综合与实践 最短路径常见模型及解题策略 2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 综合与实践 最短路径常见模型及解题策略 解决最短路径问题，主要依赖两个基本公理： 1.两点之间，线段最短：这是处理所有最短路径问题的根本依据 2.垂线段最短：当一点到直线的距离最短时，垂线段是最短路径 解决这些问题的关键在于运用轴对称或平移变换，将折线路径转化为直线段来求解，也就是我们常说的“化折为直” 题型归纳 模型名称 问题特征 (点/线位置关系) 核心作法 最小值情况 两点一线型 (异侧) 两定点位于直线异侧 连接两点，与直线的交点即为所求点 。 连接两点后的线段长 。 两点一线型 (同侧) (将军饮马问题) 两定点位于直线同侧 作其中一点的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点 。 对称点与另一点之间的线段长 。 两定两动型 (造桥选址问题) 两定点间需经过平行线 通过平移一个点使路径转化为直线，再求最短距离 。 平移后两点之间的线段长。 两线一定型 一定点需到两定直线 (如角两边) 分别作定点关于两直线的对称点，连接两对称点，与两直线的交点即为所求点 。 两对称点之间的线段长 。 两点两线型 两定点在角内部，两动点在角的两边上 分别作两定点关于两直线的对称点，连接两对称点，与两直线的交点即为所求点 两对称点之间的线段长加上两定点的长 解题策略 特别注意： 准确作对称点：作对称点是轴对称方法的基础，必须确保对称点与原始点的连线垂直于对称轴，并且到对称轴的距离相等 考虑实际约束：实际问题中的路径可能有限制（如必须在河岸某侧行走），需检验解的可行性 区分问题类型：要分清是“将军饮马”（轴对称）还是“造桥选址”（平移）问题，因为它们的解法不同 题型1 两点一线型（异侧） 两定点在直线两侧，动点在直线上，求线段和最小值 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 例1 .如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶， M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M,N的距离相等？（用圆规和直尺作图，写出作法并保留作图痕迹） 【变式1-1】．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【变式1-3】．如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【变式1-4】．如图，已知四点、、、，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画； (3)在线段上取点，使的值最小． 题型2 两点一线型（同侧） 两定点在直线同侧，动点在直线上，求线段和最小值 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 例2 .如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是( ) A.作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B.过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C.作点B关于直线l的对称点，连接，与直线的交点，即为点P D.延长与直线l的交点，即为点P 【变式2-1】．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【变式2-3】．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式2-4】．【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 【变式2-5】．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【变式2-6】．如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 题型3 两线一点型 一定点在角内部，两动点在角的两边上，求线段和最小值 求角内部一点与角两边所在直线上的两点所构成的三角形周长最小的问题，只要分别找到角内部这个点关于角两边所在直线的对称点，连接对称点与角两边所在直线的交点，即为所求． 如图所示，点在的内，动点、动点分别在的两边上，在角两边所在直线上分别找两个点、，使三角形PMN的周长最小，这时分别作与关于直线对称，作与关于直线对称，连接、的直线与角两边所在直线的交点为所求。 例3．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3-1】．如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【变式3-3】．如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【变式3-4】．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【变式3-5】．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 题型4 两点两线型 两定点在角内部，两动点在角的两边上，求线段和最小值 求角内部两点与角两边所在直线上的两点所构成的四边形周长最小的问题，只要分别找到角内部这两个点关于角两边所在直线的对称点，连接对称点与角两边所在直线的交点，即为所求． 如图所示，点、点在的内，动点、动点分别在的两边上，在角两边所在直线上分别找两个点、，使四边形PQMN的周长最小，这时分别作与关于直线对称，作与关于直线对称，连接、的直线与角两边所在直线的交点为所求。 例4 .如图，是内部的一条线段，在的两边，上各取一点C，D组成四边形，如何取点才能使该四边形周长最小？ 【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD边上分别找一点M，N，使△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 【变式4-2】如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．    【变式4-3】如图，，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记，，当最小时，则与的数量关系是______. 题型5 两定两动型 (造桥选址问题) 1.解决“建桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题. 2. 解决“建桥选址”问题的关键就是要通过平移桥，使除桥外的其他路径平移后在一条直线上. M N B 例5．如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？ 【变式5-1】．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【变式5-4】．河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 【变式5-5】．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【变式5-6】．如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 二、 常见题型及解题策略 三、 常见题型分类解析 一、 解决最短路径的核心原理 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 综合与实践 最短路径常见模型及解题策略（解析版） 解决最短路径问题，主要依赖两个基本公理： 1.两点之间，线段最短：这是处理所有最短路径问题的根本依据 2.垂线段最短：当一点到直线的距离最短时，垂线段是最短路径 解决这些问题的关键在于运用轴对称或平移变换，将折线路径转化为直线段来求解，也就是我们常说的“化折为直” 题型归纳 模型名称 问题特征 (点/线位置关系) 核心作法 最小值情况 两点一线型 (异侧) 两定点位于直线异侧 连接两点，与直线的交点即为所求点 。 连接两点后的线段长 。 两点一线型 (同侧) (将军饮马问题) 两定点位于直线同侧 作其中一点的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点 。 对称点与另一点之间的线段长 。 两定两动型 (造桥选址问题) 两定点间需经过平行线 通过平移一个点使路径转化为直线，再求最短距离 。 平移后两点之间的线段长。 两线一定型 一定点需到两定直线 (如角两边) 分别作定点关于两直线的对称点，连接两对称点，与两直线的交点即为所求点 。 两对称点之间的线段长 。 两点两线型 两定点在角内部，两动点在角的两边上 分别作两定点关于两直线的对称点，连接两对称点，与两直线的交点即为所求点 两对称点之间的线段长加上两定点的长 解题策略 特别注意： 准确作对称点：作对称点是轴对称方法的基础，必须确保对称点与原始点的连线垂直于对称轴，并且到对称轴的距离相等 考虑实际约束：实际问题中的路径可能有限制（如必须在河岸某侧行走），需检验解的可行性 区分问题类型：要分清是“将军饮马”（轴对称）还是“造桥选址”（平移）问题，因为它们的解法不同 题型1 两点一线型（异侧） 两定点在直线两侧，动点在直线上，求线段和最小值 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 例1 .如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶， M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M,N的距离相等？（用圆规和直尺作图，写出作法并保留作图痕迹） 答案：如图，①连接MN； ②作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于点C，则点C即所求位置. 【变式1-1】．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识、两点之间线段最短、最短路径问题 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 【变式1-2】．如图，是一条公路上的3个村庄，间的路程为，间的路程为，要在之间设一个车站，设之间的路程为． (1)用含的代数式表示车站到3个村庄的路程之和； (2)若车站到3个村庄的路程之和为，问车站应设在何处？ (3)若要使车站到3个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？ 【答案】(1) (2)车站应设在村庄的左边或右边处 (3)车站应设在村庄处 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、最短路径问题 【分析】本题考查了两点间的距离、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）由题意得，，； （2）让（1）所求得的代数式的值为102，求得x即可； （3）路程和最小，那么x应最小，此时为0，P与C重合． 【详解】（1）解：由题意得，，， 路程之和为； （2）解：根据题意，得：， 解得， ∴车站应设在村庄的左边或右边处； （3）解：当时，最小， ∴车站建在C处路程和最小， ∴车站应设在村庄处． 【变式1-3】．如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】最短路径问题、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 【变式1-4】．如图，已知四点、、、，根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画； (3)在线段上取点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、画出直线、射线、线段、角的表示方法 【分析】本题考查了尺规作图，熟悉掌握作图方法是解题的关键． 根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：如图所示即为所求： （3）解：如图所示即为所求： 题型2 两点一线型（同侧） 两定点在直线同侧，动点在直线上，求线段和最小值 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 例2 .如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是( ) A.作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P B.过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C.作点B关于直线l的对称点，连接，与直线的交点，即为点P D.延长与直线l的交点，即为点P 答案：C 解析：正确作法如下：如图，作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P， ， 理由如下：在l上异于点P的位置任取一点H，连接，，， ， B、关于直线l对称， ， ， 最短， 故选：C. 【变式2-1】．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式2-2】．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2-3】．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 【变式2-4】．【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 【答案】任务一：，，； 任务二：500 任务三： 【分析】任务一：根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到△的周长的最小值为，再证得△为边长为500的等边三角形即可得出答案； 任务三：过点作交于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，这时有最小值，即的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在△中， ， ． ， 即最小， 故答案为：，，； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ，， 的周长为， 此时的周长取得最小值，且最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， △为边长为500的等边三角形， ， △的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ， ， 这时有最小值，即的长度， ，，，， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，角平分线的性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． 【变式2-5】．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 【变式2-6】．如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点关于的对称点，连接，即可求解； （2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：作出点如图所示： （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 题型3 两线一点型 一定点在角内部，两动点在角的两边上，求线段和最小值 求角内部一点与角两边所在直线上的两点所构成的三角形周长最小的问题，只要分别找到角内部这个点关于角两边所在直线的对称点，连接对称点与角两边所在直线的交点，即为所求． 如图所示，点在的内，动点、动点分别在的两边上，在角两边所在直线上分别找两个点、，使三角形PMN的周长最小，这时分别作与关于直线对称，作与关于直线对称，连接、的直线与角两边所在直线的交点为所求。 例3．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【变式3-1】．如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式3-2】．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【答案】 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 【变式3-3】．如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 【变式3-4】．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【变式3-5】．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ，， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 题型4 两点两线型 两定点在角内部，两动点在角的两边上，求线段和最小值 求角内部两点与角两边所在直线上的两点所构成的四边形周长最小的问题，只要分别找到角内部这两个点关于角两边所在直线的对称点，连接对称点与角两边所在直线的交点，即为所求． 如图所示，点、点在的内，动点、动点分别在的两边上，在角两边所在直线上分别找两个点、，使四边形PQMN的周长最小，这时分别作与关于直线对称，作与关于直线对称，连接、的直线与角两边所在直线的交点为所求。 例4 .如图，是内部的一条线段，在的两边，上各取一点C，D组成四边形，如何取点才能使该四边形周长最小？ 答案：见解析 解析：（1）作出点A关于直线的对称点C； （2）作出点B关于直线的对称点D； （3）连接，交于点E，交于点F， （4）连接，， 则四边形即为所求. 【变式4-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD边上分别找一点M，N，使△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 答案：B 解题思路： 如图，分别作点A关于直线BC，CD的对称点， 连接交BC于点M，交CD于点N． 由对称可知，，且此时△AMN的周长最小，即为． 此时∠1=∠2，∠3=∠4， ∠AMN+∠ANM=2∠1+2∠3=2(∠1+∠3)=2(180°-120°)=120°． 故选B． 【变式4-2】如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F， 则即为的周长最小值．作延长线，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如图，，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记，，当最小时，则与的数量关系是______. 答案： 解析：如图，作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接交OA于Q，交OB于P，则最小， 易知，， ，， ， . ， 故答案为：. 题型5 两定两动型 (造桥选址问题) 1.解决“建桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题. 2. 解决“建桥选址”问题的关键就是要通过平移桥，使除桥外的其他路径平移后在一条直线上. M N B 例5．如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】解：如图所示，作法如下： （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，（则河宽，即相当于将桥平移到，的位置）． （2）连接，分别与河岸相交于点，． （3）过点作垂直于河岸于点，过点作垂直于河岸于点， 由作图可知， ∴最短路径为， ∴，即为两座桥的位置． 【变式5-1】．直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【详解】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 【变式5-2】．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 【变式5-3】．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 【变式5-4】．河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合建一个长度为s米的绿化带，故作线段，使，且点在点B的左侧．再根据C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．则取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，即可作答． 【详解】解：作图方法如下：如图，作线段，使，且点在点B的左侧．取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取， ∴ 则即为所求作的绿化带的位置． 【变式5-5】．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 【变式5-6】．如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，平移的性质，如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求． 【详解】解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求； 易证明的长即为最短路径长． 二、 常见题型及解题策略 三、 常见题型分类解析 一、 解决最短路径的核心原理 学科网（北京）股份有限公司 $