专题15.6 等边三角形（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题15.6 等边三角形 教学目标 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。 3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 等边三角形的性质与判定； （2） 含30°的直角三角形的性质。 2. 难点 （1）利用等腰三角形的性质求线段与求角度； （2）等边三角形的性质与判定的综合应用； （3）含30°角的直角三角形的性质的应用。 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 ，三个角也 ，且三个角都等于 °。 ②等边三角形三条边都存在 。 ③等边三角形是一个 图形，它有 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【即学即练1】 1．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，若BD＝2，则AC＝（　　） A．2 B．3 C． D．4 【即学即练2】 2．如图，等边三角形纸片ABC的边长为7，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．7 D．8 【即学即练3】 3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【即学即练4】 4．已知直线AB∥CD，等边△EFG的顶点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H．已知∠1＝140°，则∠2＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．100° 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 的三角形是等边三角形。或有两个角是 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 【即学即练1】 5．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 【即学即练2】 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【即学即练1】 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝75°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC＝60°，AC＝8，则BD的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 题型01 利用等边三角形的性质求线段 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝6，则△ADE的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【变式1】如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 【变式2】如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 题型02 利用等边三角形的性质求角 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1】如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【变式2】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝（　　） A．80° B．95° C．100° D．120° 【变式3】如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 题型03 等边三角形与平行线 【典例1】如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为∠1＝29°，则∠2的度数为（　　） A．29° B．41° C．31° D．30° 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　） A．142° B．128° C．98° D．92° 【变式2】如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为（　　） A．82° B．72° C．78° D．86° 【变式3】如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B，C分别在l，m上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 题型04 等边三角形的判定 【典例1】下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【变式1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 【变式3】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE． （1）若BE＝6，求AB的长； （2）求证：△CDE是等边三角形． 【变式4】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【变式2】如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（　　） A． B． C．1 D． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，线段BF长的最大值是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 1．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 2．下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C 3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上，若∠1＝24°，则∠2的度数为（　　） A．24° B．36° C．48° D．56° 4．如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若三角尺的直角边与纸带的边沿所成的夹角为30°，则三角尺的直角边的长为（　　） A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm 5．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝60° B．α﹣β+γ＝60° C．α+β﹣γ＝60° D．α+2β﹣γ＝60° 7．已知，点P是等边三角形ABC的边BC上的一点（点P与点C、点B不重合），则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角的大小为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，BC＝12，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F，则EG的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（　　） A．90 B．60 C．50 D．30 10．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 11．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，E为BA的延长线上一点，CE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F，则EF的长为　 ． 13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，且点C′在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 　 　 cm． 14．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥AB于点H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝　 　 ． 15．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　 　 ．（填序号） 16．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 17．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB＝2∠BAC． （1）求∠BDE的度数； （2）点F在AB上，连接DF，DF＝BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由． 19．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.6 等边三角形 教学目标 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等边三角形。 3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 等边三角形的性质与判定； （2） 含30°的直角三角形的性质。 2. 难点 （1）利用等腰三角形的性质求线段与求角度； （2）等边三角形的性质与判定的综合应用； （3）含30°角的直角三角形的性质的应用。 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。也叫正三角形。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 【即学即练1】 1．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，若BD＝2，则AC＝（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD＝2， ∴AC＝2BD＝4， 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，等边三角形纸片ABC的边长为7，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为7， ∴BC＝7，∠B＝∠C＝60°， ∵E，F是BC的三等分点， ∴EFBC， ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°， ∴∠DEF＝∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF＝EF， ∴△DEF的周长是：3×EF7． 故选：C． 【即学即练3】 3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∠AEF＝90°， ∴∠CAD∠BAC60°＝30°， ∴∠AFE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°， 故选：A． 【即学即练4】 4．已知直线AB∥CD，等边△EFG的顶点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H．已知∠1＝140°，则∠2＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．100° 【答案】D 【解答】解：∵△EFG是等边三角形， ∴∠G＝60°， ∴∠GMH＝∠1﹣∠G＝140°﹣60°＝80°， ∴∠DME＝∠GMH＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠2+∠DME＝180°， ∴∠2＝100°． 故选：D． 知识点02 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 【即学即练1】 5．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵HB＝HC， ∴∠HBC＝∠HCB， ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【即学即练2】 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD//BC， ∴∠EAD＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠EAD， ∴BE//CD， ∵∠E＝60°， ∴∠ECD＝∠E＝60°， 又∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD＝60°， ∴∠EBC＝60°， ∴∠E＝∠B＝∠BCE， ∴△BCE为等边三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 1. 含30°角的直角三角形的性质： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 60° 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ 30° BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 【即学即练1】 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝75°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC＝60°，AC＝8，则BD的长为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°，∠DAC＝60°，∠BAC＝75°， ∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°， ∴∠BAD＝30°﹣15°＝15°＝∠B， ∴AD＝BD， 在Rt△ADC中，AC＝8，∠ADC＝30°， ∴AD＝2AC＝16， ∴BD＝AD＝16， 故选：D． 题型01 利用等边三角形的性质求线段 【典例1】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝6，则△ADE的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝∠A＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AD＝6， ∴△ADE的周长为6×3＝18， 故选：B． 【变式1】如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移4cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　） A．28cm B．25cm C．23cm D．21cm 【答案】C 【解答】解：∵平移距离是4个单位， ∴AA′＝BB′＝4， ∵等边△ABC的边长为5， ∴B′C′＝BC＝5， ∴BC′＝BB′+B′C′＝4+5＝9， ∵四边形ABC′A′的周长＝4+5+9+5＝23（cm）． 故选：C． 【变式2】如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝CDAC，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴CEAC＝3 ∴BE＝BC+CE＝6+3＝9． 故选：C． 【变式3】如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（　　） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为3， ∴AB＝BC＝AC＝3，∠B＝∠C＝60°， ∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴在Rt△OBE中，∠BOE＝90°﹣∠B＝30°， ∴OB＝2BE， 在Rt△OCF中，∠COF＝90°﹣∠C＝30°， ∴OC＝2CF， ∵OB+OC＝BC＝3， ∴2BE+2CF＝3， ∴BE+CF＝1.5． 故选：B． 题型02 利用等边三角形的性质求角 【典例1】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°， 故选：B． 【变式1】如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP＝AQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°， ∵PB＝QC＝PQ， ∴BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ， ∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ， ∵∠B+∠BAP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠QAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°． 故选：A． 【变式2】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝（　　） A．80° B．95° C．100° D．120° 【答案】D 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CBD∠ABC60°＝30°，∠BCE∠ACB60°＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°， 故选：D． 【变式3】如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【答案】D 【解答】解：∵△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠BAD＝∠ADB＝60°， ∵∠CBD＝15°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°， ∵AC＝AD， ∴AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD（180°﹣30°）＝75°， ∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°． 故选：D． 题型03 等边三角形与平行线 【典例1】如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为∠1＝29°，则∠2的度数为（　　） A．29° B．41° C．31° D．30° 【答案】C 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵直线l∥m∥n，∠1＝29°， ∴∠DCB＝∠1＝29°，∠2＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝60°﹣29°＝31°， ∴∠2＝∠ACD＝31°． 故选：C． 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　） A．142° B．128° C．98° D．92° 【答案】C 【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示： ∵∠1＝38°， ∴∠ADE＝∠1＝38°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠AEF为△ADE的一个外角， ∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠AEF＝98°． 故选：C． 【变式2】如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为（　　） A．82° B．72° C．78° D．86° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵m∥n， ∴∠β＝∠ABC+∠α＝60°+22°＝82°， 故选：A． 【变式3】如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B，C分别在l，m上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．40° C．30° D．20° 【答案】B 【解答】解：过A作AM∥∥l， ∵l∥m， ∴AM∥m， ∴∠BAM＝∠1＝20°，∠2＝∠CAM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝40°， ∴∠2＝40°． 故选：B． 题型04 等边三角形的判定 【典例1】下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【答案】D 【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】已知a，b，c是△ABC的三边长，且|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，则△ABC的形状是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解答】解：∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0， 又∵|a﹣b|≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：A． 【变式2】如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 【答案】证明见解答过程． 【解答】解：∵∠ACB＝33°，∠CAE＝27°，∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝60°， 在△ABE中，∠ABC＝87°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠ABC+∠AEB）＝180°﹣（87°+60°）＝33°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝33°+27°＝60°， ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等边三角形． 【变式3】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE． （1）若BE＝6，求AB的长； （2）求证：△CDE是等边三角形． 【答案】（1）12；（2）证明见解答． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， ∵AE⊥BC， ∴BEBCAB， ∵BE＝6， ∴AB＝2BE＝2×6＝12； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠C＝60°， ∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴CEBC，CDAC， ∴CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE（180°﹣60°）＝60°， 即∠CED＝∠CDE＝∠C， ∴△CDE是等边三角形． 【变式4】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 题型05 含30°角的直角三角形的性质的应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EF＝1， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴AF＝2EF，BF＝2DF， ∵AF＝DF， ∴AF＝2EF＝2×1＝2＝DF， ∴BF＝2DF＝2×2＝4， ∴BE＝BF+EF＝4+1＝5， 故选：C． 【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AFAD，CECF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝1， ∴AF，CF，CE， ∴BE＝BC﹣CE＝2， 故选：C． 【变式2】如图，等边△ABC中，AB＝4，点D是高AH上一点，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，连接CD，当CD⊥EF时，FH＝（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：∵等边△ABC中，AB＝4， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝4， ∵AH⊥BC， ∴， ∵EF∥AB， ∴∠EFC＝∠B＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∵CD⊥EF， ∴∠CDF＝90°，∠DCF＝30°， ∴， 设FH＝x，则CF＝2+x， ∴， ∵∠EFC＝60°，∠AHB＝90°， ∴∠FDH＝90°﹣∠EFC＝30°， ∴， ∴， ∴，即． 故选：B． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，线段BF长的最大值是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【解答】解：连接DF，过点F作FH⊥BC，垂足为H， ∴∠FHB＝90°， ∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AC＝6， ∴AB＝2AC＝12； 设AF＝x，则BF＝AB﹣AF＝12﹣x， ∴， ∵EF垂直平分线段AD， ∴AF＝DF＝x， ∴DF≥FH， ∴， 解得：x≥4， ∴AF最小值为4，BF的最大值为12﹣4＝8． 故选：C． 1．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 【答案】C 【解答】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、由三角形内角和定理得到三角形的三个角都相等，判定三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、由线段垂直平分线的性质推出三角形的两边相等，不能判定三角形是等边三角形，故C符合题意； D、由邻补角的性质得到等腰三角形的一个内角是60°，判定三角形是等边三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C 【答案】D 【解答】解：对于选项A， ∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形， 故选项B能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项C， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选项C能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项D， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C， ∴2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝60°， 根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形， 故选项D符合题意． 故选D． 3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上，若∠1＝24°，则∠2的度数为（　　） A．24° B．36° C．48° D．56° 【答案】B 【解答】解：字母如图所示， ∵△ABC是等边△ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠1＝∠BGD＝24°， ∴∠BDG＝180°﹣120°﹣24°＝36°， ∵太阳光线平行，即有：DG∥EF， ∴∠2＝∠BDG＝36°， 故选：B． 4．如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若三角尺的直角边与纸带的边沿所成的夹角为30°，则三角尺的直角边的长为（　　） A．3cm B．6cm C．8cm D．9cm 【答案】B 【解答】解：如图，过点A作AC⊥纸带的另一边于C， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3cm， 则AB＝2AC＝2×3＝6（cm）， 故选：B． 5．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BC＝8， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝8， ∵DF⊥AC，FE⊥BC， ∴∠AFD＝∠CEF＝90°， ∴∠ADF＝∠CFE＝30°， ∴AF＝AD，CE＝CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝4， ∴AF＝2， ∴CF＝6， ∴CE＝3， ∴BE＝8﹣3＝5． 故选：C． 6．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝60° B．α﹣β+γ＝60° C．α+β﹣γ＝60° D．α+2β﹣γ＝60° 【答案】B 【解答】解：如图所示： ∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝∠FCG＝60°， ∴∠BCG＝∠BCD+∠GCE+∠DCE＝α+γ+60°， 又∵∠BCG＝∠ACB+∠FCG+∠ACF＝60°+60°+β， ∴α+γ+60°＝60°+60°+β， ∴α﹣β+γ＝60°． 故选：B． 7．已知，点P是等边三角形ABC的边BC上的一点（点P与点C、点B不重合），则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角的大小为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【解答】解：过点P作PE∥AB交AC于点E，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°，AC＝BC， ∵PE∥AB， ∴∠CEP＝∠CAB＝60°，∠CPE＝∠CBA＝60°， ∴∠CEP＝∠CPE＝∠C＝60°， ∴△CEP是等边三角形， ∴CE＝CP＝PE， ∴AE＝AC﹣CE＝BC﹣CP＝BP，∠AEP＝180°﹣∠CEP＝120°， ∴在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角为120°． 故选：D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，BC＝12，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F，则EG的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：连接AE，AG， 由条件可知∠C＝∠B＝30°， ∵AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F， ∴AE＝BE，AG＝CG， ∴∠BAE＝∠B＝30°，∠GAC＝∠C＝30°， ∴∠AEG＝∠AGE＝60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AE＝EG＝GA， ∴BE＝EG＝GC， ∵BC＝12， ∴ME＝4． 故选：B． 9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（　　） A．90 B．60 C．50 D．30 【答案】A 【解答】解：设等边△ABC的边长为a． ∵9个三角形都是等边三角形， ∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a， CD＝CE＝DE＝DF＝a+3， GF＝HF＝MG＝a+6， MN＝MW＝a+9． ∵NW＝NA+AW， ∴a+9＝2a． ∴a＝9． ∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN ＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9 ＝7a+27 ＝63+27 ＝90． 故选：A． 10．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴A1B1＝OA1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝∠B2A3A2＝60°＝∠B1A1A2＝∠B1A2A1， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝8， A4B4＝8B1A2＝16， A5B5＝16B1A2＝32， 以此类推：△A7B7A8的边长为27＝128， 故选：C． 11．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是　等边三角形　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，a＝c，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，E为BA的延长线上一点，CE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F，则EF的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵AB＝AC＝3，∠BAC＝120°， ∴， ∵CE⊥AB， ∴∠ACE＝180°﹣∠CEB﹣∠B﹣∠ACB＝30°， ∴， ∵B＝AC＝3， ∴， ∵EF⊥BC，∠B＝30°， ∴， 故答案为：． 13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，且点C′在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 　12　 cm． 【答案】12． 【解答】解：∵△ABC是边长为4cm的等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4cm， 由折叠的性质得到：DC′＝DC，EC′＝EC， ∴三个阴影部分的周长的和＝AB+AC+BC＝4×3＝12（cm）， 故答案为：12． 12． 14．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥AB于点H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：过点O作OE⊥BC，OF⊥AC， ∵CO平分∠ACB， ∴OE＝OF， 同理得OE＝OH， ∴OF＝OH， ∴AO平分∠BAC， ∴， ∵OH⊥AB， ∴∠AHO＝90°， ∴AO＝2OH＝10． 故答案为：10． 15．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　①③　 ．（填序号） 【答案】①③． 【解答】解：①连接OB，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°， 故①选项正确； ②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等， ∴∠APO与∠DCO不一定相等， 故②选项不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 16．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）B处到灯塔C的距离为30海里； （2）若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝30（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为30海里； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里）， ∴CDBC＝15（海里）， ∵15＜16， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 17．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）14． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∵EB＝AE， ∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°， ∴2EB＝BC， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°， ∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°， ∴BD＝BE， ∴2BD＝BC； （2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC， 在△BDE和△FEC中， ， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， ∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD＝BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB＝2∠BAC． （1）求∠BDE的度数； （2）点F在AB上，连接DF，DF＝BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】（1）40°； （2）△BDF 是等边三角形．理由见解答过程． 【解答】解：（1）在等边△ADE中，∠EAC＝∠ADE＝60°， ∵∠EAB＝2∠BAC， ∴∠BAC＝20°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝80°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠ACB＝80°， ∴∠BDE＝180°﹣∠BDC﹣∠ADE＝40°； （2）△BDF是等边三角形．理由如下： 由（1）可得∠BDC＝∠ACB＝80°， ∴∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝20°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠FBD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°， ∵DF＝BD， ∴△BDF 是等边三角形． 19．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1）PE+PF+PM＝BG，理由见解析； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由见解析． 【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF+PM＝BG； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF﹣PM＝BG． 20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC， ∴OC＝DC， ∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 解： （2）△AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∵△BOC≌△ADC，α＝150°， ∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠ODC＝60°． ∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°， ∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时， α﹣60°＝50°， ∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $