 设点E的坐标为， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∵， 当点N在M的上方时，此时， ， 解得：或4（舍去）， 此时点的坐标为； 当点N在M的下方时，此时或， 若点M，N均在x轴上方，此时， ， 解得：或（舍去） 此时点的坐标为； 若点M，N均在x轴下方，此时， ， 解得：或4，均不符合题意； 综上所述，点的坐标为或； （3）过点P作轴交于点Q， 由（2）得：点，， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答即可． 【变式3】如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式4】如图，已知抛物线经过，两点. (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图，动点P在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点P的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)的面积的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质． （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后可求得b、c的值，于是可得到抛物线的解析式，设直线的解析式为，将点A、B的坐标代入可求得k、n的值，可得到直线的解析式； （2）过点P作轴，垂足为C，交与点D．设点P的坐标为，则，然后列出的长与a的函数关系式，利用配方法可求得的最大值，以及点P的坐标，然后依据的面积可求得的面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，将点A和点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示：过点P作轴，垂足为C，交于点D． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴当时，有最大值，即的面积有最大值，的最大值为， ∴， ∵的面积， ∴当的最大值为时，的面积最大，最大面积为， ∴的面积的最大值为，此时点P的坐标为． 题型三 二次函数与角度问题 【典例1】如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得的坐标是解题的关键． 根据平移的性质求得交点Q的坐标，得到解析式，代入C求得Q的坐标， 过作交于，利用为等边三角形，则，构建方程求解即可． 【详解】如图，过作交于， 根据题意， 抛物线，代入得， 若，由图易知为等边三角形， ，即， 则，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 【变式1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式2】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 题型四 二次函数与直角三角形问题 解｜题｜技｜巧 ◦设动点坐标（P(x, ax2+bx+c)），固定另外两点（如Aã��B）； ◦分三类：①∠P 为直角（PA2+PB2=AB2）；②∠A 为直角（PA2+AB2=PB2）；③∠B 为直角（PB2+AB2=PA2）； ◦解方程求动点坐标，验证是否在抛物线上。 【典例1】定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，根据抛物线解析式，可得定点，进而可证明为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得交点坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； 【详解】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 【变式1】如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 【变式2】如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型五 二次函数与等腰三角形问题 解｜题｜技｜巧 ◦设动点P，固定两点Aã��B，分三类：①PA=PB（P在AB垂直平分线上）；②PA=AB（用距离公式列方程）；③PB=AB（同上）； ◦化简方程求x，排除与Aã��B重合的点，验证是否在抛物线上。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键． 【变式2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为， (3)存在，当是等腰三角形时，则点或或或或． 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键． （1）把点和点分别代入解析式进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线，设， ，那么，由于，则，再利用二次函数的性质求解即可； （3）可求，直线，由，可得直线，可设点，然后由题意可分①当，②当，③，进而根据两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把点和点分别代入解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， ∴， 解得：， ∴直线， 设， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为，此时； （3）解：直线l上存在点P，使是等腰三角形，理由如下： ∵的横坐标为， ∴纵坐标为：， ∴ ∵，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， ∵， ∴设直线， 代入， 则，解得：， ∴直线， 可设点，则有： ∵点，， ∴①当时，则有：， 解得：， ∴， ∴点； ②当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； ③当时，则有：， 解得：， ∴或， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形时，则点或或或或． 题型六 二次函数与平行四边形问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，，连接． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小，请求出点M的坐标． (3)若P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 【变式1】如图，抛物线与轴交、两点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上有一动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握菱形的性质、平行四边形的性质是解决本题的关键． （1）把、代入，转化为解方程组即可； （2）当以为对角线，利用和四边形为平行四边形得到四边形为菱形，则点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点；当以为边时，根据平行四边形的性质得到，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标． 【详解】（1）解：把、代入， 则有， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，点M的坐标为； 当以为对角线， ∵四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ∴与互相垂直平分， ∴点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点， ∴点坐标为； 当以为边时， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴的横坐标为， 当时，， 同理当四边形是平行四边形时，可得点的横坐标为5， 当时，， ∴， 综上所述，点M的坐标为或或． 【变式2】如图，已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，作于，当时，求点的坐标； (3)若点是直线上一点（不与点，重合），是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，则点，则可得，而，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 设点，则点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得：（舍去）或， 即点； （3）解：存在，理由： 设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得或， ∴点（舍去）或； 同理：当为对角线时， ， 解得（舍去）或， ∴点； 当为对角线时， ， 由得． 把代入并理得， ∵， ∴一元二次方程无实数解， ∴原方程组无实数解； 综上，点的坐标为 或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型七 二次函数与特殊平行四边形 解｜题｜技｜巧 ◦分析已知三角形的角 / 边，确定动点构成的三角形与已知三角形的对应顶点； ◦选方法：①三边成比例（用距离公式算边长）；②两边成比例且夹角相等； ◦列比例方程，求解动点坐标，验证相似条件。 【典例1】已知二次函数，点． (1)若点P在二次函数的图象上，求m的值； (2)当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标； (3)已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和特殊四边形等知识，分情况讨论和数形结合是关键． （1）把点P的坐标代入二次函数解析式即可求出答案； （2）由题意可得点P所在的直线为，与抛物线解析式联立得到，由点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点得到，即可求出答案； （3）根据抛物线解析式得到点在抛物线的对称轴上，轴，设，则,轴，轴，得到，，分两种情况：①，②，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点P在二次函数的图象上， ∴， 解得； （2）∵点． ∴点P所在的直线为， 联立得到， 则， ∵点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点， ∴， 解得； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴轴， 设， ∴为矩形的对称中心， ∴,轴，轴， ∴， ∴， ①当时，如图①， ∵抛物线与矩形的边恰有两个公共点， ∴抛物线与y轴的交点在点M的上方即可， 在中， 当时，， ∴，即 解得或（不合题意，舍去）， ②当时，如图②，同理可知，抛物线与y轴的交点在点N的上方即可， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可知，或． 【变式1】如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式2】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为； (3)Q点为、、、 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及动点问题，待定系数法求解析式，正方形的性质； （1）抛物线解析式中有两个待定的系数a、b，又已知抛物线上的两个点，，将这两个点的坐标代入解析式中即可求出； （2）利用，先求出直线的解析式为，由轴得出点D、点E的横坐标相同，可设出两点的坐标，，即可表示出面积，从而利用二次函数求出最大值； （3）以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形则等腰直角三角形，分类讨论，在①中利用抛物线和直线解析式，设出P点的坐标，再利用正方形的性质求出P点坐标，进而求出Q点坐标；②③④可根据①的结论进行画图推导得出． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 将，代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， 可令，则 ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∵轴， ∴点D、点E的横坐标相同， 设点D、点E在的横坐标为m， ∵点D在抛物线上方， ∴， ∵点D在抛物线上方，点E在直线上， ∴由抛物线解析式和直线解析式可知点，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴. （3）解：∵点P在抛物线上，抛物线解析式为， ∴设P的坐标为， ∵以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形， ∴等腰直角三角形， ①当B为直角顶点，即，，F在B的左侧，如图1，交x轴于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，轴， ∴， 解得或， ∵时P、B重合， ∴舍去， ∴P点为， ∵轴，且点F在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ②当B为直角顶点，即，，F在B的右侧，如图2，交于E，作轴， 同理点P为， ∵， ∴轴， ∴F点纵坐标为1，且在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ③当F为直角顶点，即，如图3，此时为图1中P、Q两点交换位置所得， ∴Q点为， ④当P为直角顶点，即，如图4， 此时P点坐标为，B点坐标为，F点坐标为， ∴，且， ∵四边形为正方形， ∴， ∴Q点为， 综上所述：Q点为、、、 【变式3】如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)，，，． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答； （3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H， 设点E的坐标为， ∵，矩形， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ①时，整理得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或． ②时，整理得：， 解得：或（不合题意、舍弃）， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设，， ①如图：当为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：或4， ∴或 ∴，； ②如图：当为矩形的边时， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：，， ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为，，，． 【变式4】如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 题型八 二次函数与形似三角形问题（跨章节问题） 解｜题｜技｜巧 按角分类的本质是判断 “最大角的度数范围”，无需逐一分析所有角，直接聚焦最大角即可： 若最大角＜90° → 锐角三角形（其余两角必为锐角）； 若最大角 = 90° → 直角三角形（勾股定理逆定理可辅助验证）； 若最大角＞90° 且＜180° → 钝角三角形（其余两角必为锐角）。 关键逻辑：三角形内角和为 180°，若最大角是锐角，另外两个角必然也是锐角；若最大角是直角或钝角，不可能再出现第二个直角 / 钝角（否则内角和会超过 180°）。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【答案】(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 【变式1】如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式2】已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． (1)试求抛物线解析式及点，的坐标； (2)连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，，； (2)所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，，解得，，则，，当时，，通过，求出的值即可； （）分当时，则时，当时，则时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，当时，则时，， ∴轴， 设， ∴， ∴，， 由（）得，， ∴，解得：， 经检验是原方程的解， ∴，； 如图，当时，则时，，过作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设 ， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出 ，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 【详解】解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴ ， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图二次函数图象与轴交于，两点（点在轴的负半轴），与轴交于一点，过作轴交图象于点，连结，，若，则点的横坐标为　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易得四边形为平行四边形，则，求得抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性可得，设点的横坐标为，点的横坐标为，于是，再根据根与系数的关系可得，求出即可． 【详解】解：轴，轴， ， ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， 二次函数的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可知，点关于直线的对称点为点， 点的横坐标为2，即， ， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点的横坐标为4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点坐标，利用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点的横坐标是解题关键． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，已知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 【答案】 【分析】（1）由，可以求出、、、四点的坐标，将（或）、代入，即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，再利用顶点横坐标代入即可求出点E的坐标； （2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ， 设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、， 联立与，整理得，由韦达定理可得：，，由完全平方公式可得并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，利用过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，可得，建立等量关系求解即可； 【详解】解：∵抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上， ∴设表达式为， ∵，且， ∴，，，， 即：，，，， 将，代入 ，解得： ∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C， ∴设表达式为 将，代入得： ，解得： ∴ 当时， ∴； 故答案为 设过定点的直线表达式为， 将代入得：，即： ∴， 设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、， ∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等， ∴，即： 与联立得： 整理得： ， ∴ 与联立得： 整理得： ， ∴ ∵ 即：， 整理得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数表达式，二次函数的顶点坐标，函数求交点坐标，韦达定理，完全平方公式等知识点，掌握利用点的坐标求出表达式，联立关系式求交点等基本的函数思路，重点是利用截线段相等转化出交点横坐标差的绝对值相等，并利用韦达定理及完全平方公式将数形结合是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和三角形的面积综合题，作轴于点D，求出，将点A的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点B、C的坐标，求出、的长，即可得出答案． 【详解】解：作轴于点D，如下图． ， ． ． 点坐标为， ，． ． 点坐标为． 轴于点， 点横坐标为1． 抛物线与直线交于点，点坐标为， ，解得． 则． 当时，，即点坐标为． ． 轴于点， 轴于点． ． 是的高． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)结合图象，当时，求出的取值范围； (3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识． （1）利用配方法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，利用图象法判断即可； （3）利用轴对称解决最短问题即可． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）当时，， 解得或， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知，当时，； （3）如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接． 抛物线的对称轴是直线 又，关于直线对称， ，此时，此时的值最小，即的周长最小， ，， 设的解析式为， 则 解得： 直线的解析式为， 当时，， ． 7．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数的解析式，令可求出B的坐标； （2）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得：，解得． 二次函数解析式为：． 当时，， 解得：． 点B的坐标为． （2）解：和有公共底，所以只需要高相等，面积就相等． 当时，， ∴， 解得：． 点D的坐标为． 8．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴的下方，若点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若D是抛物线上一点，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把B、P两点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可； （2）分点D在点P左边和右边两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图1所示，当点D作点P的左边时， ∵， ∴， ∴点D与点P关于抛物线的对称轴对称，即关于y轴对称， ∵， ∴； 如图2所示，当点D在点P右边时，延长交x轴于Q，设点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与x轴相交于另一点C． (1)请直接写出 ， ． (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点M使的面积等于面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5；2； (2)； (3)，或，或，或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得b的值； （2）设，则，由，可得，解出t的值可得P的坐标为； （3）过M作轴交直线于K，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：5；2； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，设，则，， ∵， ∴， 解得或（此时P不在直线上方，舍去）； ∴P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点M，使的面积等于面积的一半；理由如下： 过M作轴交直线于K，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 解得或 ∴M的坐标为，或，或，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，解一元二次方程，三角形面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为−3，与y轴交点C的纵坐标为−3，满足＝，称为友好函数． (1)判断是否为友好函数，并说明理由； (2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系； (3)若是友好函数，为锐角，求c的取值范围． 【答案】(1)是友好函数，理由见解析； (2)； (3)或且． 【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，可直接根据友好函数的定义进行判断； （2）当时，，即与y轴交点的纵坐标为c，依据友好函数定义可知，函数必然经过点，将代入，即可求出与之间的关系； （3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，由友好函数定义可知，，所以只需满足，即对称轴位于轴负半轴，可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意． 【详解】（1）解：是友好函数，理由如下： 当时，；当时，或3， ∴与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3， ∴是友好函数； （2）当时，，即与y轴交点的纵坐标为c， ∵是友好函数， ∴时，，即在上， 代入得：， ∴， 而， ∴； （3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，即， 由（2）可得：，即， 由友好函数定义可知，， ∴只需满足，即， ∴，即，； 的取值可以为：； ②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时， 即，，， ∴显然都满足为锐角， ∴的取值可以为：且； ③当C与原点重合时，不符合题意， 综上所述：或且． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数与坐标轴的交点等，解题关键是要有较强的理解能力及在第（3）问中注意分类讨论思想的运用等． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点和，与y轴相交于点C，且经过点，过点D作，交y轴于点E，连结． (1)当时，求这个二次函数的表达式． (2)试用含m的代数式表示点C的坐标． (3)作点D关于的对称点，连结．当的面积等于1时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为或或4或5 【分析】（1）由于抛物线过点，则可设函数的表达式为，把点D坐标代入求出a的值，即可得到函数解析式； （2）由于抛物线过点，则可设函数的表达式为，把点D坐标代入求出a的值，即可得到函数解析式，令，求得的值，即可求得点C的坐标； （3）过D作x轴的垂线，垂足分别为F，过E作于G，由点D的坐标得，从而得，易得，则；过点作轴于H，设点，则；可证明，可得，则；根据面积关系即可求得m的值． 【详解】（1）解：设此函数的表达式为， 将代入，得， ∴， ∴此函数的表达式为， 即； （2）解：设此函数的表达式为， 将代入，得， ∴， ∴， 当时，， ∴点C的坐标为； （3）解：如图，过D作x轴的垂线，垂足为F，过E作于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴； ∵点D的坐标为， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作轴于H，设点，则； ∵点D关于的对称点为， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， 即， 若，解得或； 若，解得或； 综上，m的值为或或4或5． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴交点坐标，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，轴对称性质，解一元二次方程等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键与难点． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； （3）解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可求出答案； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线对应的函数表达式为， ∵为中点， ∴． 又∵， ∴， 解得， ∴直线对应的函数表达式为． ∵点在抛物线上，所以， ∴ 解得，或． 又∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴满足直线对应的函数表达式， ∴点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2．理由如下： 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线． 设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等， ∴的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离， ∴的面积小于的面积，则的面积不为定值． 又∵中存在面积为定值的三角形， ∴的面积为定值， 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为2， 综上所述，的面积为定值，其面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①或②存在， 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）根据平移可得，，坐标，再根据二次函数的对称性求解即可； （3）①先求出直线的表达式，设点，则，分两种情况讨论，当时，，再列方程求解，同理再求当即可； ②连接，过Q作交的延长线与T，则，设点的横坐标为，点的横坐标均为，根据平行四边形的性质和判定可求出，再证明，解方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，解得：或， ； （2）解：由题意可知，抛物线对称轴为直线， 则点的坐标为：，点，点， ，解得：， 的横坐标为：， 当时，， ； （3）解：①设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则， ， 点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点， ， ， ， ， 轴， ， 当时， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 当时， ， ， ， 过B作于H，则， ， ， ， 或（舍）， ， 综上，点的坐标为：或； ②存在，理由如下： 连接，过Q作交的延长线与T，则， 与相互平分， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 设点的横坐标为，点的横坐标均为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 在中，． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的对称性，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，综合运用以上知识解题是解题的关键； 7．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，利用勾股定理可得，即有， 当取最大值时，三角形面积为最大值．证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）（1）∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 即抛物线解析式为：， 当时，有， ∴点的坐标为； （2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵， ∴，， ∴， 当取最大值时，三角形面积为最大值． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为， ∴ 面积的最大值：， 即面积最大值为：； （3）存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， 方法同①可得，， ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴，解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】（）见解析；（）或；（）． 【分析】（）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得 ，即证得是等边三角形； （）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边 ，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）证明：∵， 点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点与轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （）∵且，点在轴上且在的左边， ∴ ∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ∴， ∴， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ∴， ∴， 综上所述，这条抛物线的解析式为或 ； （）∵抛物线， ∴向下平移个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与 相同，第三次翻滚得 ， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为： ， ∵ ∴， ∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2021·浙江·中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和， ∴该抛物线对称轴为， 当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置， 故①和②都不正确； 当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方， ∴， ∴，故③正确； 当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1， 可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定， 所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 2．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）连结，交抛物线L的对称轴于点M． ①求点M的坐标； ②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；②1或． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）把点的坐标分别代入， 得．解得 的值分别为． （2）①设所在直线的函数表达式为， 把的坐标分别代入表达式，得 解得 所在直线的函数表达式为． 由（1）得，抛物线L的对称轴是直线， 当时，． ∴点M的坐标是． ②设抛物线的表达式是， 轴， 点N的坐标是． ∵点P的横坐标为 ∴点P的坐标是， 设交抛物线于另一点Q， ∵抛物线的对称轴是直线轴， ∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是． （i）如图1，当点N在点M下方，即时， ， ， 由平移性质得， ∴ ∴， 解得（舍去），． （ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧， 即时，， ， 解得（舍去），（舍去）． （ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧， 即时， ， ， 解得（舍去），． 综上所述，m的值是1或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； （2）由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 4．（2022·浙江舟山·中考真题）已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解． （2）根据平移的性质即可求解． （3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式：． （2）∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线， ∴抛物线的函数表达式：． ∴顶点， ∴它关于O的对称点为， 将代入抛物线得：， ∴． （3）把向右平移n个单位，得 ：，对称轴为直线，，开口向上， ∵点，， 由得：， ∴点P在点Q的左侧， ①当P，Q同在对称轴左侧时， ，即， ∵，∴， ②当P，Q在对称轴异侧时， ∵， ∴， 解得：， ③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去）， 综上所述：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键． 5．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上． （1）当m=5时，求n的值． （2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围． （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．    【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2 【分析】1）利用待定系数法求解即可． （2）求出时，的值即可判断． （3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断． 【详解】解：（1）当时，， 当时，． （2）当时，将代入函数表达式，得， 解得或（舍弃）， 此时抛物线的对称轴， 根据抛物线的对称性可知，当时，或5， 的取值范围为． （3）点与点不重合， ， 抛物线的顶点的坐标是， 抛物线的顶点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动， 当点与重合时，， 解得或， 当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点， 点， ，解得， 当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上， 点在线段上时，的取值范围是：或．      【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $