精品解析：陕西省西安市工业大学附属中学2025-2026学年七年级上学期9开学考试数学试卷

数学 一、选择题（共5小题，每小题3分，计15分） 1. 自然数36、45、60的最小公倍数为（ ） A. 1800 B. 360 C. 180 D. 120 2. 将如图所示的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是 ） A. B. C. D. 3. 盒子中原来有5个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成5个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成5个小球放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是（ ） A. 2028 B. 2027 C. 2026 D. 2025 4. 若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减去这两数之差（大减小）等于（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每小题3分，计30分） 6. 有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的数是__________． 7. 如图，桌面上放着两个正方形，则这两个正方形盖住桌面的面积为__________． 8. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则______． 9. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人．则这个班的学生共有__________人． 10. 某年的10月里有5个星期六，4个星期日．则这年的10月1日是星期__________． 11. 一本书已读了总数的还多15页，已读的页数与未读的之比是，则全书共__________页． 12. 老师在黑板上写了七个自然数，让同学们计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答案是，老师说：“除最后一位数字外其他都对了．”那么，正确的得数应是__________． 13. 如图，正方形的边长为6，，，点D在上，则长方形的面积为__________． 14. 用若干台计算器同时录入一部书稿，计划若干小时完成．如果增加3台计算器，则只需原定时间的；如果减少3台计算器，则比原定时间多用小时．那么原定完成录入这部书稿的时间是__________小时． 15. 甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，小时相遇后，甲调头返回地，乙继续前行．甲到达地后掉头往行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从到共需的时间为__________小时． 三、解答题（共7小题，计55分） 16. 计算题： （1）计算：； （2）简便运算：； （3）解方程：． 17. 一个长方体的包装箱，用尼龙编织条在三个方向加固，所用尼龙编织条分别长，，，若每个尼龙编织条加固时接头重叠部分都是．问这个长方体包装箱的体积是多少立方厘米？ 18. 甲、乙两堆面粉，已知甲堆面粉比乙堆多40袋，当甲堆运走，乙堆运走后，甲、乙两堆剩下的面粉袋数的比是，甲堆面粉原来有多少袋？ 19. 甲、乙、丙三人在A，B两块地植树， A地要植树900棵， B地要植树1250棵，已知 甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地 植树，然后转到B 地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？ 20. 下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 21. 某商店大米出售价格标准如下：一次性购买20千克以下，每千克2元，当超过20千克时，超过部分为1.90元．张老师前后购买两次，购买量之比为，共用去106.6元，问：两次各用去多少钱？ 22. 问题情境 如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折 叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿 ∠Bn An C 的平分线 An Bn－1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，我们就称 ∠BAC是△ABC 的正角． 以图 2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，则∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 第二次折叠，则点 B1 与点 C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角. 探究发现 （1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) . （2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B ＞∠C ) 之间的等量关系 为 ． 根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与 ∠C （不妨设∠B＞ ∠C ) 之间 的等量关系为 ． 应用提升 （3）如果一个三角形的最小角是 10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是 它的正角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共5小题，每小题3分，计15分） 1. 自然数36、45、60的最小公倍数为（ ） A. 1800 B. 360 C. 180 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求几个数的最小公倍数的方法，分解质因数法求几个数的最小公倍数，把这几个数分解质因数，把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。据此解答． 【详解】解：， ， ， 所以自然数36、45、60的最小公倍数为， 故选：C． 2. 将如图所示的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的展开图及图纸的特点即可判断. 【详解】由分析可知，圆心角为90°的扇形纸片MON围成的圆锥形纸帽，使扇形两条半径OM,ON重合，则围成的圆锥形纸帽是第二种，故选B. 【点睛】此题主要考查圆锥的展开图的特点，解题的关键是根据展开图的特点进行判断. 3. 盒子中原来有5个小球，魔术师从中任取几个小球，把每一个小球都变成5个小球放回盒中；他又从中任取一些小球，把每一个小球又都变成5个小球放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术，此时盒中球的总数可能是（ ） A. 2028 B. 2027 C. 2026 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律，每次操作后，盒中球数增加量是4的倍数，总球数减去5后为4的倍数，据此验算选项即可． 【详解】解：初始球数为5，每次操作取出k个球，每个变为5个，故球数变化为： 原球数原球数． 因此，每次操作后球数增加，总球数可表示为，其中为各次取出的球数． 由此可知，总球数减去5后必为4的倍数， 四个选项中仅D选项的， 故选：D． 4. 若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合数，根据合数的定义解答即可求解，理解合数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，这四个数分别是， 所以这四个数之和的最小值为， 故选：． 5. 两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减去这两数之差（大减小）等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了和差倍问题，分数的混合运算．设较大的数为甲，较小的数为乙，根据和倍公式得乙是，甲是，即可求解． 【详解】解：设较大的数为甲，较小的数为乙， 由和倍公式得乙是：， 那么甲是：， 两个数的积是：， 两数之差为：， 这两数之积减去这两数之差（大减小）等于． 故选：A 二、填空题（共10小题，每小题3分，计30分） 6. 有5个分数：，，，，，如果按大小顺序排列，排在中间的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分数大小比较，先将各个分数减去后比较大小，即可得出5个分数的大小，最后得出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴排在中间的数是． 故答案为：． 7. 如图，桌面上放着两个正方形，则这两个正方形盖住桌面的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形和长方形的面积公式，熟练掌握正方形的面积等于边长的平方和长方形面积等于长乘宽是解题的关键． 盖住桌面的部分等于两个空白部分的面积加上重叠阴影部分的面积，也等于两个正方形的面积减去阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球， ∴共有(2+n)个球，其中黄球n个， 根据概率公式知：P(摸到黄球)=， 解得n=8. 故答案为8. 【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于根据概率公式列出方程. 9. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人．则这个班的学生共有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了容斥原理，掌握容斥原理是解题的关键． 根据只英语得100分的人数＋只数学得100分的人数＋两门功课都得100分的人数＋两门功课都未得100分的人数即为总人数求解即可． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：． 10. 某年的10月里有5个星期六，4个星期日．则这年的10月1日是星期__________． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了逻辑推理．根据10月有31天，，可得10月31日前28天是10月3日即为星期六，再由10月里才会出现5个星期六，4个星期日，可得10月2日是星期五，即可求解． 【详解】解：因为10月有31天，， 所以10月31日前28天是10月3日即为星期六， 因为10月里才会出现5个星期六，4个星期日， 所以10月2日是星期五， 所以10月1日是星期四． 故答案为：四 11. 一本书已读了总数的还多15页，已读的页数与未读的之比是，则全书共__________页． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分数的四则混合运算，比的应用，正确理解题意是解题的关键． 先根据已读与未读页数的比例求出已读页数占总数的分率，再找出15页对应的分率，最后用除法求出全书总页数． 【详解】解： （页）， 所以全书共225页， 故答案为：． 12. 老师在黑板上写了七个自然数，让同学们计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答案是，老师说：“除最后一位数字外其他都对了．”那么，正确的得数应是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查求商的近似值的方法(四舍五入法)，以及求平均数的方法．解决此题时，由平均数求出总数，由于是自然数之和，故可推出准确值，再利用准确值求出正确平均数． 根据，可得7个自然数它们的和可能是103，即可求解． 【详解】解：因为， 所以7个自然数它们的和可能是103， 因为， 所以正确得数是． 故答案为： 13. 如图，正方形的边长为6，，，点D在上，则长方形的面积为__________． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的特征．连接，求出，，可得，再由长方形的面积是三角形面积的二倍，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 因为正方形的边长为6，，， 所以，， 所以， 因为长方形的面积是三角形面积的二倍， 所以长方形的面积是． 故答案为：33 14. 用若干台计算器同时录入一部书稿，计划若干小时完成．如果增加3台计算器，则只需原定时间的；如果减少3台计算器，则比原定时间多用小时．那么原定完成录入这部书稿的时间是__________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了工程问题．先求出计算机增加了原来的几分之几，可求出原来计算机的台数，即可求解． 【详解】解：计算机增加了原来的， 原来计算机的台数为台， 减少3台计算机的工作效率是原来的， 小时， 答：原定完成录入这部书稿的时间是小时． 故答案为： 15. 甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，小时相遇后，甲调头返回地，乙继续前行．甲到达地后掉头往行驶，半小时后和乙相遇．那么乙从到共需的时间为__________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了行程问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得甲乙速度比为，再根据时间，速度，路程三者关系，可得乙从到共需的时间． 【详解】解：由题意可得甲乙速度比为：， ∴ (小时)， 答：乙从到共需小时． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，计55分） 16. 计算题： （1）计算：； （2）简便运算：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先进行乘方和乘除运算，再进行加减运算即可； （）利用乘法分配律运算即可； （）根据等式的性质解答即可； 本题考查了有理数的混合运算，解方程，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 17. 一个长方体的包装箱，用尼龙编织条在三个方向加固，所用尼龙编织条分别长，，，若每个尼龙编织条加固时接头重叠部分都是．问这个长方体包装箱的体积是多少立方厘米？ 【答案】立方厘米 【解析】 【分析】本题考查了长方体的体积，设长方体的长、宽、高分别为，可得，，，求出的值进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为， 由题意可得，，，， 所以，，， 所以， 即， 所以，，， 所以长方体包装箱的体积为立方厘米， 答：这个长方体包装箱的体积是立方厘米． 18. 甲、乙两堆面粉，已知甲堆面粉比乙堆多40袋，当甲堆运走，乙堆运走后，甲、乙两堆剩下的面粉袋数的比是，甲堆面粉原来有多少袋？ 【答案】甲堆面粉原来有袋 【解析】 【分析】本题考查了比的应用，正确理解题意是解题的关键． 设甲堆面粉原来有袋，则乙堆面粉原来有袋，表示出甲、乙两堆剩下的面粉袋数，再由比为建立方程求解． 【详解】解：设甲堆面粉原来有袋，则乙堆面粉原来有袋， 由题意得：， 解得：， 答：甲堆面粉原来有袋． 19. 甲、乙、丙三人在A，B两块地植树， A地要植树900棵， B地要植树1250棵，已知 甲、乙、丙每天分别植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地 植树，然后转到B 地植树，两块地同时开始，同时结束，乙应该开始后第几天从A地转到B地？ 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了对工程问题的解答方法的掌握情况，解题关键在于熟练掌握一元一次方程和工程问题的等量关系. 甲、乙、丙三人在植树过程中都没有停，设都干了天，则共植了2150棵树，由此可得出都干了25天．乙在开始后第11天从A地转到B地． 【详解】解：设共干了天， 解得： （棵） （天） 即第11天从A地转到B地． 答：两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第11天从A地转到B地. 20. 下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到厘米是解题的关键． 设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为，大长方形的宽为，，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为厘米，图（1）中阴影部分的周长为厘米，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图（2）得：大长方形的长为厘米，大长方形的宽为厘米，， ∵大长方形的长比宽多6厘米， ∴，大长方形的宽为厘米， ∴厘米， ∴图（2）中阴影部分的周长为厘米， 图（1）中阴影部分的周长为厘米， ∵厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 21. 某商店大米出售价格标准如下：一次性购买20千克以下，每千克2元，当超过20千克时，超过部分为1.90元．张老师前后购买两次，购买量之比为，共用去106.6元，问：两次各用去多少钱？ 【答案】张老师第一次用去元，第二次用去59元 【解析】 【分析】本题主要考查了比的应用，整数、小数的四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． 分类讨论，当两次都未超过20千克时，计算出费用判断不符合题意；当第一次购买量为20千克时，第二次购买量应为千克，计算出费用判断不符合题意；张老师两次购买大米的重量都超过了20千克，再根据题意结合比的意义求解计算． 【详解】解：若两次都未超过20千克，由于前后两次购买量之比为，则两次花费最多为： (元)，不符合题意； 因为前后两次购买量之比为， 所以当第一次购买量为20千克时，第二次购买量应为（千克）， 则两次购买的总钱数是： (元)， 因为，即总钱数少于实际用去的钱数， 所以张老师两次购买大米的重量都超过了20千克， 20千克花的钱： (元)，总共超过的重量： (千克)， 两次一共买的重量： (千克)， 第一次买的重量：(千克)， 第二次买的重量： (千克)， 所以第一次花的钱： (元)， 第二次花的钱： (元)， 答：张老师第一次用去47.6元，第二次用去59元． 22. 问题情境 如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折 叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿 ∠Bn An C 的平分线 An Bn－1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，我们就称 ∠BAC是△ABC 的正角． 以图 2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，则∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 第二次折叠，则点 B1 与点 C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角. 探究发现 （1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) . （2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B ＞∠C ) 之间的等量关系 为 ． 根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与 ∠C （不妨设∠B＞ ∠C ) 之间 的等量关系为 ． 应用提升 （3）如果一个三角形的最小角是 10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是 它的正角. 【答案】（1）是；（2） B 3C ； B nC；（3）10°；160° 【解析】 【分析】（1）仔细分析题意根据折叠的性质及题中“正角”的定义即可作出判断； （2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折叠的∠A2 B2C=∠C，由∠AB B1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果； （3）因为最小角是10°是△ABC的正角，根据正角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数），由题意得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是17的整数因子，从而可以求得结果. 【详解】（1）∵沿∠BAC的平分线AB1折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C ∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C 又∵平分线A1B2 ∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2 ∴ B1 A1 B2≌ C A1 B2 ∴将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合， ∴∠BAC是不是△ABC的正角 故填：是； （2）折叠的情况如下图： ∵根据折叠的性质知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C， ∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C ∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C 故填：∠B=3∠C； 由折叠1次知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的正角； 由折叠2次知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的正角； 由折叠3次知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的正角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C 故填：∠B=n∠C； （3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角， 因为最小角是10°是△ABC的正角， 根据正角定义,则可设另两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数)， 由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17， ∵m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子， ∴m=1，n+1=17， ∴m=1，n=16， ∴10m=10°,10mn=160°， ∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°、160°. 【点睛】本题主要考查三角形的三角形的外角定理和图形折叠的特性，解题的关键是理解题意，找出∠B=n∠C这个规律. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $