精品解析：重庆市第十一中学校2025-2026学年高三上学期第二次质量检测（9月）数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2026届高三第二次质量检测 数学试题 2025.9 满分150分，考试时间为120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再利用补集的定义直接求解. 【详解】由，得，则， 所以或. 故选：C 2. 某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的性质可得，即可求解之间的概率. 【详解】某种包装的面包质量服从正态分布，且， 则有，由对称性可得， 则有. 所以其质量在之间的概率为. 故选：A 3. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移变换的方法，对正弦函数进行平移变换，求出结果. 【详解】由向右平移个单位后得， 故选：C. 4. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在处有极小值，得，解出关于的方程，再验证是否为极小值即可． 【详解】， ， 因为函数在处有极小值， ， 即， 解得或， 当时,由知， 当时，，故函数单调递增； 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增； 所以在处取得极小值,符合题意. 当时,由知, 当时，，故函数单调递增； 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增； 所以在处取得极大值，不符合题意. 综上，的值为3. 故选：. 5. 在中，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角，再利用正弦定理即可求得结论. 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 6. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 8. 已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数的图像，令，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，即，令，利用导数研究单调性，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：当时，，由，所以在单调递减， 当时，，所以， 由，所以在单调递增，在单调递减， 作出的图像： 令，由有， 由图可知，要使得函数恰有4个零点， 则关于的方程要有两个根，不妨设或， 由有，令，所以， 当时，，当或时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 作出的图像： 由图可知：当时，直线与的图像的两个交点的横坐标满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，有两个极值 C. 当时，有3个零点 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，当时，由恒成立可判断；对于B，当时，由的根的判别式大于0，结合三次函数的性质即可判断极值点；对于C，当时，利用求导判断函数的单调性、极值和图象变化趋势即可判断；对于D，取，设切点为，由题意得，化简并分解因式得，易知该方程只有一解，从而可判断结论. 【详解】由求导，得. 对于A，当时，恒成立，故在上单调递增，故A错误； 对于B，由，当时，其根的判别式为， 即该方程有两个相异实根，根据三次函数的图象性质，可知有两个极值，故B正确； 对于C，当时，，， 由，可得或，由，可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，；当时，， 故当时，函数有3个零点，即C正确； 对于D，不妨取，则， 设过点且与曲线相切的切点为，则切线斜率为， 依题意有，因，代入整理得：， 即（*），对于，因，故（*）只有一个实根， 即此时过点且与曲线相切的直线只有一条，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数为偶函数，则 B. 若时，且在上单调，则 C. 若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D. 若函数在上至少有两个最大值点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A项，根据正余弦函数奇偶性可得出，从而求出，可判断A；对于B项，根据正弦函数单调性列出不等式，求解可求出的范围，从而判断B；对于C项，求解，计算相邻交点的最小距离和最大距离，将题意转化为相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于，列不等式组求解可得的范围，从而判断C；对于D项，在上至少有两个最大值点，则，可求出的大致范围，在的范围下逐一讨论区间端点所在范围，可求出的最终范围. 【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则， 则，故A项正确； 对于B项，若时，， 因为，所以， 因为在上单调，所以有，解得，故B项错误； 对于C项，由题意，则，所以或， 则或， 所以相邻交点最小的距离为，最大距离为. 由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于， 相邻五个交点之间的最小距离不小于，所以，且， 所以，故C项错误； 对于D项，， 故，所以，所以. 因为，所以. 由于，所以， 则①，解得； ②，解得； ③，解得； ④当时，， 满足函数在上至少有两个最大值点，综上所述，，故D项正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则__________________. 【答案】## 【解析】 【分析】借助三角函数的定义计算即得. 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为：. 13. 纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会于2025年9月3日上午在天安门广场隆重举行，以盛大阅兵仪式同世界人民一道纪念这个伟大的日子，共同开创更加光明的未来.这次阅兵中亮相的某新式武器的信息设备由装有一排四只发光电子元件组成，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光，若每次恰有两个电子元件被点亮，但相邻的电子元件不能同时被点亮，根据这两个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这四个电子元件能表示的信息种数共有_______________种. 【答案】27 【解析】 【分析】根据题意先计算选两个不相邻的电子元件的方案数，接着计算两个元件表示的不同信号数，最后根据分步乘法计算原理求解． 【详解】设四只发光电子元件分别为， 则选两个不相邻的电子元件共有三种情况； 每种情况可表示种信息， 所以共可表示种不同信号． 故答案为：27． 14. 已知函数有三个零点（），则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，；时，，， 函数的图象，如图： 函数有三个不同的零点，令， 则方程有两个不同的实数根， ，， 因此，即，且， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关. 2 4 5 6 8 10 20 40 30 50 （1）求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程； （2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？ （3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？ 附：参考公式：， 参考数据：， 【答案】（1） （2）万元 （3）万元 【解析】 【分析】（1）利用表中数据求出，的值，再利用公式即可求出结果； （2）利用（1）中所求回归方程即可求出结果. （3）利用的意义求解即可. 【小问1详解】 因为， ，， 所以，， 故回归方程为 【小问2详解】 由（1）知，所以当时，代入得到， 即估计销售收入的值为万元. 【小问3详解】 由回归方程为可知，斜率，表示该厂的广告费用每增加投入1万元，销售额估计能平均增加万元，所以该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加万元. 16. 已知椭圆的短半轴长为1，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，建立关于的方程组，求解即得椭圆标准方程； （2）对直线的斜率分类讨论，利用韦达定理求得和，进而表示出，最后利用求解. 【小问1详解】 因为椭圆的短半轴长为，所以. 椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可得椭圆的半焦距,则椭圆右焦点为， 若直线斜率为，则为椭圆的左右顶点，不符合题意，故直线的斜率不为. 可设的方程为.设，. 由，消去化简得，. 由韦达定理得，，. 则. ，解得. 所以直线的方程为或. 17. 如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点 （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面，所以. 在正六边形中，因， 则，即. 又平面，，所以平面. 又平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）结合正六边形的性质，利用面面垂直的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直，故可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为是上靠近的三等分点，， 所以，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，. 所以，， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. （1）求； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，将代入，结合，求出； （2）整体法得到，求出即为单调递增区间； （3）求出，由同角三角函数关系得到和的值，凑角法，结合余弦和角公式得到，结合的范围，求出. 【小问1详解】 ， 将代入得，故， 解得， 又，故当时，满足要求； 【小问2详解】 由（1）知，， 时，， 故当或，即或时，单调递增， 故单调递增区间为. 【小问3详解】 ，故， 又，所以， 因为，所以， 故， 又，故， 又，所以， 所以， 其中 其中，故. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数，的两个零点分别为与且，求证：； （3）设，若，且，证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）证明如下： 因为，. 当时，， 所以，易得在上单调递减， 所以在最多只有1解，为，且. 当时，， 所以，易得在上单调递减， 所以在最多只有1解，为，且. 欲证， 只需证. 因为，所以需证， 即 . 由（1）可知，函数的极小值为0，且极小值点为. 所以. 所以成立. （3）证明如下： 因为，. 所以. 设，， 则,. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且. 所以在上恒成立，所以在上单调递增. 因为，且，所以， 所以， 设（）， 所以恒成立. 所以在上单调递减，又, 所以当时，；当时，. 即时，；当时，. 又时，；当时，. 所以恒成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，可得函数的极值. （2）先求导，求出，，把需要证明的不等式转化为，再利用（1）的结论证明. （3）先分析函数的单调性，利用的关系，把问题转化成，分别讨论和的符号即可. 【小问1详解】 因为，，所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2026届高三第二次质量检测 数学试题 2025.9 满分150分，考试时间为120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.35 C. 0.85 D. 0.5 3. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 3或5 5. 在中，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 1 6. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，有两个极值 C. 当时，有3个零点 D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数为偶函数，则 B. 若时，且在上单调，则 C. 若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D. 若函数在上至少有两个最大值点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则__________________. 13. 纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会于2025年9月3日上午在天安门广场隆重举行，以盛大阅兵仪式同世界人民一道纪念这个伟大的日子，共同开创更加光明的未来.这次阅兵中亮相的某新式武器的信息设备由装有一排四只发光电子元件组成，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一种光，若每次恰有两个电子元件被点亮，但相邻的电子元件不能同时被点亮，根据这两个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这四个电子元件能表示的信息种数共有_______________种. 14. 已知函数有三个零点（），则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据，由散点图知，销售额（万元）与广告费用支出（万元）呈线性相关. 2 4 5 6 8 10 20 40 30 50 （1）求销售额（万元）与广告费用支出（万元）的线性回归方程； （2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为10万元时，预测销售额是多少万元？ （3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入2万元，销售额估计能平均增加多少万元？ 附：参考公式：， 参考数据：， 16. 已知椭圆的短半轴长为1，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 17. 如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点 （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. （1）求； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若，，且，，求的值. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若函数，的两个零点分别为与且，求证：； （3）设，若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $