3.3 轴对称与坐标变化（3题型+针对训练）2025-2026学年八年级数学上册【北师大版2024】

第三章 位置与坐标 3.3 轴对称与坐标变化 命题01：坐标系中的对称……………………………………………………01 命题02：坐标与图形变化-轴对称……………………………………………03 命题03：坐标系中的动点问题（不含函数）………………………………09 针 对 训 练……………………………………………………………………16 命题01：坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是关于轴对称的点的特征，解题关键是熟练掌握关于轴对称的点的特征． 由“关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数”即可得解． 【详解】解：关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数， 若点与点关于轴对称，则，． 故选：． 2．过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中直线的位置与点坐标的关系，解题的关键是根据两点纵坐标相同判断直线与轴的位置关系． 通过观察、两点坐标的特征，根据坐标与直线位置关系来判断直线情况． 【详解】两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过两点的直线一定平行于轴． 故选：B． 3．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示： 故选：B． 4．点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，在坐标系中，两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行x轴 的点的纵坐标相等，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：1． 6．如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质即可得解，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意以及中心对称的性质可得，若点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 命题02：坐标与图形变化-轴对称 7．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于对称轴对称的点的坐标， 根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案. 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为. 故选：D. 8．点P关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，来求解点关于轴的对称点坐标．本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：点 关于x轴的对称点的坐标是， 故选：． 9．点关于轴对称点的坐标是，则P点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，依次即可求出点坐标，进而得出点的坐标． 【详解】解：∵点关于轴对称点的坐标是， ∴点坐标为， ∵P点关于y轴的对称点是， ∴点坐标为， 故选：B． 10．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征、轴对称图形的定义，根据两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解： 与关于轴对称， 点与点关于轴对称， ， ． 故选：A． 11．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系． 根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案． 【详解】解：由题意，得点A坐标应为，点B的坐标应为， 所以A，B两点原来的位置关系是重合． 故选：D． 12．已知和关于轴对称，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 13．将如图所示的正六边形放入平面直角坐标系后，若点A，B，E的坐标分别为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解决点的坐标问题，关于坐标轴对称的点的坐标特征，正六边形的性质，解题的关键在于利用数形结合思想，认真观察题中的条件确定坐标轴的位置． 利用关于坐标轴对称的点的坐标特征，判断出对称点，然后根据正六边形的性质求解即可． 【详解】解：由可得，点关于轴对称， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴点关于轴对称， ∵， ∴， 故答案为：． 14．若，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0求出a、b的值． 先根据算术平方根和完全平方式的非负性得到，求出的坐标，再根据关于轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 15．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，轴对称变换等知识，根据变换的定义解决问题即可． 【详解】解：由题意，得 将按序列“01”作变换，将先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到； 再将作2次变换，可得，； 再将作2次变换，可得，； .....． ∴点经过“0101……01”共2025次变换后得到点，横坐标向右移动次，纵坐标关于x轴对称次，则点的坐标为． 故答案为：． 16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____________； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_____________； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析，4 (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质，熟练掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案； （3）由P为x轴上一点，的面积为4，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵、、． ∴在平面直角坐标系中画出如下； ； 故答案为：4； （2）解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵P为x轴上一点，的面积为4， 即， ∴， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为：或， ∴P点坐标为：或． 17．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析； (2)7 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形面积看成矩形面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P即为所求． 命题03：坐标系中的动点问题（不含函数） 18．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解． 本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意， 得或， 解得或， 故点P的坐标为或， 故选：C． 19．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 20．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 21．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点， 物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，如图， 此时相遇点的坐标为：， 故选：B． 22．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 23．在平面直角坐标系中，点，经过点A的直线轴．若为直线上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短可知时最短． 【详解】解：如图，根据垂线段最短可知，时最短． ，轴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握垂线段最短． 24．如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点P第2023次运动到的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，点的纵坐标依次为，每个循环向右运动4个单位， ， 第2023次运动时，点P在第506次循环的第3次运动上， 横坐标为，纵坐标为0， 此时． 故答案为：． 25．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 针对训练： 1．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于y轴对称的点的坐标特点：两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：D． 2．如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系， 点与点关于轴对称， ， 故选：C 3．平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标．根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】解：平面直角坐标系内的点与点关于轴对称． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 5．已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 6．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（   ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 【答案】A 【详解】解：将A向右平移5个单位，可得，能使四个“中国结”关于y轴对称． 故选：A 7．已知点和点关于轴对称，则为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的定义是解题的关键． 根据轴对称的定义和坐标轴的特点进行计算即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴． 故选：D ． 8．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 9．点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解一元一次方程． 根据关于轴对称的点的坐标特征，列方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 10．已知点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及零指数幂，熟练掌握关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、的值，再计算． 【详解】解：∵点，关于轴对称， ∴，． 由，得． 则． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于轴的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，从而可得当点、、在同一直线上时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，直接利用关于轴对称点的性质“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 13．如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点的坐标是，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，以长方形的中心为原点建立坐标系，即长方形关于坐标轴对称， ∵点的坐标是， ∴点B与点A关于x轴对称，则； 点C与点B关于x轴对称，则． 点D与点A关于x轴对称，则; 故答案为：，，． 14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．已知点，点B是点A关于x轴的对称点，在围成的内部（不包含边界），整点的个数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整点的定义，坐标与图形变化-轴对称，先确定点的坐标，再明确三角形的顶点坐标，然后根据整点的定义，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴对称称的点，依次连接，根据整点的定义可知，在围成内部（不包含边界），整点的个数共有个， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，P是的中点．点M从A点出发以向点C运动，点N从C点出发以向点B运动，点Q是的中点，连接．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点M的运动时间为 s． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中动点问题和勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的建立平面直角坐标系；先根据图中直角的存在建立平面直角坐标系，再根据勾股定理算出两点的距离，算出未知数，要注意找到符合题目要求的数，即可得到答案； 【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，构造直角坐标系， 则点B的坐标为，点A的坐标为， ∵点P是的中点， ∴点P的坐标为， （秒），（秒）， 当运动时间为t秒时， 点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， 由题意可得： ，整理得：， 解得： ， ， 经检验，， 是所列方程的解符合题意，不合题意，舍去， ∴点M的运动时间为s． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于x轴对称的图形，并用坐标表示_____，_____，_____； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，， (2)9 【详解】（1）解：如图，为所作，，； （2）如图所示，将补充梯形 ∴，，，，， ． 故答案为：9． 17．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： (1)的面积是 ； (2)画出关于y轴的对称图形； (3)写出关于x轴对称的的各顶点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，， 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图和求三角形的面积，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）利用割补法将图中分割成一个长方形减去三个三角形的面积即可得出答案； （2）根据点关于y轴对称的特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数” 写出、、三点坐标，然后顺次连接即可得到； （3）根据点关于x轴对称的特征“横坐标相同，纵坐标互为相反数” 写出、、三点坐标即可． 【详解】（1）解：的面积为：； 故答案为：； （2）解：根据平面直角坐标系可知：、、， 关于y轴对称的点坐标分别为：、、， 描点，连线，如图所示，即为所求； （3）解：∵关于x轴对称的图形为， ∴的各顶点坐标为：，，． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，分别为上的动点，若点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)当的面积为4时，求点的坐标． (2)多边形的面积能否为19？请判断并说明理由． (3)当，两点之间的距离为时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)或 【详解】（1）经过时间秒，此时， 又当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，所以， ， 解得， 所以此时点的坐标为． （2）因为， 当多边形的面积为19时，的面积为5， 由（1）得，即， ， 无解， 所以多边形的面积不能为19． （3）由（1）知，， 则， 即，则， 解得或， 所以此时点的坐标为或． 19．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 【答案】【阅读材料】能，图见详解；【解决问题】，；【拓展延伸】 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． [阅读材料]结合图形，作于，作于，即可求解； [解决问题] 作轴于，证明，得，进而可得，； [拓展延伸] 作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解： [阅读材料]能，作于，作于，如图， ， ， ， ， ； [解决问题] 作轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ； ； [拓展延伸] 作轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， 轴， ， 轴， ， 点为y轴负半轴上一动点， ， ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 位置与坐标 3.3 轴对称与坐标变化 命题01：坐标系中的对称………………………………………………………01 命题02：坐标与图形变化-轴对称………………………………………………02 命题03：坐标系中的动点问题（不含函数）…………………………………03 针 对 训 练………………………………………………………………………05 命题01：坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 3．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．点关于x轴对称的点的坐标是 ． 5．在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 6．如图，该图形为中心对称图形，以其对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 命题02：坐标与图形变化-轴对称 7．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 8．点P关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．点关于轴对称点的坐标是，则P点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为，“小糊涂”也不细心，将点B的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为，则A，B两点原来的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合 12．已知和关于轴对称，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 13．将如图所示的正六边形放入平面直角坐标系后，若点A，B，E的坐标分别为，则点D的坐标为 ． 14．若，则点关于轴的对称点的坐标为 ． 15．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 16．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____________； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_____________； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得最小． 命题03：坐标系中的动点问题（不含函数） 18．已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 19．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 20．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 21．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系中，点，经过点A的直线轴．若为直线上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为 ． 24．如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点P第2023次运动到的点的坐标是 ． 25．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 针对训练： 1．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值是（   ） A． B． C．3 D．1 2．如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 4．如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 5．已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 6．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（   ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 7．已知点和点关于轴对称，则为（   ） A． B． C．0 D．1 8．如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．点与点关于轴对称，则的值为 ． 10．已知点关于轴对称，则的值是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为，则的面积为 ． 13．如图，以长方形的中心为原点建立坐标系．点的坐标是，则点的坐标是 ，点的坐标是 ，点的坐标是 ． 14．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．已知点，点B是点A关于x轴的对称点，在围成的内部（不包含边界），整点的个数共有 个． 15．如图，在中，，，，P是的中点．点M从A点出发以向点C运动，点N从C点出发以向点B运动，点Q是的中点，连接．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长是时，点M的运动时间为 s． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于x轴对称的图形，并用坐标表示_____，_____，_____； (2)求的面积． 17．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： (1)的面积是 ； (2)画出关于y轴的对称图形； (3)写出关于x轴对称的的各顶点坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，分别为上的动点，若点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)当的面积为4时，求点的坐标． (2)多边形的面积能否为19？请判断并说明理由． (3)当，两点之间的距离为时，直接写出点的坐标． 19．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $