专题03 旋转4考点（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03旋转 ☆4大高频烤点概览 考点01旋转的概念与旋每转对粉称图形 考点02旋转作图与坐标变换 考点03旋转的性质 考点04旋转的几何综合题（难） 目目 考点01 旋转的概念与旋转对称图形 1.(24-25九上·山西晋中东四县·期中)如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间 属于图形的() A.平移 B.轴对称 C.相似 D.旋转 2.(24-25九山西大同平城区多校期中)在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转得到四边 形A'B'CD',旋转前后的四边形的顶点和旋转中心都在格点上.在格点E,F,G,H中，是旋转中心的是 () G A F D D B E A.点E B.点F C.点G D.点H 3.(24-25九上山西大同第一中学校·月考)为了积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，我省充分利用 自身地域优势大力发展风能，为全省的绿色发展注入不竭活力，如图是位于山顶上的风力发电装置，转子 1/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 叶片图案绕中心旋转°后能与原图案重合，则的值可以是() A.60 B.90 C.120 D.180 4.(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志. 旗面为红色、象征革命胜利；左上角图案由黄色五角星和黄色圆圈组成、象征中国青年一代紧密团结在中 国共产党周围.如果将左上角图案绕某点O旋转角后所得到的图形与原图形重合，则旋转角α的值不可 能是() A.36° B.72° C.216° D.288 目目 考点02 旋转作图与坐标变换 1.(24-25九上山西吕梁汾阳多校期中如图，已知等边三角形，顶点O(0,0),B1,0),将△0AB绕原点0顺 时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，顶点A的坐标为() A. 15 2’2 2.(24-25九上山西阳泉郊区多校期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为5，其中点A的 坐标为(-3，O),点B的坐标为(O,4).若将菱形ABCD绕点C逆时针旋转90°得到菱形A'B'CD',则点D的对 应点D的坐标为() 2/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B D A.(5,-1) B.(9,1 C.(8,9 D.(0,8 3.(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中口OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中 点A的坐标为-2,3)，OC=5,将口OABC绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B的坐标为 4.(24-25九上山西吕梁孝义期中)操作与思考： 如图、在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(2,5),B(-1,3),C(1,1. 4 5 B -5-43-2-10 1 2345x -2 -3 5 3/16 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 实践操作： (1)将ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到△A,B,C,画出AB,C;(注： 点A与A,B与B,C与C分别是对应点) (2)以点0为旋转中心，将△ABC1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A,B,C2,并写出A2,B2,C2的坐标： 4,B,C,;(注：点A与4，B与B,G与C,分别是对应点) 观察思考； (3)ABC能否由△4，B,C,旋转得到？若能，请写出旋转中心的坐标、旋转方向及旋转角的度数；若不能， 请说明理由 5.(24-25九山西大同平城区多校·期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， 在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A1,0,B(2,-3),C(5,-1.将ABC绕原点O逆时 针旋转90°得到△A,B,C,点A,B,C的对应点分别为A,B,C.请画出△A,B,C,并写出点A,B,C,的 坐标. yA 6 5 4 3 A 4-3-2-10 34 56 -2 4 6.(24-25九上山西朔州多校期中如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度）， ABC的三个顶点坐标分别为A1,4),B(4,2),C(3,5). 4/16 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5 4 3 2 -5-4-3-2-1 O12345x 3 5 (1)请画出△A,B,C1,使△A,BC,与ABC关于x轴对称. (2)将ABC绕点O逆时针旋转90°，请画出旋转后得到的△A,B,C2,并直接写出点B的坐标. (3)若P(α，b)是ABC内的任意一点，试写出将ABC绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P的坐标. 7.(24-25九上山西吕梁汾阳多校期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在 平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是A(5,2),B(5,5),C(1,1) y 6 C 6 +42 0214 6x (1)ABC向左平移3个单位得到的△AB,C,则点A,B,C的对应点A,B,C的坐标分别为A() B(),G()· (2)画出ABC绕点0顺时针旋转90°后得到的△4，B,C2. (3)求线段AA,的长， 8.(24-25九上山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别 为A-1,0),B(-2,-2),C(-4,-1. 5/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4 B (1)画出ABC关于坐标原点对称的△A,B,C,: (2)画出ABC绕点A顺时针旋转90°后的△A,B,C2,并直接写出点B2,C2的坐标 9.(24-25九上·山西大同期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点） 上，每个小正方形的边长均为1个单位长度 B 4 5-4-3-2-1 O12345x (1)将ABC浇点O逆时针旋转90°、画出旋转后得到的△A,B,C,; (2)画出△A,B,C2、使△A,B,C2与ABC关于y轴对称： (3)△A,B,C与△A,B,C2是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 10.(24-25九上山西大同第一中学校月考)如图，ABC各顶点的坐标分别为A4,4),B(-2,2),C(3,0). 6/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 -5-4-3:-2-10 12345678x (1)将ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A,B,C,请在图中画出△A,B,C,并写出点B的坐标； (2)请在图中画出ABC关于原点0对称的△A,B,C2. 目目 考点03 旋转的性质 1.(24-25九上山西阳泉郊区多校期中如图，在ABC中，AB=AC,将ABC绕点A逆时针旋转 a(45°<a<180)得到△AB'C',连接BB',CC,BB与CC'交于点D.若∠BAC=45°，则LBDC的度数为() B------- A.30° B.40° C.45° D.60 2.(2425九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，将ABC绕点B逆时针旋转40°得到△DBE.若 AB⊥DE,则∠A的度数为() A.50° B.45° C.40° D.35° 3.(24-25九山西大同平城区多校期中如图，在ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2,点0为AC的中点， 将ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A,B,C.当A落在AB边上时， 7/16 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 图中阴影部分的面积是() B C 0 B A.5 B.2V5 C.35 D.35 4 8 4.(24-25九上山西大同期中)如图，四边形ABCD中，∠BAD=80°，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转 60°，则∠BAD'的度数为() B A A.20° B.30° C.10° D.40 5.(24-25九上山西阳泉郊区多校期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=38°，将ABC绕点B 顺时针旋转O得到△DBE，,连接AE,当A,E,D三点在同一直线上时，旋转角a的度数为°。 E D 6.(24-25九上山西吕梁孝义期中如图，在ABC中，∠ACB=45°，BC=2,AB=2√5，将ABC绕点 A顺时针旋转得到ADE,点B与点D对应，且C,D,E三点恰好在同一条直线上，则AC的长为一， A E 8/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 77.(24-25九上山西太原期中)如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，△ABE与△AFE关于AE所在 直线对称，连接CF,将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG,连接DG,射线GF交AE于点H.若 AB=4,则线段FH的长为 D H 8.(24-25九上山西大同期中)如图，在ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=75°，AD平分∠BAC交BC边于 点D.将△ABD绕点A逆时针旋转一定角度使AB边落在AC边上，得到△AFE,连接CE若AC=I+√5.则 CE的长为一 B O 9.(24-25九上山西大同云州区两校联考月考)如图，在平面直角坐标系中，点A(3,0),点B(0,),连接 AB,将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,连接OC,则线段OC的长度为」 10.(24-25九上山西阳泉郊区多校期中)0.如图，在ABC中，∠ACB=38°，将ABC绕点B顺时针旋转 一定角度，使点A落在BC边上的点D处得到△DBE,连接CE.若CE∥AB,求LCED的度数 E 9/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 旋转的几何综合题（难） 1.(24-25九上·山西运城河津多校期中)综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，同学们以特殊的平行四边形为背景，探究图形运动中的数学结论.在四边形ABCD中， BD是对角线，P是CD边上的一个动点，连接BP,将线段BP绕点B逆时针旋转O得到BP',点P的对应 点为P. 特例感知： (I)如图I,四边形ABCD是正方形，点P恰好落在AD边上，过点P作P'E⊥AD交BD于点E,连接 EP,求证：四边形P'EPD是正方形. 深入探究： (2)如图2，四边形ABCD是菱形，P是CD边的中点，a=∠CBD,过点P作P'M⊥AD于点M,延长 P'M交BD于点N,连接P'D.若∠BAD=120°，AB=4,求△P'DN的面积. B 图1 图2 2.(24-25九上山西阳泉郊区多校·期中)综合与探究 问题情境： 如图，在口ABCD中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AB=6,连接AC,将△ACD绕点C顺时针旋转一定角度（旋 转角小于90°)得到△ECF,点A,D的对应点分别为E,F.CE,EF分别与AD边交于点G,P,EF与CD边 交于点H. 10/16 专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 旋转的概念与旋转对称图形 考点02 旋转作图与坐标变换 考点03 旋转的性质 考点04 旋转的几何综合题（难） 地 城 考点01 旋转的概念与旋转对称图形 1．(24-25九上·山西晋中东四县·期中)如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（   ） A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转 【答案】C 【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键．根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：C． 2．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转得到四边形，旋转前后的四边形的顶点和旋转中心都在格点上．在格点中，是旋转中心的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】此题重点考查旋转的性质、线段的垂直平分线的性质．观察图形可知，点F在线段的垂直平分线上，也点线段的垂直平分线上，可知点F是旋转中心，于是得到问题的答案． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长都为1，连接、、、、，，则，    ∴点F在线段的垂直平分线上； 同理，点F在线段的垂直平分线上， ∴点F是连接两组对应点的线段的垂直平分线的交点， ∴点F是旋转中心， 故选：B． 3．(24-25九上·山西大同第一中学校·月考)为了积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，我省充分利用自身地域优势大力发展风能，为全省的绿色发展注入不竭活力．如图是位于山顶上的风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转后能与原图案重合，则的值可以是（    ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】C 【分析】根据正多边形的中心角计算判断即可． 本题考查了中心角的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：正三角形的中心角为， 故选：C． 4．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)如图是中国共产主义青年团团旗，是中国共产主义青年团的象征和标志．旗面为红色、象征革命胜利；左上角图案由黄色五角星和黄色圆圈组成、象征中国青年一代紧密团结在中国共产党周围．如果将左上角图案绕某点旋转角后所得到的图形与原图形重合，则旋转角的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形，熟知正多边形的对称性是解题的关键． 根据五角星的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题知，若将五角星的五个外面的顶点连接起来，将得到一个正五边形． ∵， ∴当五角星绕其中心旋转整数倍的度数后，会与原图形重合． ，， ∴旋转角的值不可能是． 故选：A． 地 城 考点02 旋转作图与坐标变换 1．(24-25九上·山西吕梁汾阳多校·期中)如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 由点的旋转周期为4知点旋转次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得． 【详解】解：，将绕原点顺时针旋转，每次旋转， 每4次一个循环，第次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次， 由题意，第1次旋转的位置如图所示：过A作轴于C， ∵是等边三角形，， ∴，则， ∴， 第次旋转结束时，顶点的坐标为． 故选：D.． 2．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为5，其中点的坐标为，点的坐标为．若将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，先画出菱形旋转后的图形，从而可得答案． 【详解】解：将菱形绕点逆时针旋转得到菱形如图所示， ∴； 故选：B 3．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，，将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查坐标与图形，平行四边形的性质及旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由坐标与图形确定点B的坐标为，连接，绕点O逆时针旋转到，过点B作轴，过点作轴，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点的坐标为， ∴点B的坐标为， 连接，绕点O逆时针旋转到，过点B作轴，过点作轴，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)操作与思考： 如图、在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． 实践操作： （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到，画出；（注：点与与，与分别是对应点） （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标：_____，_____，，______；（注：点与，与，与分别是对应点） 观察思考； （3）能否由旋转得到？若能，请写出旋转中心的坐标、旋转方向及旋转角的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，，，；（3）能由旋转得到．旋转中心的坐标为，旋转方向为逆时针（或顺时针）旋转角的度数为（或）． 【分析】本题考查了平移作图和旋转作图，确定对应点是解题的关键． （1）根据平移的性质画出平移后的即可； （2）根据旋转的性质画出，再写出，，的坐标即可； （3）根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作， （2）如图，即为所作， 此时，，， 故答案为：，， （3）能由旋转得到．旋转中心的坐标为，旋转方向为逆时针（或顺时针）旋转角的度数为（或）． 如图， 5．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将绕原点逆时针旋转得到，点的对应点分别为．请画出，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，，，． 【分析】本题考查了作图——旋转变换，理解旋转的性质是解题关键．利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点，，，再依次连接可得到；再写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求． 其中，，． 6．(24-25九上·山西朔州多校·期中)如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出，使与关于轴对称． (2)将绕点逆时针旋转，请画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标． (3)若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)图形见详解，点的坐标是 (3)点的坐标是 【分析】本题综合考查了利用对称变换作图，利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格特点，找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）分别找出、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据各点坐标的变化即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：即为所求； 点的坐标是 （3）解：点的坐标是 7．(24-25九上·山西吕梁汾阳多校·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)向左平移3个单位得到的，则点A，B，C的对应点的坐标分别为（______），（______），（______）． (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． (3)求线段的长． 【答案】(1)图见解析；，，． (2)图见解析 (3) 【分析】此题考查了旋转和平移的作图，勾股定理、点的坐标等知识． （1）分别找到点A，B，C向左平移3个单位得到的对应点，顺次连接得到，再写出坐标即可； （2）分别找到点A，B，C绕点顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点A，B，C的对应点的坐标分别为，，． 故答案为：，，． （2）如图，即为所求， （3）， 即线段的长为． 8．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于坐标原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为． 9．(24-25九上·山西大同·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)否 【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （3）依次连接交于一点，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称． 10．(24-25九上·山西大同第一中学校·月考)如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并写出点的坐标； (2)请在图中画出关于原点对称的． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图． （1）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，再顺次连接即可得到写出点的坐标； （2）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 地 城 考点03 旋转的性质 1．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得到，，由证明，得到，由外角的性质求解即可． 【详解】解：设交于点， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ． 故选C． 2．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可知，，再由，求出，继而得到． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ． 故选：A． 3．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)如图，在中，，点为的中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点分别为．当落在边上时，图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．设与交于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质求出的度数，从而证得，再由三角形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：设与交于点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 4．(24-25九上·山西大同·期中)如图，四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数． 【详解】解：∵将四边形绕点A逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， 故选：A 5．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．当三点在同一直线上时，旋转角的度数为 °． 【答案】104 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到对应角相等，再由三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：， 将绕点顺时针旋转得到，连接．当三点在同一直线上， ，，， ，是等腰三角形， 是的角平分线， 故旋转角的度数为， 故答案为：． 6．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点与点对应，且，，三点恰好在同一条直线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角的形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，进而求出的长度，即可求解． 先根据旋转的性质得到，再根据全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，进而求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得，， ∴，， ∵三点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 77．(24-25九上·山西太原·期中)如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·山西大同·期中)如图，在中，，，平分交边于点D．将绕点A逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接若．则的长为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，利用旋转的性质及全等三角形的判定和性质得出，过点E作，设，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作，如图所示： ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·山西大同云州区两校联考·月考)如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作轴于H．利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，作轴于H，则， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)0．如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度，使点落在边上的点处得到，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰（等边）三角形的性质和判定，平行线的性质， 根据旋转的性质得， 根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质得，然后说明是等边三角形，最后根据得出答案． 【详解】解：由旋转的性质，得 ． ， ， 是等边三角形， ， ． 地 城 考点04 旋转的几何综合题（难） 1．(24-25九上·山西运城河津多校·期中)综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，同学们以特殊的平行四边形为背景，探究图形运动中的数学结论．在四边形中，是对角线，是边上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点为． 特例感知： （1）如图1，四边形是正方形，点恰好落在边上，过点作交于点，连接．求证：四边形是正方形． 深入探究： （2）如图2，四边形是菱形，是边的中点，，过点作于点，延长交于点，连接．若，求的面积．    【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形和正方形的判定即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，则，先求出的长，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的长，然后利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】证明：（1）四边形是正方形， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． （2）如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，则，   四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵是边的中点， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，在中，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形，并正确找出两个全等三角形是解题关键． 2．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)综合与探究 问题情境： 如图，在中，，连接，将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到，点的对应点分别为E，F．，分别与边交于点与边交于点． 数学思考： （1）当时，的度数为______． （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理； （1）由结合，，得，，当时，，再由旋转的性质得即，即可得； （2）由旋转可得，，，即可证明，得到，推出，再证明，即可得到； （3）当时，，，此时、、都是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，最后根据，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于得到， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时，，， ∴， ∴，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 3．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)综合与探究 在中，，，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接． 实践操作： 第一步：将射线绕点逆时针旋转交于点； 第二步：将线段绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，当点在的延长线上时，求证：． 问题解决： （2）根据上述操作，判断之间的数量关系，并说明理由． 探索发现： （3）如图2，若，点在线段上，试探究的值是否存在最小值．若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）18 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据，得出．证明．得出，．求出．根据勾股定理得出，即可证明结论； （3）连接，证明．得出，．证明，得出，证明．说明当最小时，的值最小，根据垂线段最短得出时，有最小值，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，，． ． ． 在和中，， ． （2）解：． 理由：由（1）可得， ． ，， ． ． ，， ． ， 即． 在和中，， ． ，． ． ． ． （3）解：的值存在最小值，最小值为18． 如图，连接． 由旋转的性质，得，． ，， ． ，， ． ， 即． 在和中，， ． ，． ． ． ． 在中，， ． 当最小时，的值最小，此时． ，， ． 在中，由勾股定理，得， ，， ．又， ． ， 即的最小值为18． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 4．(24-25九上·山西吕梁汾阳多校·期中)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片，如图1，把矩形ABCD绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点； ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接，若，则线段AM的长为______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：． 【答案】（1）① 见解析；②；（2）见解析 【分析】（1）①根据已知及旋转的性质得，再说明四边形是矩形，即可得答案； ②先求出，连接，根据勾股定理求出，再根据旋转的性质得，然后根据勾股定理求出，接下来可得答案； （2）连接，可证明，进而得出，再根据平行线的性质得，即可得，然后根据“等角对等边”得，再根据已知和旋转的性质得，最后根据可得答案． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴． 根据旋转，得， ∴ ∴四边形是矩形. ∵， ∴四边形是正方形； ②解：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴． 连接， 在中，根据勾股定理得， 由旋转的性质得． 在中，根据勾股定理． ∵点M是的中点， ∴． 在中，根据勾股定理； 故答案为： （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质得， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)阅读与思考：阅读下面材料，并完成相应学习任务： 图形的变化是基本的图形运动方式，利用图形的变化往往可以起到转化线段或角的作用，使得分散的条件转化为集中，从而有利于问题的解决． 数学问题：如图1，在中，点，，分别在边，，上，其中为的中点，．求证：． 证法1：如图2，作出关于对称的，连接． 与关于对称， ，，． 为的中点，，． ， ，． ．（依据1） 又．． ． 在中，．（依据2） ． 证法2：如图3，将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． … 学习任务： (1)材料中的“依据1”“依据2”分别指的是：依据1：_________；依据2：_________； (2)根据材料中“证法2”的辅助线做法，写出证法2的完整过程； (3)在图1中，若，其它条件不变，则，，满足的等量关系是 ； (4)除材料中提到的“轴对称”“旋转”外，我们还学习过的一种图形的变化是：_________． 【答案】(1)等角的余角相等；三角形的两边之和大于第三边； (2)见解析； (3)； (4)平移． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形三边的关系、勾股定理．解题关键是通过旋转构造全等三角形转化线段关系． （1）根据证明过程可得出依据； （2）由旋转旋转可得，根据得出是垂直平分线，进而可得，再根据三角形三边关系得出结论， （3）同理（2）将，，转移到同一个三角形中，再根据三角形三边关系得出结论， （4）根据图形变化方式即可得出结论． 【详解】（1）解：由，，，可得，故“依据1”是等角的余角相等； 在中，．依据2是三角形的两边之和大于第三边； （2）证法2：如图3，为的中点，即， ∴将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． 由旋转可知：， ，，，， 又∵， ∴是垂直平分线， ， 在中，． ． （3）结论：， 证明：如图，将绕点旋转得到．（点旋转后与点重合），连接． 同理（2）可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）平移是最常见的一种图形的变化， 答案为：平移． 6．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)综合与探究 【问题情境】如图1，将绕点顺时针旋转，得到． 【初步探究】 （1）当时，与的位置关系为______． 【猜想与证明】 （2）探索小组进行如下操作：如图2，延长，交于点，交于点，求证：． 【问题解决】（3）如图3，在矩形中，，对角线交于点．将矩形绕点顺时针旋转，点的对应点，当点恰好与点重合时，与交于点的延长线与交于点，求的长． 【答案】（1）互相垂直；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角定理，直角三角形的性质和勾股定理，矩形的性质以及旋转的性质： （1）延长交于点S，于点T，证明，可得，再由三角形内角定理可得，即可求解； （2）证明，可得，再由三角形内角定理，即可求证； （3）过点O作于点P，根据矩形的性质以及旋转的性质可得是等边三角形，从而得到，然后结合直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）如图，延长交于点S，于点T， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当时，与的位置关系为互相垂直； 故答案为：互相垂直； （2）由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，过点O作于点P， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴是等边三角形， ∴，,, ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7．(24-25九上·山西晋城陵川县多校·期中)综合与探究 问题解决：在和中，，，，将和的点A重合放置，如图1，连接． （1）若将图1中的绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其他条件不变，则的值为______． 操作发现：（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交的延长线于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 拓广探索：（3）在绕点旋转的过程中，试探究以三点为顶点的三角形能否成为直角三角形．若能，请直接写出直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）能成为直角三角形，直角三角形的面积为16或64或48或 【分析】（1）根据证明，根据勾股定理，再证明，根据相似三角形的性质即可解答； （2）证，根据是的中线，得到，继而得到，再证，得再证得，证平行四边形，再利用，即可得出结论； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）四边形是矩形，理由如下∶ 由（1）得 ， ， ，， ∵， ， ∴， ∴， ∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． （3）直角三角形的面积为16或64或48或；理由如下： 分4种情况：如下图， 当与重合时，此时，，此时是直角三角形， ， ， ； 如下图， 当在延长线上时，此时，，此时是直角三角形， ； 如图： 当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴设，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故． 综上，直角三角形的面积为16或64或48或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 8．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)综合与探究 问题情境： 在中，，为的中点．将以点为中心逆时针方向旋转，点B，C的对应点分别为点，，与的交点为．猜想证明： （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究 （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①，理由见解析；② 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，根据等腰三角形的性质得到，，得到得证，根据菱形的判定证明即可． （2）①连接，先证明，再证明即可．②过点D作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴， 根据旋转性质得，， ∴， ∵，为的中点． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）①解：，理由如下： 连接， ∵，为的中点． ∴，，， ∵以点为中心逆时针方向旋转，点恰好落在边上， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：过点D作于点M， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 9．(24-25九上·山西吕梁汾阳多校·期中)（1）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． 如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数． 解：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ， ． 为①______三角形，②______°． 的度数为③______． （2）类比延伸： 如图②，在正方形内部有一点，若，试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）直角，，；（2）．理由见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，由等边三角形的性质可知，，，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，即可获得答案； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，，，即可确定是等腰直角三角形，则有，，然后确定，在中，由勾股定理得，即可确定线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形． ， ． 为①直角三角形，． 的度数为． 故答案为：直角，，； （2）．理由如下： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接． 则，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线、综合运用相关知识是解题关键． 10．(24-25九上·山西大同·期中)综合与探究 问题情境：我们使用两块大小相同的含角的直角三角板来探究一些数学问题． 将两块三角板按图1位置摆放，，，与重合，与在一条直线上． 旋转探究：（1）固定三角板，将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转，如图2，与交与点D，与交于点E，连接． ①求证：． ②猜想：是什么三角形，并说明理由． 平移探究：（2）将图2中的沿射线方向平移得到，此时B，C，在一条直线上．如图3，交于点M，交于点N，若，平移距离为，请直接写出的面积S与平移距离d之间的函数关系． 【答案】（1）①见解析；②是等边三角形，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． （1）①由旋转的性质求出，然后根据内错角相等两直线平行即可得证； ②先证明得，进而可证是什么三角形； （2）由平移的性质得，，，，求出，由（1）②知，，求出，，进而求出，，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：∵将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转60°， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ②解：是等边三角形，理由： ∵将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）由平移的性质得，，，， ∴， ∴． 由（1）②知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25九上·山西朔州多校·期中)综合与探究 问题情境已知在中，．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为，连接，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，得到则，即可得到； （2）延长到点，使交于点．证明，则．证明，则．又由即可得到结论； （3）分点在的延长线上和点在的延长线上两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ． ， ， ． （2）． 证明：如图1，延长到点，使交于点． ， ． ， ， ． 为的中点， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）或． ①如图2，当点在的延长线上时， ， ． ， ． ②如图3，当点在的延长线上时， ， ． ， ． 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $