专题01 集合19大考点70题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题01 集合 考点01 集合的概念（共3小题） 1 考点02 判断元素与集合的关系（共4小题） 3 考点03 由元素与集合的关系求参（共3小题）（重点） 4 考点04 集合的表示方法（共4小题）（重点） 5 考点05 求集合中元素的个数（共3小题） 6 考点06 根据集合中元素的个数求参（共3小题） 7 考点07 求集合的子集（真子集）（共3小题） 8 考点08 集合中子集（或真子集）的个数问题（共4小题） 9 考点09 判断两个集合的关系（共4小题） 11 考点10 根据集合的包含关系求参数（共3小题）（重点） 13 考点11 根据集合相等求参数（共3小题） 14 考点12 进行集合的运算（共6小题）（重点） 15 考点13 由集合的运算求参（共6小题）（重点） 17 考点14 由集合的运算确定集合(共3小题) 21 考点15 Venn图及其应用（共3小题） 22 考点16 容斥原理及其应用（共3小题）（难点） 24 考点17 与集合有关的数学文化题(共3小题) 26 考点18 与集合有关的探究问题（共4小题）（难点） 28 考点19集合新定义题（共5小题）（难点） 31 考点01 集合的概念（共3小题） 1．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得. 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 2．(多选)（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 3．(多选)（24-25高一上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 考点02 判断元素与集合的关系（共4小题） 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 5．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 6．(多选)（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A由元素与集合关系可判断选项正误； B由空集定义可判断选项正误； C由N定义可判断选项正误； D由Q定于可判断选项正误. 【详解】选项A：因为a是集合中的元素，所以，所以选项A错误； 选项B：因为是任何集合的子集，所以，所以选项B错误； 选项C：因为N中含有元素0，1，而且还有其他元素，所以，所以选项C正确； 选项D：因为是无理数，而Q是有理数集，所以，所以选项D错误； 故选：ABD． 7．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 考点03 由元素与集合的关系求参（共3小题） 8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 9．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 10．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 考点04 集合的表示方法（共4小题） 11．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 【答案】 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 13．（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ． 【答案】 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可. 【详解】因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5， 所以该集合为. 故答案为： 14．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 考点05 求集合中元素的个数（共3小题） 15．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 【答案】4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 17．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 考点06 根据集合中元素的个数求参（共3小题） 18．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 19．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 20．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 考点07 求集合的子集（真子集）（共3小题） 21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 23．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 考点08 集合中子集（或真子集）的个数问题（共4小题） 24．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 25．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 26．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【答案】或或 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 27．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 考点09 判断两个集合的关系（共4小题） 28．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解. 【详解】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 29．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 30．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 31．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可. 【详解】由题意得，， ，， 我们先化简集合，集合可化为， 所以，故A正确，而点在直线上， 则成立，故C正确，因为是数集， 是点集，二者一定无交集， 故成立，故D正确， 因为是数集，是点集， 二者一定无交集，故不成立，故B错误. 故选：ACD 考点10 根据集合的包含关系求参数（共3小题） 32．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求. 【详解】由题意得， 因为是的真子集， 当时，，得； 当时，，得， 故的取值范围为. 故选：AD 33．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 34．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 考点11 根据集合相等求参数（共3小题） 35．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 36．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果. 【详解】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 37．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 考点12 进行集合的运算（共6小题） 38．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以集合中元素的个数为. 故选：. 39．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：D. 40．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的并集和补集运算即可求解. 【详解】由可得： 又由，可得， 故选：C. 41．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集和交集运算即可求得结果. 【详解】由，又因为， 所以， 故选：B. 42．（多选）（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 43．（2025·四川巴中·二模）设集合，则 . 【答案】 【分析】首先求解集合M，再根据补集概念得到答案. 【详解】对于方程，根据十字相乘法可得. 则或，解得或，所以. 因为，所以. 考点13 由集合的运算求参（共6小题） 44．（24-25高一上·海南儋州·期中）设，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】根据交集的结果直接求出参数的取值范围. 【分析】因为，且， 所以.故选：A. 45．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 46．（多选）（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等价于，列式求解即可； （2）利用，等价于，列式求解即可. 【详解】（1），， 因为，所以， 所以解得， 故实数的取值范围为； （2），， 因为，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，解集为， 综上，实数的取值范围为. 48．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以，. （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则. 综上，实数a的取值范围为. 49．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）先求出当时的集合，再根据补集和并集定义即可计算求解. （2）先由题意求得，接着求出，再分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）若，则， 所以或，又集合或， 所以或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时符合题意，此时，即； 当时，要使， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 考点14 由集合的运算确定集合(共3小题) 50．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得中的元素，再根据，，，即可求得结果. 【详解】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 51.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 52．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】依题意画出Venn图表示出集合间的基本关系，即可判断出元素与集合间的关系. 【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 考点15 Venn图及其应用（共3小题） 53．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 54．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 55．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案. 【详解】对A，由图知，故A正确； 对B，由图知不是的子集，故B错误； 对C，由图知，故C正确； 对D，由图知，故D正确. 故选：ACD. 考点16 容斥原理及其应用（共3小题） 56．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 57．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 58．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 考点17 与集合有关的数学文化题(共3小题) 59．（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 【答案】ACD 【分析】依题意可知整数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2；对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】根据题意可知，代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数； 对于A，可知，即A正确； 对于B，可得，不合题意，即B错误； 对于C，可得，即C正确； 对于D，易知.可知D正确. 故选：ACD 60．（24-25高一上·重庆·期中）我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这比外国早了近千年．事实上，无理数．如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记．设函数的定义域为，值域为，则关于函数，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定信息求出函数的定义域、值域，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，， 显然，，，AD正确，C错误； 而小数点后第8位上的数字为5，因此，B正确. 故选：ABD 61．（24-25高一上·山东青岛·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为 ； 【答案】31 【详解】， 时，，， 时，不等式化为，或，∴， 所以或， 又， 所以，它的子集有32个，非空子集有31个， 考点18 与集合有关的探究问题（共4小题） 62．（24-25高一·全国·课后作业）设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若，则． (1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个． (2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由． 【分析】由S的性质： ，则 ，所以 ，即S的元素是和为10的正整数对，据此以及题目的要求推理构思. 【详解】（1）若集合S中只有一个元素，则只需满足，故，则， 若集合S中有两个元素，则符合条件，（答案不唯一） 若集合S中有三个元素，则符合条件；（答案不唯一） （2）由于S中的元素是成对的，6个元素只要确定3个，另外的3个自然就确定了， 因为 ，所以三个不同的元素应在1，2，3，4中选出（也可以在6,7,8,9中选出）， 选法有1,2,3；1,2,4；2,3,4；1,3,4；四种， 所以一共有四个：或或或； 63．（24-25高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知集合，. （1）若集合中有个元素，求实数不可以取的值的集合； （2）是否存在实数，使，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，或. 【分析】（1）根据集合的并集运算以及集合的互异性列出关于的不等式解出即可； （2）根据集合的包含关系得，结合互异性即可得结果. 【详解】（1），，有个元素， ，，，， ，，， 不可以取的值的集合为. （2）若，则， 由集合中元素的互异性知或 或 当时，，， 当时，，，. 存在实数或，使. 64．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【分析】（1）由题意，，再根据求解即可； （2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）当时，， ， 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. （2）由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 65．（24-25高一上·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 考点19集合新定义题（共3小题） 66．（25-26高一上·上海·开学考试）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】利用集合新运算把问题转化为熟悉的问题来求解. 【详解】或，或， 或， 或，①正确； 或且，②正确. 故选：B 67．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，，定义集合，则中有 个元素． 【答案】99 【分析】先确定集合，的元素个数，再确定、的取值情况，即可得答案. 【详解】因为， 则， 所以中的元素有: 共9个； 又因为， 所以， 所以中共有个元素； 又因为， 所以，， 所以，共11种可能； ，共9种可能， 所以中有个元素. 68．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段练习）设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用“完美集”的定义逐一判断各命题即可. 【详解】对于①，若是“完美集”，且， 假设也是“完美集”，设，在中任取一个， 此时可证得，否则若，由于也是“完美集”， 则，与矛盾，故， 由于是“完美集”， 也是“完美集”，所以， 而，这与矛盾， 故当且是“完美集”时，则不是“完美集”， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故①错误； 对于②，取，则， 又是“完美集”，， ， 所以是“完美集”，故②正确； 对于③，当集合时，显然它是“完美集”，即可以是有限集，故③正确； 对于④，取“完美集”， 则，但，即此时不是“完美集，故④错误． 69．（25-26高一上·河南·阶段练习）已知集合． (1)若，求； (2)设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值； (3)若，求． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据题设分类讨论求解即可； （2）设，可得，即可得到，再令，分析可得此时，即可求解； （3）由题设易得中负数的个数为1或2或3，设，进而分情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故. （2）设，则， 则. 令，则，， 即. 因为，所以此时，故的最小值为3. （3）因为，其中3个负数2个正数， 所以中负数的个数为1或2或3，设. 若，则， 因为中元素大于1，所以不符合题意，舍去. 若，则． 因为，所以， 则，，，则， 所以， 解得，则， 此时，符合题意. 若，则． 因为中只有元素大于1，所以不符合题意，舍去. 综上所述，. 70．（24-25高二下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【详解】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 考点01 集合的概念（共3小题） 1 考点02 判断元素与集合的关系（共4小题） 2 考点03 由元素与集合的关系求参（共3小题）（重点） 2 考点04 集合的表示方法（共4小题）（重点） 3 考点05 求集合中元素的个数（共3小题） 3 考点06 根据集合中元素的个数求参（共3小题） 3 考点07 求集合的子集（真子集）（共3小题） 4 考点08 集合中子集（或真子集）的个数问题（共4小题） 4 考点09 判断两个集合的关系（共4小题） 5 考点10 根据集合的包含关系求参数（共3小题）（重点） 5 考点11 根据集合相等求参数（共3小题） 6 考点12 进行集合的运算（共6小题）（重点） 6 考点13 由集合的运算求参（共6小题）（重点） 7 考点14 由集合的运算确定集合(共3小题) 8 考点15 Venn图及其应用（共3小题） 8 考点16 容斥原理及其应用（共3小题）（难点） 9 考点17 与集合有关的数学文化题(共3小题) 10 考点18 与集合有关的探究问题（共4小题）（难点） 10 考点19集合新定义题（共5小题）（难点） 11 考点01 集合的概念（共3小题） 1．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 2．(多选)（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 3．(多选)（24-25高一上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 考点02 判断元素与集合的关系（共4小题） 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南信阳·期中）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点03 由元素与集合的关系求参（共3小题） 8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 10．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 考点04 集合的表示方法（共4小题） 11．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为 . 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 13．（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ． 14．（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 考点05 求集合中元素的个数（共3小题） 15．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 17．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 考点06 根据集合中元素的个数求参（共3小题） 18．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 19．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 20．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 考点07 求集合的子集（真子集）（共3小题） 21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 23．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 考点08 集合中子集（或真子集）的个数问题（共4小题） 24．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 26．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 27．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 考点09 判断两个集合的关系（共4小题） 28．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 29．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 30．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 31．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点10 根据集合的包含关系求参数（共3小题） 32．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 34．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 考点11 根据集合相等求参数（共3小题） 35．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 36．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 37．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 考点12 进行集合的运算（共6小题） 38．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）设集合，则（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 42．（多选）（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 43．（2025·四川巴中·二模）设集合，则 . 考点13 由集合的运算求参（共6小题） 44．（24-25高一上·海南儋州·期中）设，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 45．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 46．（多选）（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 48．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 49．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 考点14 由集合的运算确定集合(共3小题) 50．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 51.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 52．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 考点15 Venn图及其应用（共3小题） 53．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 54．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 55．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 考点16 容斥原理及其应用（共3小题） 56．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 57．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 58．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 考点17 与集合有关的数学文化题(共3小题) 59．（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A．23 B．68 C．128 D．233 60．（24-25高一上·重庆·期中）我国南北朝时期著名的数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这比外国早了近千年．事实上，无理数．如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记．设函数的定义域为，值域为，则关于函数，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 61．（24-25高一上·山东青岛·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的非空子集个数为 ； 考点18 与集合有关的探究问题（共4小题） 62．（24-25高一·全国·课后作业）设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若，则． (1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个． (2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由． 63．（24-25高一上·辽宁锦州·阶段练习）已知集合，. （1）若集合中有个元素，求实数不可以取的值的集合； （2）是否存在实数，使，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 64．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 65．（24-25高一上·上海·期中）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 考点19集合新定义题（共3小题） 66．（25-26高一上·上海·开学考试）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①②都错误 D．①错误，②正确 67．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知集合，，定义集合，则中有 个元素． 68．（25-26高一上·河南鹤壁·阶段练习）设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是 ． 69．（25-26高一上·河南·阶段练习）已知集合． (1)若，求； (2)设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值； (3)若，求． 70．（24-25高二下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $