专题04 与一次方程有关十大综合题（高效培优期中专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题04 与一次方程有关十大综合题（高效培优期中专项训练） 考点01 一元一次方程的相关概念 考点02 解一元一次方程 考点03 与一元一次方程有关的新定义 考点04 数学文化问题 考点05 日历问题 考点06 和差倍分、比赛积分、水费和电费问题 考点07 销售、利润问题 考点08 方案选择问题 考点09 图形规律与一元一次方程问题 考点10 数轴上动点问题与一元一次方程 考点01 一元一次方程的相关概念 1．（2024--2025学年七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A． B． C． D． 2．（2023-2024学年七年级上安徽省阜阳市界首市第五中学期中）方程中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是，那么墨水盖住的数字是（   ） A． B．1 C． D．0 3．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市肥西实验高级中学11月期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 考点02 解一元一次方程 4．（2024-2025年学年七年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）解方程：． 5．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第五十中学天鹅湖校区期中）解方程： (1)； (2)． 6．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛中学期中）解方程：． 7．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山第八中学东校区期中）解方程： (1)； (2)． 8．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学本部期中）解方程：． 9．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）解方程：． 10．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市清水河学校11月期中）解方程：． 11．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市清水河学校11月期中）解方程： 12．（2024--2025学年七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）解方程： (1)； (2)． 13．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市高新区期中）解方程： (1)； (2) 14．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市第十一中学期中）如图是一个正方体的展开图，将其折叠成正方体后，其中各相对面上的数字之和均相等，求的值．    15．（2023-2024学年七年级上安徽省阜阳市界首市第五中学期中）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： …．．．①     …．．．②     …．．．③     …．．．④     …．．．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．请你指出他错在第________步，错误的原因是___________________________．然后，请你自己细心地解此方程． 16．（2024-2025学年七年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为 ； (2)第2024个方程的解为 ； (3)解为的方程是 ． 17．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值． 18．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得． ②去括号，得． ③移项，得． ④合并同类项，得． ⑤系数化为1，得． (1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 考点03 与一元一次方程有关的新定义 19．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算 ； （2）若是一个“互差数”，且，那么的值是 ． 20．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区11月期中）规定：用表示大于的最小整数，例如：，，；用表示不大于的最大整数，例如：，，；由上可得：（1） ；（2）如果整数满足关系式，则 ． 21．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市阜南县第五初级中学期中）规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 22．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市瑶海区行知学校期中）如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与是“美好方程”，求n的值． 23．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛中学期中）我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 24．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”． 例如：，，且是方程的解，此方程为“合并式方程”． 请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)关于的一元一次方程是“合并式方程”，求n的值． 考点04 数学文化问题 25．（2023-2024学年七年级安徽省阜阳市界首市第五中学期中）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（  ） A． B． C． D． 26．（2024-2025学年七年级上安徽省芜湖市无为县多校期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格，把1﹣9这9个数填入3×3方格中，每一横列、每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市金安区轻工中学11月期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 28．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山市东方实验期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为    29．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市明光市城区联考11月期中）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 考点05 日历问题 30．（2024-2025学年七年级上安徽省淮北市“五校联考”11月期中）如图，表中给出的是某月的月历．任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（    ） A．42 B．70 C．98 D．147 31．（2024-2025学年七年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 32．（2023-2024学年七年级上安徽省宿州市砀山铁路中学 期中）如表是某月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种图形框（图形框①、图形框②、图形框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种图形框框住的三个数中最大的数都为x．       ①                                    ②                                      ③ (1)请用含x的式子表示： 第①个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第②个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第③个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； (2)设第①个图形框中三数之和为，第②个图形框中三数之和为，第③个图形框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 考点06 和差倍分、比赛积分、水费和电费问题 33．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）买两种布料共138米，花了540元，其中蓝布料每米5元，黑布料每米3元，两种布料各买了多少米？设买黑布料米，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 35．（2023-2024学年七年级上安徽省合肥市期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 36．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 考点07 销售、利润问题 37．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市南谯区多校期中）某专卖店销售某品牌电脑，1月份的销售量为a台，2月份的销售量比1月份增加． (1)若3月份的销售量比2月份再增加，则3月份的销售量为________台．（用含a的代数式表示） (2)已知当月每台电脑的售价相同．若2月份每台电脑的售价比1月份降低了400元，且2月份与1月份的销售总额相同，求1月份每台电脑的售价． 38．（22-23七年级·安徽六安·期中）某织布厂有工人150名，为改善经营，增设制衣项目，已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件用布米．将布直接出售，每米布可获利2元；将布制成衣后出售，每件可获利25元．若每名工人一天只能做一项工作（每天所织布仅限当天使用），且不计其他因素，设安排x名工人制衣．则： (1)一天中制衣所获得的利润为 元（用含x的代数式表示）； (2)一天中剩余布出售所获利润为 元（用含x的代数式表示）； (3)一天当中至少安排多少名工人制衣时，所获总利润不低于11800元？ 39．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）水果超市最近新进了一批白花玉石籽石榴，每斤进价5元，9月30日每斤售价10元，国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周石榴的售价变化情况和售出情况： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 35 40 x 30 (1)10月4日超市售出的石榴的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的石榴的收益如何？（收益为收入减去成本） (3)国庆黄金周水果超市出售此种石榴的收益为275元，则10月6日出售石榴多少斤？ 考点08 方案选择问题 40．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学 期中）某班举行了“庆祝建党98周年知识竞赛”活动,班长安排张小明购买奖品,如图两幅图是张小明买回奖品时与班长的对话情况: 请根据图1、图2的信息，解答下列问题: （1）张小明买了两种笔记本各多少本？(要求列一元一次方程解决问题) （2）为什么班长说不可能找回68元钱，请说明理由． 41．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市高新区期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 考点09 图形规律与一元一次方程问题 42．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市明光市城区联考11月期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成．归纳图形规律，完成下列任务：    (1)填写下表： 图案编号 灰色小正方形个数 ______ ______ (2)第n个图案中灰色小正方形的个数有______个（用含n的代数式表示）； (3)若第n个图案中灰色小正方形的个数有，求n的值． 43．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区11月期中）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形：    (1)请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 _____ _____ … 小正方形/个 1 _____ _____ … (2)第个图形中，有大正方形_____个；有小正方形_____个；（用含的代数式表示） (3)在某个图形中，小正方形的个数能刚好比大正方形的个数多2025吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 44．（2022-2023学年七年级上安徽省合肥市包河区部分学校期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的． (1)根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个． (2)第个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含的式子表示，为正整数） (3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由． 45．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长为1的小正方形组成，其中部分小正方形有阴影，按照这样的规律： (1)第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______，第个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______． (2)第个图形中，边长为1的小正方形总数是否可以为2024个，为什么？ 46．（2023-2024学年七年级上安徽省阜阳市太和县期中）【观察思考】 【规律发现】； （）第个图案中“★”的个数是 ；第个图案与第个图案中“★”的个数之差为 ． （）第个图案中“◎”的个数是 ；第个图案中“◎”的个数是 （用含的式子表示）． 【规律应用】 （）已知第个图案与第个图案中“★”的个数之差比第个图案中“◎”的个数少，求正整数． 考点10 数轴上动点问题与一元一次方程 47．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛中学期中）阅读 可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示8所对应的点与4所对应的点之间的距离；可以看作，可理解为数轴上表示8所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： (1)可理解为数轴上表示x所对应的点与_________所对应的点之间的距离． (2)若方程，则满足条件的x的整数解有：____________ (3)如图所示，在数轴上，若点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15，且点B在点A的右侧，现有一点P以每分钟4个单位长度的速度从点A向右出发，点Q以每分钟3个单位长度的速度从点B向右出发，当的距离为5个单位长度时，求时间t的值． 48．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第五十中学西校区期中）如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 49．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市霍邱县11月期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 50．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第三十八中学期中）综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 51．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区11月期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与一次方程有关十大综合题（高效培优期中专项训练） 考点01 一元一次方程的相关概念 考点02 解一元一次方程 考点03 与一元一次方程有关的新定义 考点04 数学文化问题 考点05 日历问题 考点06 和差倍分、比赛积分、水费和电费问题 考点07 销售、利润问题 考点08 方案选择问题 考点09 图形规律与一元一次方程问题 考点10 数轴上动点问题与一元一次方程 考点01 一元一次方程的相关概念 1．（2024--2025学年七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】、中有个未知数，未知数的最高次数为，是一元一次方程，符合题意； 、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 、中有个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 、中含有一个未知数，但未知数的最高次数为，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：． 2．（2023-2024学年七年级上安徽省阜阳市界首市第五中学期中）方程中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是，那么墨水盖住的数字是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】墨水盖住的部分用a表示，把x＝﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解． 【详解】解：墨水盖住的部分用a表示，把x＝﹣1代入方程得：， 解得：a＝1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，理解定义是关键． 3．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市肥西实验高级中学11月期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 考点02 解一元一次方程 4．（2024-2025年学年七年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 先通过去分母，然后检验即可解答即可． 【详解】解：， 去分母得:， 去括号得:， 移项得:， 合并同类项，得． 5．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第五十中学天鹅湖校区期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 6．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛中学期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母、去括号、移项、合并同类项，最后化系数为1即可求解． 【详解】解： 7．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山第八中学东校区期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 8．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学本部期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】根据解一元一次方程的步骤逐步计算即可． 【详解】去分母： 去括号： 移项、合并同类项： 系数化为1： 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握运算步骤，注意计算过程中不要漏乘常数项及变号问题是解题关键． 9．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市庐阳中学期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，按去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解方程即可． 【详解】解：去括号得，， 移项得， 合并同类项得，． 10．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市清水河学校11月期中）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解含有分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．解含有分母的一元一次方程，根据先去分母，去括号，移项，合并同类项进行求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 11．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市清水河学校11月期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得： 12．（2024--2025学年七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 13．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市高新区期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）先去分母，再去括号，移项合并，然后系数化1即可得解； （2）先根据分数的基本性质，将分子分母化为整系数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． （2）解：， 整理，得：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 14．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市第十一中学期中）如图是一个正方体的展开图，将其折叠成正方体后，其中各相对面上的数字之和均相等，求的值．    【答案】的值为． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 5与是相对面， x与4是相对面， 与是相对面， ∵折成正方体后相对面上的两个数之和都相等， ∴，， 解得，， ∴． 15．（2023-2024学年七年级上安徽省阜阳市界首市第五中学期中）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： …．．．①     …．．．②     …．．．③     …．．．④     …．．．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．请你指出他错在第________步，错误的原因是___________________________．然后，请你自己细心地解此方程． 【答案】①，去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12，解方程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解题过程可知，在第①步去分母时，常数1没有乘以12，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：第①步错误，错误原因：去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得． 16．（2024-2025学年七年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为 ； (2)第2024个方程的解为 ； (3)解为的方程是 ． 【答案】(1)6 (2)2025 (3) 【知识点】数字类规律探索、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 17．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值． 【答案】1 【知识点】倒数、方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】解方程得出x的值，根据方程的解互为倒数知另一方程的解，代入可得关于k的方程，解之可得． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得x=． ∵的倒数是， ∴将x=代入方程， 则， 解得k=1． 18．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得． ②去括号，得． ③移项，得． ④合并同类项，得． ⑤系数化为1，得． (1)小聪的解答过程有错误，从第______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项漏乘最小公倍数，第①步开始出错； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可。 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，第①步开始出错； 故答案为：①； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 考点03 与一元一次方程有关的新定义 19．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算 ； （2）若是一个“互差数”，且，那么的值是 ． 【答案】 3 【知识点】有理数的加减混合运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为，依题意得，，，可求，，然后根据都不为0且互不相等，确定合适的的取值，然后判断作答即可． 【详解】解：（1）由题意知，， 故答案为：3； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为， 依题意得，，， ∴， 解得，， ∴， ∵都不为0且互不相等， ∴，， ∴； 故答案为：． 20．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区11月期中）规定：用表示大于的最小整数，例如：，，；用表示不大于的最大整数，例如：，，；由上可得：（1） ；（2）如果整数满足关系式，则 ． 【答案】 0 5 【知识点】有理数加法运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了有理数的新运算问题及一元一次方程的应用，正确理解定义是解题的关键．（1）根据定义的内涵计算；（2）根据定义，将等式，转化为方程，求解即可． 【详解】解：（1）， （2）根据定义， ，转化为方程， 解得， 故答案为：0，5． 21．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市阜南县第五初级中学期中）规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“奇异方程”．例如：的解为，因为，所以该方程是“奇异方程”． （1）若关于x的一元一次方程是“奇异方程”，则m的值为 ． （2）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，则代数式的值为 ． 【答案】 16 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、代数式求值，解题的关键是：（1）根据“奇异方程”定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据“奇异方程”的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答． （1）根据“奇异方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“奇异方程”的定义即可得出，，然后代入代数式)中即可算出结论． 【详解】解：（1）解一元一次方程是，得， ∵一元一次方程是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴； （2）∵一元一次方程和都是“奇异方程”， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，16． 22．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市瑶海区行知学校期中）如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与是“美好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n方程． 【详解】（1）方程与方程是“美好方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得， ， 方程与方程是“美好方程”． （2）由，解得； 由，解得； 关于方程与是“美好方程”， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用“美好方程”的定义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 23．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛中学期中）我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 【答案】(1)7 (2)1，3，5 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是新定义，有理数的混合运算及解一元一次方程，正确理解新定义、掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． （1）根据新定义列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：7； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程的解为整数，所以3能被整除，即 或， 解得或或或． 因为为正整数， 所以，符合条件的所有正整数的值为1，3，5． 24．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”． 例如：，，且是方程的解，此方程为“合并式方程”． 请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)关于的一元一次方程是“合并式方程”，求n的值． 【答案】(1)一元一次方程不是“合并式方程”，详见解析 (2) 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：一元一次方程不是“合并式方程”， 理由如下：，把代入方程的左右两边，左边， 左边右边， 不是方程的解， 一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解：一元一次方程是“合并式方程” 是方程的解 ， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程的解得定义以及“合并式方程”的定义是解题的关键． 考点04 数学文化问题 25．（2023-2024学年七年级安徽省阜阳市界首市第五中学期中）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解． 【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y 解得y=6 ∴8+x+6=2+5+8 解得x=1 故选A． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 26．（2024-2025学年七年级上安徽省芜湖市无为县多校期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣九宫格，把1﹣9这9个数填入3×3方格中，每一横列、每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等．如图是一个未完成的“幻方”，则其中x的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列方程求出，再根据即可求出答案．解题的关键是根据每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等求出左下角a的值，再列方程解决问题． 【详解】解：如图： ∵每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等， ∴，解得， ∵，即 ∴， 故选：D． 27．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市金安区轻工中学11月期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查代数式求值问题，一元一次方程的整体解法问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键．根据题意，分别列出方程，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 28．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山市东方实验期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为    【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，可得，再观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足，依此即可求解． 【详解】解：设右下边为，由满足6条边上四个数之和都相等，它们的和为，如图所示：    观察图形还有，，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足， 则或， 解得或， 当时，，或又有1个为0（不合题意舍去）， 当时，符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是用字母表示出，，0，3，4，6五个数字，难度较大． 29．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市明光市城区联考11月期中）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？ 【答案】清酒2斗，醐酒有2斗． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设清酒x斗，则醐酒有斗．根据“拿20斗谷子，共换了4斗酒”，即可得出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设清酒有x斗，则醐酒有斗． 根据题意，得， ∴， ． 答：清酒2斗，醐酒有2斗． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 考点05 日历问题 30．（2024-2025学年七年级上安徽省淮北市“五校联考”11月期中）如图，表中给出的是某月的月历．任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（    ） A．42 B．70 C．98 D．147 【答案】A 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据图中的数，找出规律，再计算求解． 【详解】解：设最中间的数为x， 则， ∴这7个数的和为7的倍数， ∵，，，， 当时，不能构成“”型，故不符合题意， ∴这7个数的和不可能是42． 故选：A． 31．（2024-2025学年七年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键 【详解】解：设最小的数， 对于选项，，可得， 解得：，故本选项不符合题意； 对于B选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于C选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于D选项， 可得， 解得：，故本选项符合题意； 故选D． 32．（2023-2024学年七年级上安徽省宿州市砀山铁路中学 期中）如表是某月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种图形框（图形框①、图形框②、图形框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种图形框框住的三个数中最大的数都为x．       ①                                    ②                                      ③ (1)请用含x的式子表示： 第①个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第②个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； 第③个图形框中框住的三个数从小到大依次是__________，__________，x； (2)设第①个图形框中三数之和为，第②个图形框中三数之和为，第③个图形框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含的代数式表示出三种方格框中的数； （2）由（1），可用含的代数式表示出，，，结合，可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论． 【详解】（1）解：（1）根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，． 故答案为：，，，，，； （2）解：由（1）可得：，，， ， ， 解得：， 在第四行第五列，符合题意， 存在这样的，使得， ，，． 答：存在这样的，使得，此时，，． 考点06 和差倍分、比赛积分、水费和电费问题 33．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）买两种布料共138米，花了540元，其中蓝布料每米5元，黑布料每米3元，两种布料各买了多少米？设买黑布料米，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】由题意可知，题目中的等量关系为：蓝布总价黑布总价540元，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设买黑布料米，则买了蓝布料米， 则可列方程：， 故选：A． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决实际问题，能够根据题意列出方程是解决本题的关键． 34．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【知识点】整式加减的应用、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 35．（2023-2024学年七年级上安徽省合肥市期中）为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【答案】(1)； (2)亮亮家这个月应缴纳的水费为元 (3)该用户这个月应缴纳水费元 【知识点】有理数乘法的实际应用、整式加减的应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减及一元一次方程的应用，正确理解题干所给计算公式是解题的关键． （1）根据题干所给计算公式即可求得芳芳家月份需交水费，设芳芳家月份用水量为，列一元一次方程求解即可得月份用水量； （2）根据题干所给计算公式即可求解； （3）根据所给计算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：当，芳芳家月份用水量为时，该月需交水费为元； 设芳芳家月份用水量为， ∵，， ∴， 则由题意，得， 解得， ∴芳芳家月份用水量为． 故答案为：；　； （2）解：元， 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为元． （3）解：户月用水量为（）， ∴该用户应缴纳的水费为元， 答：该用户这个月应缴纳水费元． 36．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【答案】(1)0.5 (2)该居民家9月份的用电量为度 (3)10月份的电量为度 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方法，用8月份的电费除以用电量求出的值即可； （2）根据收费方法，列出算式进行计算即可； （3）设10月份的电量为度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.5； （2）， ∴该居民家9月份的用电量为：度； 答：该居民家9月份的用电量为度． （3）设10月份的电量为度，由题意，得： ， 解得：， 答：10月份的电量为度． 考点07 销售、利润问题 37．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市南谯区多校期中）某专卖店销售某品牌电脑，1月份的销售量为a台，2月份的销售量比1月份增加． (1)若3月份的销售量比2月份再增加，则3月份的销售量为________台．（用含a的代数式表示） (2)已知当月每台电脑的售价相同．若2月份每台电脑的售价比1月份降低了400元，且2月份与1月份的销售总额相同，求1月份每台电脑的售价． 【答案】(1) (2)4400元 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题．熟练掌握总价，单价，数量的关系，找到等量关系列方程，是解题的关键． （1）1月份的销售量为a台，得2月份的销售量台，得3月份的销售量台； （2）设1月份每台电脑售价为x元，则2月份每台电脑的售价为(x-400)元，依据“2月份的销售量比1月份增加10%，每台电脑的售价比1月份降低了400元．2月份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答． 【详解】（1）解：2月份的销售量：（台）， 3月份的销售量（台）； 故答案为：； （2）解：设每台电脑1月份的售价为x元， 根据题意，得， 解得． 答：每台电脑1月份的售价为4400元． 38．（22-23七年级·安徽六安·期中）某织布厂有工人150名，为改善经营，增设制衣项目，已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件用布米．将布直接出售，每米布可获利2元；将布制成衣后出售，每件可获利25元．若每名工人一天只能做一项工作（每天所织布仅限当天使用），且不计其他因素，设安排x名工人制衣．则： (1)一天中制衣所获得的利润为 元（用含x的代数式表示）； (2)一天中剩余布出售所获利润为 元（用含x的代数式表示）； (3)一天当中至少安排多少名工人制衣时，所获总利润不低于11800元？ 【答案】(1) (2) (3)一天当中安排100名工人制衣时，所获利润为11800元． 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据一天的利润每件利润件数人数，列出代数式； （2）安排名工人制衣，则织布的人数为，根据利润（人数米数制衣用去的布）每米利润，列代数式即可； （3）根据总利润，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，． 故答案为：； （2）解：由题意得，． 故答案为：； （3）解：由题意得，， 解得：． 答：一天当中安排100名工人制衣时，所获利润为11800元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 39．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）水果超市最近新进了一批白花玉石籽石榴，每斤进价5元，9月30日每斤售价10元，国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周石榴的售价变化情况和售出情况： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 35 40 x 30 (1)10月4日超市售出的石榴的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的石榴的收益如何？（收益为收入减去成本） (3)国庆黄金周水果超市出售此种石榴的收益为275元，则10月6日出售石榴多少斤？ 【答案】(1)8元 (2)105元 (3)10斤 【知识点】有理数加减混合运算的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查正数和负数及有理数计算的实际应用及一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据正负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可； （3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的单价是8元； （2）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的收益为赚105元； （3）解：∵每斤进价5元，9月30日每斤售价10元， 10月1日利润为：（元）， 10月2日利润为：（元）， 10月3日利润为：（元）， 10月4日利润为：（元）， 10月5日利润为：（元）， 10月6日利润为：（元）， 10月7日利润为：（元）， ∴（元）， 解得：， 答：10月6日出售石榴10斤． 考点08 方案选择问题 40．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十二中学 期中）某班举行了“庆祝建党98周年知识竞赛”活动,班长安排张小明购买奖品,如图两幅图是张小明买回奖品时与班长的对话情况: 请根据图1、图2的信息，解答下列问题: （1）张小明买了两种笔记本各多少本？(要求列一元一次方程解决问题) （2）为什么班长说不可能找回68元钱，请说明理由． 【答案】（1）张小明买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本；（2）见解析. 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设张小明买了5元的笔记本x本，根据题意列出关于x的一元一次方程组，求出x的值即可； （2）设买m本5元的笔记本，则买（40-m）本8元的笔记本，根据（1）中求出的5元、8元的笔记本的本数求出应找回的钱数，再与68相比较即可得出结论． 【详解】解：（1）设张小明买了5元的笔记本x本， 5x+8（40-x）=300-（68-13）， 解得：x=25； 则40-x=15（本）． 答：张小明买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本； （2）设买m本5元的笔记本，则买（40-m）本8元的笔记本， 依题意得，5m+8（40-m）=300-68， 解得：m=， ∵m是正整数， ∴m=不合题意，舍去． ∴不能找回68元． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，能根据题意得出关于x的一元一次方程是解答此题的关键． 41．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市高新区期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多 (2)加工厂到市场的距离为50千米 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， 则，解得：， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多． （2）解：设加工厂到市场的距离为千米， 则， 解得：， 答：加工厂到市场的距离为50千米． 考点09 图形规律与一元一次方程问题 42．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市明光市城区联考11月期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成．归纳图形规律，完成下列任务：    (1)填写下表： 图案编号 灰色小正方形个数 ______ ______ (2)第n个图案中灰色小正方形的个数有______个（用含n的代数式表示）； (3)若第n个图案中灰色小正方形的个数有，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现灰色小正方形的个数依次增加4是解题的关键． （1）根据所给图形依次求出灰色小正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 图1中灰色小正方形的个数为：； 图2中灰色小正方形的个数为：； 图3中灰色小正方形的个数为：； …， 所以图n中灰色小正方形的个数为个． 当时，（个）， 即图4中灰色小正方形的个数为个． 当时，（个）， 即图5中灰色小正方形的个数为个． 故答案为：． （2）由（1）知，图n中灰色小正方形的个数为个． 故答案为：． （3）根据题意，得． 解得． 答：n的值为506． 43．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区11月期中）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形：    (1)请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 _____ _____ … 小正方形/个 1 _____ _____ … (2)第个图形中，有大正方形_____个；有小正方形_____个；（用含的代数式表示） (3)在某个图形中，小正方形的个数能刚好比大正方形的个数多2025吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3，4，4，7 (2)， (3)能，第1014个图形中，小正方形的个数能刚好比大正方形的个数多2025 【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，第1个图形有大正方形个，小正方形个，第2个图形有大正方形个，小正方形个，第3个图形有大正方形个，小正方形个，依次规律解答即可． （2）根据（1）中的规律，得第个图形中，有大正方形个；有小正方形个． （3）根据题意，得，解方程，n有整数解既能，反之，不能． 本题考查了整式的规律探索，解方程，熟练掌握解方程，正确探索发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，第1个图形有大正方形个，小正方形个，第2个图形有大正方形个，小正方形个，第3个图形有大正方形个，小正方形个， 故答案为：3，4；4，7． （2）解：根据（1）中的规律，得第个图形中，有大正方形个；有小正方形个． 故答案为：，． （3）解：根据题意，得， 解得，是整数，符合题意， 故能，第1014个图形中，小正方形的个数能刚好比大正方形的个数多2025． 44．（2022-2023学年七年级上安徽省合肥市包河区部分学校期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的． (1)根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个． (2)第个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含的式子表示，为正整数） (3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)36，8 (2) (3)505，见解析 【知识点】图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据前三个图观察规律解答即可； （2）根据（1）中规律解答即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个图共有小正方形：个，其中灰色小正方形有：个； 第2个图共有小正方形：个，其中灰色小正方形有：个； 第3个图共有小正方形：个，其中灰色小正方形有：个； 第4个图共有小正方形：个，其中灰色小正方形有：个； 故答案为：36；8． （2）解：由（1）可知，第个图形中，小正方形共有：个，其中灰色小正方形有：， ∴白色小正方形共有：个． 故答案为：． （3）解：白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个． 设第个图形中，白色小正方形比灰色小正方形正好多2024个， 由题意得， 解得， 所以第505个图形中，白色小正方形比灰色小正方形正好多2024个． 【点睛】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，以及一元一次方程的应用，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律． 45．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长为1的小正方形组成，其中部分小正方形有阴影，按照这样的规律： (1)第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______，第个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______． (2)第个图形中，边长为1的小正方形总数是否可以为2024个，为什么？ 【答案】(1)17， (2)不可以，理由见解析 【知识点】图形类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查图形类规律探究，解一元一次方程，从已有图形中找到规律，是解题的关键： （1）观察可知，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个，进而求出第个图形中涂有阴影的小正方体的个数，即可； （2）根据规律，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：第一个图形中涂有阴影的小正方形的个数为5，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个， ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； 故答案为：17，； （2）不可以，理由如下： 观察可知：第一个共有9个小正方形，后一个图形中小正方形的个数比前一个多8个小正方形，则：第个图形中共有小正方形的个数为：， 当时，，不是整数， 故不可以． 46．（2023-2024学年七年级上安徽省阜阳市太和县期中）【观察思考】 【规律发现】； （）第个图案中“★”的个数是 ；第个图案与第个图案中“★”的个数之差为 ． （）第个图案中“◎”的个数是 ；第个图案中“◎”的个数是 （用含的式子表示）． 【规律应用】 （）已知第个图案与第个图案中“★”的个数之差比第个图案中“◎”的个数少，求正整数． 【答案】（），；（），；（）． 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， ∴第个图案中“★”的个数是， 第个图案与第个图案中“★”的个数之差为：， 故答案为：，； （）第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， ∴第个图案中“◎”的个数是， 第个图案中“◎”的个数是， 故答案为：，； ()由题意可得，， 整理得，， 解得：． 考点10 数轴上动点问题与一元一次方程 47．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛中学期中）阅读 可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示8所对应的点与4所对应的点之间的距离；可以看作，可理解为数轴上表示8所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： (1)可理解为数轴上表示x所对应的点与_________所对应的点之间的距离． (2)若方程，则满足条件的x的整数解有：____________ (3)如图所示，在数轴上，若点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15，且点B在点A的右侧，现有一点P以每分钟4个单位长度的速度从点A向右出发，点Q以每分钟3个单位长度的速度从点B向右出发，当的距离为5个单位长度时，求时间t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）结合题意，即可得到答案； （2）根据题意，表示x到的距离与x到3的距离和为4，得到，即可求出结果； （3）用代数式表示出P点和Q点表示的数，根据路程=速度时间表示出P点和Q点运动的距离，最后用绝对值表示出两点之间的距离并化简即可． 本题考查了一元一次方程、绝对值和代数式在数轴上的应用，关键根据题意列出代数式和方程，再根据正负去掉绝对值符号来解答． 【详解】（1）根据题意：可理解为数轴上表示x所对应的点与4所对应的点之间的距离， 故答案为：4； （2）根据题意：表示x到的距离与x到3的距离和为4 ∴ 满足条件的x的整数解有：， 故答案为：． （3）∵点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15 ∴点B表示的数为： 所以t分钟后，点P对应的数为∶， 点Q对应的数为∶， 所以点P与点Q的距离为∶ ， 整理： 解得：或． 48．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第五十中学西校区期中）如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 【答案】(1)3 (2)①；②的值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、带有字母的绝对值化简问题、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）先求出，再根折叠后点与点重合求出折叠点为2，再根据与点重合的点到折叠点的距离等于点到折叠点的距离进行求解即可； （2）①分别表示出运动秒后点，点，点表示的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据数轴上两点距离计算公式和整式的加减计算法则求出或，由的值是一个定值，得到的结果与无关，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，， ∴， 则， ， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点为， ∴与点重合的点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动秒后点，点，点分别表示的数为， ∵点在点右侧， ， 故答案为：； ②∵， 当时， ， 的值是个定值， 的结果与t无关， ， ． 当时， ∵的值是一个定值， ∴的结果与无关， ， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，数轴上两点的距离计算，最小的正整数，数轴上的动点问题等知识点，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 49．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市霍邱县11月期中）小明是个爱钻研的学生，遇到问题总是要一探究竟．现在他将形状、大小完全相同的两个长方形纸板放在数轴上（如图）． (1)一个长方形纸板的面积是_________； (2)小明将左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动，设移动时间为秒． ①他发现，在移动的过程中，有一段时间两个长方形重叠部分面积保持不变，那么两个长方形重叠部分面积保持不变的时间有多长？ ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，求的值． 【答案】(1)6 (2)①1秒；②的值为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上点的位置结合数轴上两点距离计算公式可得长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式求出面积即可； （2）①从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，据此计算重叠面积不变的时长即可；②分当点在之间，当点在之间，两种情况根据重叠部分为长方形结合长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的长为，宽为， ∴一个长方形的面积为， 故答案为：6； （2）解：①∵左边的长方形以每秒钟1个单位的速度沿着数轴向右移动， ∴从点与点重合开始，到点与点重合，这段时间内，两个长方形重叠部分面积保持不变，为； ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为4， ∴，， （秒），（秒），（秒）， ∴在移动的过程中，两个长方形重叠部分面积保持不变的时间为1秒．             ②当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，分两种情况： 当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得．             当点在之间，此时点表示的数为，于是 ， 解得． ∴当两个长方形重叠部分面积等于长方形面积一半时，的值为或． 50．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第三十八中学期中）综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 【答案】(1)20 (2)，5 (3)或， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）先表示出t秒时，甲、乙在数轴上表示的数，然后根据两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应数分别为，12， ∴， 故答案为：20； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴点P表示的数为； （3）解：t秒时，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 51．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区11月期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】【简单应用】（1）；（2）或；【拓展运用】第秒、第秒时、两点相距个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， 简单应用： （1）根据题目给定的距离及中点公式即可求得； （2）利用点与点的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； 拓展运用:结合运动方式写出点和点在秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：简单应用：（1）∵点在数轴上所对应的数为，点表示的数为， ∴， 、两点的中点表示的数为． 故答案为：， （2）∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的为：， 当点在点右边时，则点的为：， 故答案为：， 拓展运用: 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距个单位长度， 当点在点左侧时： 解得； 当点在点右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距个单位长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $