专题01 分式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材北京版

专题01 分式（7知识&13题型） 【清单01】分式的概念 分式:式子；、都是整式；中含有字母. 【清单02】分式有意义的条件 分母. 【清单03】分式的值为0 分子= 0，同时满足. 【清单04】分式的性质 ① 分式的分子分母扩大相同的倍数，分式的值不变. ② 分式分子分母当中的字母，扩大相同的倍数，分式的值如何变化. ③ 最简分式：分式的分子与分母没有公因式. ④ 约分：分式的分子分母约分约相同的公因式. ⑤ 最简公分母：系数部分由所有分母中系数的最小公倍数组成，字母部分由所有分母中字母的最高次组成. ⑥ 通分：在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为相同分母的分式的变形，叫做通分. 【清单05】分式的乘除法 ① 分式乘法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为. ② 分式除法：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为. ③ 分式乘除混合运算 ④ 分式乘方：分式的乘方是记分式的分子，分母分别乘方，用式子表示为， (n是正整致). ⑤ 含乘方的分式乘除混合运算:先算乘方，再算乘除法. 【清单06】分式的加减法 ① 分式加减法混合运算：同分母的分式相加减时，分母不变分子相加减，即；异分母的分式相加减时，先进行通分化为同分母后，再进行加减运算，即. ② 零指数幂：任意非零数的零次幂等于1，用式子表示为. ③ 分式化简求值：先按照要求化简分式，再代入相应的值. ④ 分式加减乘除混合运算：先算分式乘方，再算乘除法，最后算分式加减法，有括号，先算括号内部. 【清单07】分式方程及实际应用 ① 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程 ② 解分式方程：去分母；去括号；移项合并且同类项；系数化为1；检验. ③ 分式方程的实际应用 一般步骤： 【题型一】分式的概念 【例1】在，，，，，，，中，分式有（    ）个. A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，． (1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可） (2)若分式的值为整数，求出整数m的值； (3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和． 例如：； ． 请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值． 【题型二】分式有意义的条件 【例1】若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【变式1-1】下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】分式的值为0 【例1】若分式的值为0，则的值是 ． 【变式1-1】如果分式的值为零，那么（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【变式1-3】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【变式1-4】对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】当正整数 时，分式的值也是正整数． 【题型四】分式的性质 【例1】下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【变式1-3】的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【变式1-5】若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是 ． 【题型五】最简分式与约分 【例1】下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】约分： ； ． 【题型六】最简公分母与通分 【例1】分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】的最简公分母是 ． 【例2】通分 (1) (2) 【变式2-1】若，则分式的值为 ． 【变式2-2】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【题型七】分式乘除法及混合运算 【例1】计算： 【变式1-1】计算： 【例2】计算： 【变式2-1】计算： 【变式2-2】如果a名同学b小时共搬运c块砖，那么c名同学以同样速度搬运a块砖所需的时间是（   ）小时 A． B． C． D． 【例3】计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【变式3-1】计算：． 【题型八】分式乘方及混合运算 【例1】化简： ． 【变式1-1】计算： ． 【例2】计算． 【变式2-1】计算：． 【题型九】分式加减法及混合运算 【例1】计算： ． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】对任意x的值都有：，求M，N的值． 【变式1-3】我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【例2】化简：． 【变式2-1】阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 解决下列问题： (1)分式是______分式(填“真”或“假”)； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【变式2-2】若（a，b 均不为0），则的值为 ． 【变式2-3】下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式 第一步           第二步                         第三步              第四步       第五步                     【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．方程思想    B．数形结合思想     C．转化思想    D．统计思想 (2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； (3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 【变式2-4】如果两个分式与的差为整数，那么称为的“汇整分式”，整数称为“汇整值”，如分式，则为的“汇整分式”，“汇整值”． (1)已知分式，判断A是否为的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”； (2)已知分式，其中为多项式，且为的“汇整分式”且“汇整值，求所表示的多项式． 【变式2-5】对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 【题型十】零指数幂 【例1】计算： ． 【变式1-1】若，则需要满足的条件是 【变式1-2】计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【变式1-3】计算：． 【变式1-4】计算： ． 【题型十一】分式化简求值与混合运算 【例1】已知，求代数式的值． 【变式1-1】已知，求代数式的值． 【变式1-2】先化简，再求值：，其中． 【变式1-3】对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【例2】计算：． 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，，，均为四次分式． (1)在下列分式，，中，是字母x的三次分式的有________________； (2)已知，，（其中m，n为常数）． ①若，，则，，中，化简后是二次分式的为________________； ②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值． 【变式2-3】若（a不取0和），，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①　　　　②　　　　③　　　　　④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【题型十二】分式方程定义与解分式方程 【例1】下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】若关于的方程的解为，则的值是 ． 【变式2-1】关于的分式方程的解是负数，求的取值范围． 【变式2-2】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【变式2-3】若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 【例3】分式方程的解为 ． 【变式3-1】解方程： (1)； (2)． 【变式3-2】观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【变式3-3】我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为完美分式方程，则____，____． (2)已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 【题型十三】分式方程的实际应用 【例1】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【变式1-2】列方程解决问题： 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某商店销售大、小两种规格的“龙辰辰”，已知大号“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”贵50元，若顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，求大号、小号“龙辰辰”的单价各是多少？ 【变式1-3】列方程解应用问题 京源学校作为教育部国家级非物质文化遗产传承基地，一直致力于开发和实施京剧特色课程，学校组织初一、初二年级同学乘坐大巴车去国家大剧院观看京剧演出，国家大剧院距离学校千米．初一年级的车队出发分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，初二年级车队的平均速度是初一年级车队的平均速度的倍．问初一年级车队平均每小时行驶多少千米？ 【变式1-4】列分式方程解应用题： 2022年10月16日，习总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少10辆．求A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（6知识&13题型） 【清单01】分式的概念 分式:式子；、都是整式；中含有字母. 【清单02】分式有意义的条件 分母. 【清单03】分式的值为0 分子= 0，同时满足. 【清单04】分式的性质 ① 分式的分子分母扩大相同的倍数，分式的值不变. ② 分式分子分母当中的字母，扩大相同的倍数，分式的值如何变化. ③ 最简分式：分式的分子与分母没有公因式. ④ 约分：分式的分子分母约分约相同的公因式. ⑤ 最简公分母：系数部分由所有分母中系数的最小公倍数组成，字母部分由所有分母中字母的最高次组成. ⑥ 通分：在不改变分式值的情况下，把几个异分母的分式化为相同分母的分式的变形，叫做通分. 【清单05】分式的乘除法 ① 分式乘法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用式子表示为. ② 分式除法：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为. ③ 分式乘除混合运算 ④ 分式乘方：分式的乘方是记分式的分子，分母分别乘方，用式子表示为， (n是正整致). ⑤ 含乘方的分式乘除混合运算:先算乘方，再算乘除法. 【清单06】分式的加减法 ① 分式加减法混合运算：同分母的分式相加减时，分母不变分子相加减，即；异分母的分式相加减时，先进行通分化为同分母后，再进行加减运算，即. ② 零指数幂：任意非零数的零次幂等于1，用式子表示为. ③ 分式化简求值：先按照要求化简分式，再代入相应的值. ④ 分式加减乘除混合运算：先算分式乘方，再算乘除法，最后算分式加减法，有括号，先算括号内部. 【清单07】分式方程及实际应用 ① 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程 ② 解分式方程：去分母；去括号；移项合并且同类项；系数化为1；检验. ③ 分式方程的实际应用 一般步骤： 【题型一】分式的概念 【例1】在，，，，，，，中，分式有（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据分式的概念求解即可． 【详解】分式有∶，，，，，共5个， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的概念，解题的关键是熟练掌握分式的概念． 【变式1-1】在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，． (1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可） (2)若分式的值为整数，求出整数m的值； (3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和． 例如：； ． 请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值． 【答案】(1)①④；② (2) (3) 【分析】（1）由题意①④分子的次数小于分母的次数，是真分式；②分子的次数大于分母的次数，是假分式；③不是分式； （2）分式的值为整数，则的值为或，计算求解即可； （3）先将分式化为整式与“真分式”的和，则的值为或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②； （2）解：分式的值为整数，则的值为或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数m的值为：； （3）解： 要使的值为整数，即为整数，则是整数即可， 所以的值为或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数m的值为： 【点睛】本题考查分式的计算，如何理解题意进行正确运算是解题的关键． 【题型二】分式有意义的条件 【例1】若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】A 【分析】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 【变式1-1】下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 【题型三】分式的值为0 【例1】若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分子为零，分母不为零列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 【变式1-1】如果分式的值为零，那么（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查分式的值为零的条件，分式为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此解答 【详解】解：解方程 ，得 或 ， 分母不为零的验证： - 当 时，分母 ，此时分式无意义，舍去； - 当 时，分母 ，满足条件； 综上，唯一满足条件的解为 ，对应选项 C， 故选：C 【变式1-2】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 【变式1-3】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 【变式1-4】对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 【变式1-5】当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 【题型四】分式的性质 【例1】下列等式从左到右成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 【变式1-1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【变式1-2】当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【变式1-3】的值均扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，将对应选项中的式子中的x、y分别替换为，计算替换后的式子的结果，判断是否与原式相等即可得到答案． 【详解】解：A、原式为，替换后为，分子为，分母为，无法约去公因数3，故值改变，不符合题意． B、原式为，替换后为，分子分母约去3后，分母变为原式的3倍，值改变，不符合题意． C、原式为，替换后为，分子分母约去公因数3，值不变，符合题意． D、原式为，替换后为，分子变为原式的3倍，值改变，不符合题意． 故选：C． 【变式1-4】把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 【变式1-5】若分式的值为6，当、都变为原来的2倍，所得分式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式基本性质．将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， 当、都变为原来的2倍时，， 故答案为：3． 【题型五】最简分式与约分 【例1】下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的判定，根据分子、分母中不含有能约分的式子进行判定即可． 【详解】解：A、，分子、分母中不含有能约分的式子，是最简分式，符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选： A． 【例1-1】若分式是最简分式，则表示的整式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：A、，分式不是最简分式，不符合题意； B、，分式是最简分式，符合题意； C、，分式不是最简分式，不符合题意； D、，分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【例2】化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，分子分母同时约去即可得解，正确约分是解此题的关键． 【详解】解：， 故括号内应填， 故选：C． 【变式2-1】约分： ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分， 先确定分子和分母的公因式，再约去公因式即可. 【详解】解：； . 故答案为：. 【题型六】最简公分母与通分 【例1】分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 【变式1-1】的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 【例2】通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 【变式2-1】若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 【变式2-2】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 【题型七】分式乘除法及混合运算 【例1】计算： 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的法则是解题关键． 【变式1-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【例2】计算：． 【答案】 【分析】根据分式的除法进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【变式2-1】如果a名同学b小时共搬运c块砖，那么c名同学以同样速度搬运a块砖所需的时间是（   ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，分式的运算，列代数式时，应先求得1个人1小时的工作效率，进而求得c个同学1小时的工作效率；c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数工作量个同学1小时的工作效率． 【详解】解：∵一名同学一小时搬运块，所以c名同学一小时运块， ∴c名同学以同样的速度搬运a块砖所需的时间为：（小时） 故选：D． 【变式2-2】计算：． 【答案】 【分析】把分子、分母因式分解，把除法变成乘法计算即可． 【详解】解： 原式＝   ＝． 【点睛】本题考查的是分式的乘除运算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键． 【例3】计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是把除法转化成乘法、以及约分． 先把除法转化成乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：原式， 故选：C． 【变式3-1】计算：． 【答案】2 【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【题型八】分式乘方及混合运算 【例1】化简： ． 【答案】 【分析】根据分式的乘方运算，化简即可． 【详解】解：； 故答案为： 【点睛】本题考查分式得乘方运算．熟练掌握乘方的运算法则，是解题的关键． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘方运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方运算，本题属于基础题型． 【例2】计算． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则正确计算即可. 【详解】 【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键. 【题型九】分式加减法及混合运算 【例1】计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式加减法，解决本题的关键是能对原分式分母进行因式分解，并进行通分，将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的加法计算即可． 【详解】解： 【变式1-2】对任意x的值都有：，求M，N的值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多项式相等的条件等知识，由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式1-3】我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是；2；证明见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了分式的减法计算： （1）计算出的结果即可得到结论； （2）根据定义可得，则，据此求出，进而求出，再根据P为整数进行求解即可． 【详解】（1）解：C是的“优式”，优值为2，证明如下： ， 是的“优式”，“优值”为2．， （2）解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的值也为整数， 或， ． 【例2】化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 解决下列问题： (1)分式是______分式(填“真”或“假”)； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值． 【答案】（1）真分式;（2）;（3）的整数值为:0或2. 【分析】（1）根据阅读材料中的内容可知：分式是真分式； （2）参照阅读材料中的例子，把分式的分子化为即可把原分式化为带分式； （3）先把分式化成带分式的形式可得：，由原分式的值为整数，可得的值为整数，由此即可分析得到整数的值. 【详解】（1）由“真分式、假分式”的定义可知，分式是真分式； 故答案为真分式 （2）∵， ∴分式化为带分式的结果为：； （3）∵，且的值为整数， ∴的值为整数， 又∵的值为整数， ∴， 解得：或， 即的整数值为:0或2. 【点睛】本题是一道有关分式运算的阅读理解类的题目，解题时需注意：认真阅读理解所给内容，通过例题，弄清把“假分式”化为“带分式”的方法是解题的关键. 【变式2-2】若（a，b 均不为0），则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 【变式2-3】下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式 的过程： 解：原式 第一步           第二步                         第三步              第四步       第五步                     【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： (1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A．方程思想    B．数形结合思想     C．转化思想    D．统计思想 (2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； (3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 【答案】(1)C (2)三，分式的基本性质 (3)四， 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据分式加减运算进行解答即可； （2）根据通分的定义进行解答即可； （3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可． 【详解】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：C． （2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； （3）解：从第四步开始出现错误， ． 因此正确结果为：． 【变式2-4】如果两个分式与的差为整数，那么称为的“汇整分式”，整数称为“汇整值”，如分式，则为的“汇整分式”，“汇整值”． (1)已知分式，判断A是否为的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，请求出“汇整值”； (2)已知分式，其中为多项式，且为的“汇整分式”且“汇整值，求所表示的多项式． 【答案】(1)是， (2) 【分析】题目主要考查分式的加减混和运算， （1）根据题意，直接计算，根据结果判断即可； （2）先求，结合新定义可得，化简可得E所代表的多项式，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）根据题意得： ∴， ∴． 【变式2-5】对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可确定所填数； （2）根据即可完成“裂项”转化； （3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键． 【题型十】零指数幂 【例1】计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂，一个不为0的零次幂等于1；据此求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 【变式1-1】若，则需要满足的条件是 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，根据底数不等于解答即可，熟记非数的零指数幂为1是解题的关键． 【详解】解：若，则， ∴， 故答案为： 【变式1-2】计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【答案】73 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式1-4】计算： ． 【答案】10 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键． 【题型十一】分式化简求值与混合运算 【例1】已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】该题考查了分式化简求值，根据题意得出，再将代数式化简后代入求值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1-1】已知，求代数式的值． 【答案】，4 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，再算括号外的除法进行化简原式，然后根据，可以得到，最后代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【变式1-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查了分式的化简求值，属于基本题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．原式括号内先通分化简，再进行分式的除法运算，然后把a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 当时，原式． 【变式1-3】对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 【例2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-2】在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，，，均为四次分式． (1)在下列分式，，中，是字母x的三次分式的有________________； (2)已知，，（其中m，n为常数）． ①若，，则，，中，化简后是二次分式的为________________； ②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值． 【答案】(1)， (2)，；或5 【分析】（1）根据材料中的新定义求解； （2）①把，代入可计算和的值，分别代入，，中计算，并根据新定义判断是否是二次分式； ②计算并根据一次分式的定义可得和的值，代入中计算求值即可． 【详解】（1）解：分母的次数为3，分子的次数为0，故为三次分式； 分母的次数为4，分子的次数为1，故为三次分式； 分母的次数为3，分子的次数为2，故不是三次分式； 故答案为：，； （2）①当，时，， ，不是二次分式； ，是二次分式； ，是二次分式； 故答案为：，； ②， 与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1， 当，时，原式， 当，时，原式， 或5． 综上，的值为或5． 【点睛】本题考查了新定理和分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简． 【变式2-3】若（a不取0和），，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意对前面几个数进行计算，直到结果出现重复现象，由此得出规律，再按规律解答便可． 【详解】解：， ， ， ， 由上可知，，，，，，这列数依次按，，三个结果进行循环， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了规律的变化类问题，分式的混合运算，解题的关键是通过计算得出规律． 【变式2-4】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①　　　　②　　　　③　　　　　④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)②③ (2)，过程见解析 (3)，当，该式的值是整数， 【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①②③④变形即可得； （2）根据“和谐分式”的定义进行变形即可求解； （3）将原式变形为，根据题意求得的值，根据分式有意义的条件取舍即可求解． 【详解】（1）解：①，不是“和谐分式”，　　　　 ②，是“和谐分式”，　　　 ③，是“和谐分式”， ④，不是“和谐分式”， 故答案为：②③； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数， ∴， ∴当时，是整数， 又∵． ∴时，原式的值是整数． 【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解． 【题型十二】分式方程定义与解分式方程 【例1】下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【例2】若关于的方程的解为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键；把代入方程，求出a即可． 【详解】解：关于的方程的解为， ， 解得：， 经检验，是方程的解， 的值是， 故答案为：． 【变式2-1】关于的分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】，且 【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可． 本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， 去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是负数，且方程的增根为的解， ∴，且， 解得，且， 故的取值范围，且． 【变式2-2】若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 【变式2-3】若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可． 【详解】方程两边同乘，得， 整理得， 原方程无解， 当时，； 当时，或，此时，， 解得或， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或4； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【例3】分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 【变式3-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可； （2）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【变式3-2】观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 【变式3-3】我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，，． 再如为分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为完美分式方程，则____，____． (2)已知完美分式方程的两个解分别为，， ①若，，求的值． ②若，直接写出的最小值________． 【答案】(1)，； (2)；7 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （）类比题目中“完美分式方程”的答题方法即可求解． （）结合运用“完美分式方程”得到，，将变形，整体代入即可求解； 先求出q的范围，再将原式变形为，结合运用“完美分式方程”，代入即可求解． 【详解】（1）解： 可化为， ∴，， 故答案为：，； （2）由已知得，， ∵，， ∴； 解：由已知得完美分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∵ ， 又∵，， ∴， ∴当， ∴， 当时，的值最小， ∴最小值为； 当时， ∴， 则当时，最小值为， ∵此时， 则，符合题意； 综上所述最小值为7． 【题型十三】分式方程的实际应用 【例1】在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可． 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是， ∴物体A的密度为，物体B的密度为． ∵A，B两个物体的密度之比为， ∴． 故选A． 【变式1-1】随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 【变式1-2】列方程解决问题： 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某商店销售大、小两种规格的“龙辰辰”，已知大号“龙辰辰”的单价比小号“龙辰辰”贵50元，若顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，求大号、小号“龙辰辰”的单价各是多少？ 【答案】大号“龙辰辰”的单价为100元，则小号“龙辰辰”的单价为50元 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据顾客用3000元购买小号“龙辰辰”的数量是用1500元购买大号“龙辰辰”数量的4倍，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：大号“龙辰辰”的单价为100元，则小号“龙辰辰”的单价为50元． 【变式1-3】列方程解应用问题 京源学校作为教育部国家级非物质文化遗产传承基地，一直致力于开发和实施京剧特色课程，学校组织初一、初二年级同学乘坐大巴车去国家大剧院观看京剧演出，国家大剧院距离学校千米．初一年级的车队出发分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，初二年级车队的平均速度是初一年级车队的平均速度的倍．问初一年级车队平均每小时行驶多少千米？ 【答案】初一年级车队平均每小时行驶千米 【分析】设初一年级车队平均每小时行驶千米，则初二年级车队平均每小时行驶千米，根据题意“初一年级的车队出发分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达”列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设初一年级车队平均每小时行驶千米，则初二年级车队平均每小时行驶千米，根据题意得， 解得： 经检验，是方程的解； 答：初一年级车队平均每小时行驶千米． 【变式1-4】列分式方程解应用题： 2022年10月16日，习总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少10辆．求A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；正确列出方程是解决本题的关键． 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， ∴， 答： 型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30万元． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $