专题18.3 分式的乘除（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题18.3 分式的乘除 教学目标 1. 掌握分式的乘法和除法的运算法则，并能够在分式的乘除运算中熟练的应用。 2. 掌握分式的乘方运算法则，并能够在分式的乘方运算中熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 分式的乘除法运算； （2） 分式的乘方运算。 2. 难点 （1）求分式的乘除法运算； （2）分式的乘方运算； （3）分式的乘除法与乘方的混合运算及求运算中的未知部分。 知识点01 分式的乘除 1. 分式的乘法： （1） 乘法运算法则： 同分数的乘法运算法则，分子乘 分子 作为积的分子，分母乘 分母 作为积的分母。 即： 。 （2）具体步骤： ①对能 因式分解 的分子分母进行因式分解。 ②分子分母有 公因式 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。 ③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。 2. 分式的除法： （1） 除法运算法则： 除以一个分式等于乘上这个分式的 倒数式 。变成乘法运算。 即： ＝ 。 3. 分式的乘除混合运算： 分式的乘除混合运算，可以统一为 乘法 运算。最后的结果一定是 最简分式 或 整式 。 【即学即练1】 1．计算： （1）•；（2）•；（3）•；（4）•． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4）． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式• ． （4）原式• ． 【即学即练2】 2．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）﹣x2y；（4）． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ＝﹣x（x﹣y） ＝﹣x2y； （4） ． 【即学即练3】 3．计算： （1）•；（2）x；（3）（a+1）•；（4）（xy﹣x2）． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4）﹣x2y． 【解答】解：（1）••． （2）x•． （3）（a+1）•••． （4）（xy﹣x2）x（x﹣y）•x2y． 知识点03 分式的乘方 1. 分式的乘方的运算法则： 一般地，当n为正整数时， 。即把分式的分子分母分别乘方运算。 【即学即练1】 4．下列计算正确的是（　　） A．（）2 B．（）2 C．（）3 D．（）2 【答案】C 【解答】解：A、，本选项错误； B、，本选项错误； C、，本选项正确； D、，本选项错误． 所以计算结果正确的是C． 故选：C． 题型01 分式的乘除运算 【典例1】计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【解答】解： •• ＝﹣2． 故选：D． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣1． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型02 分式的乘方运算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 【变式1】化简（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：原式． 故选：D． 【变式2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：原式 ． 故选：C． 【变式3】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： ， 故选：B． 题型03 分式的乘除与乘方的混合运算 【典例1】计算：　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式1】计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【变式2】计算：． 【答案】． 【解答】解： ••• ． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 题型04 求运算中的未知部分 【典例1】若运算的结果不是分式，则M不可能的是（　　） A．ab B．a2 C．a2﹣ab D． 【答案】D 【解答】解：∵ ， ∴化简结果为， 要使运算结果不是分式，即结果为整式，那么分母a必须被约掉，所以M必须含有因子a， A、当M＝ab时，，是整式，不符合题意； B、当M＝a2时，，是整式，不符合题意； C、当M＝a2﹣ab＝a（a﹣b）时，，是整式，不符合题意； D、当时，，是分式，符合题意． 故选：D． 【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， 故选：C． 【变式2】如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【答案】B 【解答】解：设被遮挡的式子为t， 则， ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有xy的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式3】化简分式（　　）的结果为单项式，则“（　　）”上填的式子可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：将选项逐个代入分式计算可得： 结果不是单项式，所以A不符合题意； 结果是单项式，所以B符合题意； 结果不是单项式，所以C不符合题意； 结果不是单项式，所以D不符合题意． 故选：B． 1．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据分式的乘方运算法则可得： ， 故选：C． 2．下列代数式中计算的结果等于a的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．若，则A÷B的值可能为（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【解答】解：A÷B•， 由题意可知：x≠±3、0， 则A÷B的值不可能为、、0， 当x＝﹣2时，A÷B的值为， 故选：C． 4．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 【答案】C 【解答】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1， 而分母和分式本身的符号并没有发生变化， 所以乙有错误． 故选：C． 5．若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 【答案】A 【解答】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（　　）”内的式子一定有a的单项式， ∴只有A项符合， 故选：A． 6．若化简的结果为，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】D 【解答】解：， ∵其结果为， ∴x﹣3+m＝x﹣1， 解得：m＝2． 故选：D． 7．若分式可进行约分化简，则整式P不可以是（　　） A．x﹣2 B．x（x﹣2） C．x D．x2﹣4 【答案】C 【解答】解：A、当P＝x﹣2时， ，不符合题意； B、当P＝x（x﹣2）时， ， ，选项不符合题意； C、当P＝x时， 不能约分化简，选项符合题意； D、当P＝x2﹣4时， ，选项不符合题意． 故选：C． 8．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1 【答案】C 【解答】解：设“口”中的式子为M， 原式• ， 所以当M＝x2﹣x＝x（x﹣1）时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 9．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（）÷，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得： ， ∴被污染的代数式为， 故选：C． 10．代数式（x为整数）的值为F．则F为整数值的个数有（　　） A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个 【答案】B 【解答】解： ， ∵代数式的值为F，且F为整数， ∴为整数， ∴x﹣2的值为：1，2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，共7个， ∴对应的F值有7个． 故选：B． 11． 　　 ． 【答案】． 【解答】解： 故答案是：． 12．若满足，则a＝ 　﹣3　 ． 【答案】﹣3或4． 【解答】解：∵， ∴，a﹣4＝0， ∴a+2＝±1，a＝4， 解得：a＝﹣1或﹣3或4， ∵a＝﹣1时，分式无意义， ∴a＝﹣3或4， 故答案为：﹣3或4． 13．若，则A等于 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 14．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为　　 ． 【答案】． 【解答】解：分式乘一个分式后结果为， ， 故答案为：． 15．若mn＞0．则　3或﹣1　 ． 【答案】3或﹣1． 【解答】解：∵mn＞0， ∴m与n同号，即m＞0，n＞0或m＜0，n＜0． 当m＞0，n＞0，则1+1+1＝3． 当m＜0，n＜0，则1﹣1+1＝﹣1． 综上：3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 16．已知A．先在A，B，C中任选2个分式用除号“÷”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】见解析． 【解答】解：选A÷B ， ∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴原式， x不能取1（使原分式分母为0），当x＝0时，A÷B＝0+1＝1；当x＝2时，A÷B＝2+1＝3． 17．计算： （1）； （2）； （3）（x+y）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1） [] ； （2） • ； （3） ； （4）原式． 18．聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示： （1）聪聪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据聪聪的猜测完成计算； （2）第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题的标准答案是，请你通过计算说明墨滴遮住的内容是什么． 【答案】（1）； （2）2a2﹣2a． 【解答】解：（1） ； （2）设墨滴遮住的内容是M，则， ∴， ∴， ∴M﹣4 ＝2（a﹣2）（a+1） ＝2（a2+a﹣2a﹣2） ＝2a2﹣2a﹣4 ∴M＝2a2﹣2a﹣4+4＝2a2﹣2a ∴墨滴遮住的内容是2a2﹣2a． 19．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求的值． 【答案】14． 【解答】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7， ∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48， ∴ab＝12， ∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b） ＝14． 20．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下： 因此，（6x2+7x+2）÷（2x+1）＝3x+2． （1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，并说明理由； （2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值． 【答案】（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除，理由见解析部分； （2）． 【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除，理由如下： ∴（x3﹣x2﹣5x﹣3）÷（x+1）＝x2﹣2x﹣3； （2）∵多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除， ∴a+9＝﹣3，b＝6， 即a＝﹣12，b＝6， ∴（）3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.3 分式的乘除 教学目标 1. 掌握分式的乘法和除法的运算法则，并能够在分式的乘除运算中熟练的应用。 2. 掌握分式的乘方运算法则，并能够在分式的乘方运算中熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1） 分式的乘除法运算； （2） 分式的乘方运算。 2. 难点 （1）求分式的乘除法运算； （2）分式的乘方运算； （3）分式的乘除法与乘方的混合运算及求运算中的未知部分。 知识点01 分式的乘除 1. 分式的乘法： （1） 乘法运算法则： 同分数的乘法运算法则，分子乘 作为积的分子，分母乘 作为积的分母。 即： 。 （2）具体步骤： ①对能 的分子分母进行因式分解。 ②分子分母有 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。 ③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。 2. 分式的除法： （1） 除法运算法则： 除以一个分式等于乘上这个分式的 。变成乘法运算。 即： ＝ 。 3. 分式的乘除混合运算： 分式的乘除混合运算，可以统一为 运算。最后的结果一定是 或 。 【即学即练1】 1．计算： （1）•；（2）•；（3）•；（4）•． 【即学即练2】 2．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【即学即练3】 3．计算： （1）•；（2）x；（3）（a+1）•；（4）（xy﹣x2）． 知识点03 分式的乘方 1. 分式的乘方的运算法则： 一般地，当n为正整数时， 。即把分式的分子分母分别乘方运算。 【即学即练1】 4．下列计算正确的是（　　） A．（）2 B．（）2 C．（）3 D．（）2 题型01 分式的乘除运算 【典例1】计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 分式的乘方运算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】化简（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 题型03 分式的乘除与乘方的混合运算 【典例1】计算：　 ． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）． 题型04 求运算中的未知部分 【典例1】若运算的结果不是分式，则M不可能的是（　　） A．ab B．a2 C．a2﹣ab D． 【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【变式3】化简分式（　　）的结果为单项式，则“（　　）”上填的式子可以是（　　） A． B． C． D． 1．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列代数式中计算的结果等于a的是（　　） A． B． C． D． 3．若，则A÷B的值可能为（　　） A． B． C． D．0 4．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 5．若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 6．若化简的结果为，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 7．若分式可进行约分化简，则整式P不可以是（　　） A．x﹣2 B．x（x﹣2） C．x D．x2﹣4 8．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1 9．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（）÷，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（　　） A． B． C． D． 10．代数式（x为整数）的值为F．则F为整数值的个数有（　　） A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个 11． 　 ． 12．若满足，则a＝ 　 　 ． 13．若，则A等于 　 ． 14．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为　 ． 15．若mn＞0．则　 ． 16．已知A．先在A，B，C中任选2个分式用除号“÷”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 17．计算： （1）； （2）； （3）（x+y）； （4）． 18．聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示： （1）聪聪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据聪聪的猜测完成计算； （2）第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题的标准答案是，请你通过计算说明墨滴遮住的内容是什么． 19．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求的值． 20．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下： 因此，（6x2+7x+2）÷（2x+1）＝3x+2． （1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，并说明理由； （2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $