第2章分式与分式方程 单元自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四学制）八年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四学制）八年级数学上册《第2章分式与分式方程》 单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 6．若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 7．新情境  今年的5月12日某校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次多15人，结果1600名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示电路的总电阻R为，若（总电阻R，与的关系∶），则的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（满分24分） 9．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为．则 ． 10．填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 11．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 12．若分式与分式的值相等，则 ． 13．若，则代数式 ． 14．已知，则 ． 15．已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为 ． 16．某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知，求A、B的值． 19．先化简，再求值：，其中是不等式组 的整数解． 20．已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 21．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装．已知A款套装的单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元． 22．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 23．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 参考答案 1．解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；的分母中含有字母，是分式． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质逐项判断，可得答案. 【详解】解：因为，所以A不符合题意； 分式的分子和分母都除以3，得，所以B符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意. 故选：B. 3．B 【分析】先将分式方程中的分母化为相同形式，再根据等式的性质，给方程两边同乘最简公分母去分母，从而判断变形是否正确．本题主要考查了解分式方程去分母的步骤，熟练掌握分式方程去分母时给方程两边同乘最简公分母的方法是解题的关键． 【详解】解：， ． 方程两边同乘，得 ． 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，由题意可得，结合分式的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； 故选B． 7．A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“时间 总人数每秒撤离人数”的关系是解题的关键．根据时间 = 总人数÷每秒撤离人数，分别表示出第一次和第二次撤离所用时间，再结合第二次比第一次节省240秒的关系列方程． 【详解】解：由题意得 ，变形为． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了分式方程的应用． 将已知条件代入，进而解分式方程即可． 【详解】解：∵总电阻R为，若， ∴， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故选：A． 9．解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴， 又∵当时，此分式的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 11． 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 12． 【分析】此题考查了解方式方程，根据题意列出分式方程，求出解后要检验是否是增根． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 故答案为：． 13．3 【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则以及整体思想成为解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 14．4 【分析】本题考查分式的求值，把条件式转化为，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4． 15．且 【分析】先解分式方程，再根据分式方程有正数解得不等式，求解不等式得结论．本题主要考查了分式方程，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 整理，得， 关于x的分式方程有正数解， 且 且 故答案为：且 16．解：设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得：， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算： （1）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，约分化简即可； （2）将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，约分化简即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 19．， 【分析】本题主要考查了分式化简求值和不等式组的求解，通过分式有意义的条件得出字母的值代入计算是解题的关键． 先对分式的分子和分母进行因式分解，再对括号内的两个分式通分，最后乘以，即可得到最简的式子，再求出不等式组的解集，再根据分式有意义的条件判断出具体的的值，代入计算即可． 【详解】原式 ， 解不等式，得， 为整数，且，，， ， 当时，原式． 20．(1)的值为或或； (2)且． 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【详解】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又 ， ， 且， 的取值范围为且． 21．A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设B款套装的单价是元，根据“用9900元购买的A款套装的数量比用7500元购买的B款套装的数量多5套”，即可列分式方程求解． 【详解】解：设B款套装的单价是元，则A款套装的单价是元． 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元． 22．(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 23．（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 学科网（北京）股份有限公司 $