重难点03 集合的综合压轴题专训-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 集合的综合压轴题专训 题型一、定义新集合 1．（24-25高一上·上海阶段练习）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 2．（24-25高一上·上海长宁期中）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； (3)若为正整数，求：“完美集”. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 4．（2024-25高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 5．（23-24七宝中学·高一上期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 6．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 7．（23-24高一上·北京·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 题型二、定义新运算 8．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 9．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 10．（23-24高一上·浦东·期中）对非空数集T，给出如下定义， 定义1：若，，当时，，则称T为强和差集； 定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集． (1)分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由； (2)若集合是弱和差集，求A； (3)若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数． 11. （2024-25大同中学高一上期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； （3）设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 12. （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. （1）判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； （2）证明：集合对于乘法封闭； （3）求所有对于乘法封闭的三元素集. 13. （2024-25高一上嘉定高级中学期中）若集合，满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆. （1）集合的不同分拆种数为多少？ （2）集合的不同分拆种数为多少？ （3）由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？（不必证明） 14．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 15．（23-24高一上·宝山期中）已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． (1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； (2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 题型三、定义新性质 16.（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中） 已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 17。（2024-25金山中学高一上期中） 已知集合，，，，其中，2，，， 由中元素可构成两个点集和 其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； （2）若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ （3）若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 18．（22-23高一上上海松江期中）有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质. (1)，，判断集合，是否具有性质，并说明理由； (2)设集合，且（），若集合具有性质，求的最大值. 19．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 20．（2024高一·上海·专题练习）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 21．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 题型四、定义新概念 22．（23-24高一上·北京·期中）已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 23．（24-25高一上·上海·开学考试）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． (1)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (2)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (3)对于求其所有子集的“交替积”的总和． 24．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环. (1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： (2)求证：任何数环都有元素0： (3)求证：若､是数环，则是数环. 25．（23-24高一下·北京丰台·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 26．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 集合的综合压轴题专训 题型一、定义新集合 1．（24-25高一上·上海阶段练习）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数． (1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可） (2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由） 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素； （2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征. 【详解】（1）， （2）由题意：，故，即， 考虑、，可知， ∴或． 若，则考虑，， ∵，∴，则， ∴，但此时，不满足题意； 若，此时，满足题意， ∴，其中、为相异正整数． 2．（24-25高一上·上海长宁期中）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； (3)若为正整数，求：“完美集”. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设中，得到，分，，进行分类讨论， 【详解】（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2. （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得. 【详解】（1）因为，所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【点睛】涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决. 4．（2024-25高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 【答案】(1)或. (2)证明见解析. 【分析】（1）由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可； （2）利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可； 【详解】（1）解：由等矩集定义，则，可得， 结合韦达定理可知，，为方程的两个根， 解得或，符合题意， 所以或； （2）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可， ， 故满足定义①； ， 故满足定义②； 假设，则存在，，，可得，与矛盾， 所以， 故满足定义③． 综上所述，和也互为等矩集； 5．（23-24七宝中学·高一上期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 6．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 【答案】(1)集合不是“团结集合”， 集合是“团结集合” (2) (3) 【分析】（1）由“团结集合”定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“团结集合”. 集合中，因为，，，，，，，所以集合是“团结集合”； （2）因为，且是“团结集合”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为是“团结集合”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义的要素； 解：结合数学知识进行解答. 7．（23-24高一上·北京·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 题型二、定义新运算 8．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1349 【分析】(1)根据题目的定义，即可求得. (2)根据集合相等的概念，可以证明. (3)通过假设 ，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）当，则， （2）证明：因为集合，，且，所以中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足，所以. （3）集合，，记为集合中元素的个数，设集合满足题意，则，则， 所以，因为，由容斥原理，， 所以最小的元素为，最大的元素为，所以，即，解得， 实际上，当时满足题意； 证明如下：设，则 ，则，依题意可知，，即，所以的最小值为，所以当时， 集合中元素最多，即时满足题意， 综上，的最大值为. 9．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10．（23-24高一上·浦东·期中）对非空数集T，给出如下定义， 定义1：若，，当时，，则称T为强和差集； 定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集． (1)分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由； (2)若集合是弱和差集，求A； (3)若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数． 【答案】(1)见解析； (2)、、； (3)11个； 【分析】（1）根据强和差集与弱和差集定义进行验证即可判断. （2）根据弱和差集定义讨论参数取值，进行求解. （3）根据强和差集定义，以及B的元素个数为12，且，讨论中元素关系，求出条件的集合B. 【详解】（1）由题，根据强和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为 ，，都满足， 所以是强和差集. ，根据弱和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为，，，， 其中时不满足， 所以不是弱和差集. （2）若集合是弱和差集，则当时， 据题意有， 若，则，当时 继续重复以上步骤，显然矛盾. 所以必有，不妨，则. 当有， 若，此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 所以或或 （3）因为B为强和差集且，如果B中有其它正数，设其最大值为， 当时，，所以， 不妨设集合B中包含k个正数，不妨设为， 所以， 所以,即集合B中至少有个不同的负数， 同理，若集合B中包含k个负数，则集合B中至少有个不同的正数， 所以集合B中包含5个负数6个正数，或者6个负数5个正数， 当集合B中有6个正数5个负数时， 设为， 取时， 此时，结合， 所以， 取时，因为， 所以 此时，结合， 所以 令，，所以， 又，所以， 又， 所以， 结合，可得此时满足要求的集合B有6个； 同理，当集合B中包含6个负数5个正数时，此时满足要求的集合B有5个； 故满足条件的集合B只有11个. 【点睛】本题属于集合新定义题目，抓住定义分析题目，有理有据讨论即可. 11. （2024-25大同中学高一上期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； （3）设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】（1） （2）①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【小问1详解】 集合的所有不同的2划分为 【小问2详解】 ①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； 【小问3详解】 由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 12. （2024-25高一上复旦大学附属复兴中学期中）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. （1）判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； （2）证明：集合对于乘法封闭； （3）求所有对于乘法封闭的三元素集. 【答案】（1）是，不是；理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合乘法封闭的定义可判断两个集合是否乘法封闭； （2）根据集合乘法封闭的定义可证对于乘法封闭； （3）对于三元素集，不失一般性，不妨设，根据乘法封闭的性质可判断只能取中的两个不同数，分类讨论后可求所有不同的三元素集. 【小问1详解】 对于集合， 当时，，所以集合对于乘法封闭； 对于集合，其元素均为整数，满足条件①， 又因为，满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 【小问2详解】 证明：对于集合， 因为任意，所以满足条件①； 又因为任意且，所以满足条件：②， 故集合对于乘法封闭. 【小问3详解】 任意. 证明：对于三元素集，不失一般性，不妨设， 当时，，与三元素集矛盾，所以； 当时，，与三元素集矛盾，所以. 所以只能取中两个不同数. 不妨设， 对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①， 又因为，所以满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 对于集合，当时，. 对于集合，当时， 综上，所有对于乘法封闭的三元素集. 【点睛】思路点睛：对于集合新定义问题，我们可以根据定义展开讨论，而对于集合的存在性问题，有时为了便于讨论，可以假设元素的大小关系. 13. （2024-25高一上嘉定高级中学期中）若集合，满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆. （1）集合的不同分拆种数为多少？ （2）集合的不同分拆种数为多少？ （3）由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？（不必证明） 【答案】（1）9 （2）27 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分拆的定义，对分以下几种情况讨论：，，，； （2）与（1）一样，考虑集合为，有一个元素，2个元素，和集合相等四种情况，分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值； （3）由（1）（2）猜想集合的不同分拆种数为． 【详解】解：（1）由分拆的定义可知： 或或或， 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 综上：集合的不同分拆种数为9种； （2）由分拆的定义可知： 或或或或或或或， 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上：集合的不同分拆种数为27种； （3）由（1）（2）知， 当集合有2个元素时，集合的不同分拆种数为种， 当集合有3个元素时，集合的不同分拆种数为种， 于是，集合的不同分拆种数为． 【点睛】本题属于创新型的概念理解题，准确地理解分拆的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在，属于中档题． 14．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 【答案】(1)集合B是，集合C不是，理由见解析； (2)p假q真，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为， 所以集合不是封闭集. （2）对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 15．（23-24高一上·宝山期中）已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． (1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； (2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不存在；理由见解析 (3)8 【分析】（1）根据的强子集的定义，即可容易求得； （2）利用反证法假设存在的强子集，设为正整数， ，则，代入化简得，与为正整数矛盾，证明不存在的强子集． （3）设， 若不是的弱子集，可有最多能包含中的一个元素以及中的元素，一共7个元素，令中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，得不是的弱子集，分类讨论当和时，不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值. 【详解】（1）是的弱子集，不是的弱子集． 理由如下： 中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以是的弱子集． 中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱子集． （2）不存在的强子集． 理由如下： 假设存在的强子集，不妨设为正整数， ，则为正整数，， 则，代入中， 所以， 所以，与为正整数矛盾，所以不存在的强子集． （3）设， 若不是的弱子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素，一共7个元素， 令中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱 子集，当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的弱子集， 当时，中至少有一个集合是的子集， 此时中一定存在两数之和为2的正整数幂， 即的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，所以的最小值为8． 【点睛】本题主要为集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法：反证法和分类讨论法. 题型三、定义新性质 16.（2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中） 已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【答案】（1）该集合不具有性质； （2）① 证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）①设A中元素，由定义累加即可解决；②要使的元素个数的最大，则，，即可解决． 【小问1详解】 由题知，集合， ， 该集合不具有性质． 【小问2详解】 ①因为， 不妨设，则， 故， 故的最大值大于等于． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 所以元素个数最多的集合. 17。（2024-25金山中学高一上期中） 已知集合，，，，其中，2，，， 由中元素可构成两个点集和 其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质. （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； （2）若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ （3）若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）不具有，具有，, （2）120 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，； （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案. 【小问1详解】 ，则，故不满足定义， 不具有性质， ，，，，，，，满足要求， 故具有性质， 由于，，，故， 由于，，， ，，， 故. 【小问2详解】 依题意，集合的元素构成有序数对共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. 【小问3详解】 集合具有性质， 对于，根据定义可知：，，， 又因集合具有性质，则， 如果，中不同元素， 那么， 中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 综上，. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 18．（22-23高一上上海松江期中）有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质. (1)，，判断集合，是否具有性质，并说明理由； (2)设集合，且（），若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析 (2)最大值为6055 【分析】（1）由已知集合结合定义求得与，再由性质的概念判断； （2）要使取最大，则，，根据性质检验可得，可得的最大值. 【详解】（1）集合不具有性质，集合具有性质. 因为，， 所以，，则集合不具有性质， 所以，，则集合具有性质. （2），且，， 要使取最大，则，， 当时，，则不具有性质， 要使取最大，则，， 当时，，则不具有性质， 当时，，则不具有性质， 当时，，则不具有性质， 当时，则具有性质， 则使得取最大，可得， 若集合具有性质，则的最大值为6055. 【点睛】关键点睛：本题解决本题的关键是，通过第一问的两个集合判定是否具有性质时，可得到结论为若集合中的三个数满足或四个数满足时，集合不具有性质，从而对集合中的运算进行检验判断. 19．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 【答案】(1)不具有性质具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； （2）由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. 20．（2024高一·上海·专题练习）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析； (2)①集合具有性质，理由见解析；②，证明见解析. 【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可. （2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解. 【详解】（1）当时，， 不具有性质， 因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立， 具有性质. 取，对于该集合中任意一对元素，，都有， 所以集合不具有性质，集合具有性质. （2）若时，则， ①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 因为，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由集合S具有性质，知存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，， 其中，则由， 所以集合一定具有性质. ②设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 任给，，则和中必有一个不超过， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P， 知存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 因此，所以，解得：， 当时，取， 对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素， 因此集合S中元素个数的最大值是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析. 21．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 【答案】(1)集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，； (2)2047276； (3)充分不必要条件. 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，带入求职. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义故不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集所以不具有性质. （2）由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 故中元素的个数最多. 故答案为：2047276 （3）1）当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 题型四、定义新概念 22．（23-24高一上·北京·期中）已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 【答案】(1),,; (2)，; (3)详见解析 【分析】（1）利用题给定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. 【详解】（1）集合， 则，， （2）集合，，， （3）由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有. 23．（24-25高一上·上海·开学考试）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． (1)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (2)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (3)对于求其所有子集的“交替积”的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将集合的子集分为有9的子集，和去掉9之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （2）将集合的子集分为有的子集，和去掉之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （3）首先求出集合的元素，再对集合分组，有的子集和去掉的子集为一组，求每一组“交替积”的和，即可求解. 【详解】（1）集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉9的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为 （2）集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为； （3）集合， 其中除去外还有个非空子集， 把这把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为0，共有组，所以，所有“交替积”之和应该为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，前2问是将集合分为有最大元素的集合，和去掉最大元素的集合，这样找到规律，最后一问，是将集合分为有元素的集合和去掉元素的集合为一组，即可求解. 24．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环. (1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： (2)求证：任何数环都有元素0： (3)求证：若､是数环，则是数环. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据数环概念求解即可； （2）利用反证法根据数环概念证明即可； （3）根据数环概念证明即可. 【详解】（1）取，则，但，故不是数环； 取，则，则， ，，， 同理，，故是数环； 设，， 则，，， ， ，， ， ，，，， 是数环. （2）假设存在一个数环，它不包含0，即对于所有，都有， 根据数环定义，对于任意，有，，， 特别地，当时，，这与不包含0的假设矛盾， 因此任何数环都有元素0. （3）设､是数环，，， 若，，是数环，对于整数，有， 同理，，是数环. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题的解题技巧：求解此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的办法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断. 25．（23-24高一下·北京丰台·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 【答案】(1)2，1； (2)最大值为4个； (3)证明见解析． 【分析】（1）直接根据定义计算； （2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明； （3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可． 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）设， 令其中() 则，， ，则， 当，且()时， 由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数． 若是奇数时，则中等于1的个数为1或3， 所以， 且． 将上述集合中的元素分成如下四组： 经检验，每组中两个元素，均有， 所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素． 所以集合中元素的个数不超过4个． 当且时，或，所以 又集合满足条件． 所以集合中元素个数最大值为4个． （3）设， ， ， 则且， 从集合中任取个两两互不相同的元素， 若存在两个不同元素同时属于一个，则， 记， 所以，存在，使得； 若任意两个不同元素都不同时属于一个， 则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾． 综上，存在，使得． 【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大． 26．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $