2.2.2直线的两点式方程备课包-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式方程与截距式方程，以“两点确定直线”为起点，通过回顾点斜式方程，提出“给定两点能否推导直线方程”的问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步深入探究。 其特色在于以问题驱动探究，契合“用数学的眼光观察现实世界”，结合课本例题（如例3求两点直线方程、例4推导截距式）、即时训练（过两点选方程）及能力提升题（三角形中线方程）分层设计，培养“用数学的思维思考现实世界”，规范方程推导与表达强化“用数学的语言表达现实世界”。学生能深化公式本质理解，教师可高效推进直线方程教学。

一次跨越时空的交流 勒内·笛卡尔，于1596年出生于法国，是哲学家，更是数学家。创立了解析几何，发明了直角坐标系，用代数方程描述几何图形，统一了代数和几何两大领域。这为微积分奠定了基础，彻底改变了数学研究方式。 湘教版 选择性必修一 第2章 平面解析几何 2.2.2直线的两点式方程 庆城县驿马中学 白艳艳 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.(重点) 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 学习目标 复习回顾 完成以下练习： （1）已知直线l经过点P（-2,3），直线斜率为2，求直线点斜式方程； （2）已知直线斜率为-2，与y轴截距为5，求直线的斜截式方程； 点斜式方程 斜截式方程 斜率k 斜率k y轴截距b 特别的：当直线斜率不存在时，直线方程为： 情景导入 我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程. 如图，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 新知探究 课本例 3　已知直线l上的两点A(2,1)和B(5,2)，求直线l的方程. 思考：已知直线上两点，你能得到直线方程吗？ 实质是求过平面直角坐标系中横坐标不相同的两点的直线方程．那么这种方法可以推广到任意两点吗？ 我们把过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0 称为直线的两点式方程，简称两点式． 如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x1≠x2且y1≠y2， 两点式方程可以写成 新知探究 1.直线的两点式方程 即时训练 1.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是（ ） B 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距（横截距），此时直线在 y 轴上的截距是b．方程（5）由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 和 b 确定，称为直线的截距式方程． 注：垂直于坐标轴和经过原点的直线不能用截距式表示． 2.直线的截距式方程 新知探究 课本例 4 已知两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线 l 的方程． 解：过A(a，0)，B(0，b)的两点式方程为 ， 即 ． （5） 解：过A(a，0)，B(0，b)的两点式方程为 ， 即时训练 2.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是（ ） A 3.若直线 过第一、二、三象限，则（ ） A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 C 例5　如图，三角形的顶点分别为A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边所在直线的方程； 整理得2x＋5y＋10＝0. 这就是BC边所在直线的方程. 能力提升 (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 整理得10x＋11y＋8＝0. 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程. 注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程． 总结归纳 直线的两点式方程： 过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0． 直线的截距式方程： 在两个坐标轴上的截距分别为 a 和 b 的直线方程为 ． 注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程． 布置作业 1、教材P68页第1、2题 2、预习2.2.3直线的一般式方程 Lavf58.46.101 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 ＋＝1 过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝. BC中点M的坐标为＝. $我们继续来研究如何表示出经过2点P1X1Y1和P2X2Y2的直线L的方程呢？我们先来明确思路，本题中我们已知直线上两点的坐标，要表示直线的斜率。相信有的同学会想到，既然我们已经学习过直线的点斜式方程，那么不妨可以先利用直线上两点的坐标表示出直线的斜率。K等于Y2减Y1比上X2减X1，而该式成立的前提为X一不等于X2，也就是说直线的斜率存在。而当直线斜率存在时，我们可以继续在这两点中任选一点。比如选择P1，将点P1的坐标和直线的斜率代入到点斜式方程，从而得到Y减Y一等于Y2减Y1比上X2减X一再乘以X减X1。而这就是我们要求的直线的方程。那么该式成立的前提为X一不等于X2。也就是说我们给定直线上两点的横坐标不相同。那么请同学们想一想，我们能不能把这个方程变形，使得它能更突出的体现我们已知直线上两点坐标的这样的特征呢？我们看对于这个方程，我们不妨将其中点的横纵坐标分离开。比如我们可以在等式两侧同时除以Y2减Y1，但这就要求Y2减Y一不等于0。这说明此时不仅要满足X1不等于X2，同时也要满足Y一不等于Y2。而这就说明我们已知直线上两点的横纵坐标都不相同，那么这时我们就可以将这个方程变形为Y减Y1比上Y2减Y1，等于X减X1比上X2减X1。 第2章 平面解析几何 2.2.2直线的两点式方程 庆城县驿马中学 白艳艳 教学目标 1、了解“直线的两点式方程”的推导过程，会根据题目所给条件求直线的两点式方程； 2、了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 3、体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想. 教学重点、难点 重点：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程； 难点：了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围。 教学方法 “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习） 教学过程 教学过程与设计 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维 深入探究获得新知 课堂实练巩固提高 变式训练提炼方法 小结反思 （一）知识回顾——启迪思维 完成以下练习，回顾直线的点斜式方程和斜截式方程。 （1）已知直线l经过点P（-2,3），直线斜率为2，求直线点斜式方程； （2）已知直线斜率为-2，与y轴截距为5，求直线的斜截式方程； 问题一：我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.如图，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 例如已知直线上的两点求直线的方程. 已知直线上不同两点，如何确定这条直线方程呢？ 【设计意图】复习引入，既回顾所学的知识，又为新的知识埋下伏笔。 抓住了学生的注意力，把学生的思维引到直线的方程上来，进入第二环节. （二）深入探究——获得新知 1、直线的两点式方程 新知讲解：问题2：已知直线上的两点求直线的方程. 本题的实质是求过平面直角坐标系中横坐标不相同的两点的直线方程.那么这种方法可以推广到任意两点吗？ 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，直线l的方程如何表示？ 此式适用条件：直线与两坐标轴不平行且不重合. 即当直线没有斜率或斜率为0时,不能用上式求它们的方程. 即时训练： 1、过点(1,2)，(5,3)的直线方程是（ ） 2、 直线的点斜式方程 课本例 4 已知两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线 l 的方程． 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距为b.方程称为直线的截距式方程. 注：垂直于坐标轴和经过原点的直线不能用截距式表示． 即时训练： 2. 在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是（ ） 3、若直线 过第一、二、三象限，则（ ） A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0. (三)课堂实练 巩固提高 例5　如图，三角形的顶点分别为A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 【设计意图】在这里，这题比较简单，目的是先让学生熟练掌握两点式方程的理解.试着将两点式改写成斜截式，进一步加强对截距的理解，用一题多变的方式使学生不仅收获了数学知识和方法，还使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升。 （四）小结反思 （1）我们学到了哪些新的数学知识？ （2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？ 直线的两点式方程：过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为 (y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0 注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程． 直线的截距式方程：在两个坐标轴上的截距分别为 a 和 b 的直线方程为 （五）作业 P68页练习题 第1、2题 （六）板书设计 1、直线的两点式方程 2、直线的截距式方程 希沃课件投影区域 例4、例5解析 （讲课草稿演算区） （学生练习展示区） 教学反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $