专题1.5集合与逻辑易错必刷题型专训（60题15个考点）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

专题1.5集合与逻辑易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 判断元素能否构成集合】 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（    ） A．空集 B．单元素集合 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到，再结合选项分析判断，即可求解. 【详解】由，得到，解得，所以选项A和B错误， 当时，或，所以选项C正确， 由，得到，但，所以选项D错误， 故选：C. 2．（多选）（23-24高一·全国·课后作业）下列语句不能确定一个集合的是（    ） A．充分小的负数全体 B．爱好飞机的一些人 C．某班本学期视力较差的同学 D．某校某班某一天的所有课程 【答案】ABC 【分析】根据集合元素确定性，对四个答案中的元素是否确定逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：充分小的负数是一个不确定概念，故中元素构不成集合； 爱好飞机的一些人是一个不确定概念，故中元素构不成集合； 视力较差的同学是一个不确定概念，故中元素构不成集合； 某校某班某一天所有课程是一个确定概念，故中元素可以构成集合； 故选：ABC． 【点睛】本题考查的知识点是集合的含义，熟练掌握并正确理解集合元素的确定性是解答本题的关键． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1∉A， （1）若3∈A，求A. （2）证明:若a∈A，则. 【答案】（1）;（2）证明见解析. 【分析】根据题意求依次求解即可. 【详解】(1)因为3∈A， 所以， 所以， 所以， 所以. (2)因为a∈A， 所以， 所以. 【易错必刷二 判断是否为同一集合】 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列集合表示同一集合的是（    ） A． B． C．, D．, 【答案】B 【解析】根据集合中元素的范围、种类、顺序判断集合是否为相同集合. 【详解】A．元素表示不同的点，所以是不同的集合； B．集合中元素的顺序不同，但是元素相同，所以是同一的集合； C．集合中的元素是点，集合中的元素是数，所以是不同的集合； D．集合中的元素范围是，集合中的元素范围是，范围不同，所以是不同的集合； 故选：B. 【点睛】本题考查同一集合的判断，主要根据集合中元素的特点进行判断，难度较易. 6．（多选）（23-24高一上·浙江·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可. 【详解】A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合； B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合； C选项中，集合P中有一个元素是点，集合 Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合； D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合. 故选：ABD. 7．（23-24高一·全国·课后作业）有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是 (填写序号). 【答案】④ 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②集合M是实数3，4的集合，而集合N是实数对(3，4)的集合，不正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示. 故答案为：④． 【点睛】本题考查集合的定义，属于基础题． 8．（23-24高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【答案】（1）不是；（2）答案见解析. 【分析】（1）由各个集合的特征进行判断； （2）由用描述法表示集合的方法进行判断 【详解】解：（1）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝R；②{y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③{（x，y）|y＝x2+1}是点集，它们不是相同的集合； （2）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示满足y＝x2+1，y≥1，y∈R的x的取值；②{y|y＝x2+1，x∈R}，表示函数的值域；③{（x，y）|y＝x2+1}表示点的集合. 【易错必刷三 判断元素与集合的关系】 9．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【详解】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 10．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 11．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若集合中的元素在集合中，则 ． 【答案】/ 【分析】首先根据的取值范围和来确定集合的元素，然后根据题干求出的值，最后计算即可. 【详解】，，则， 集合中的元素在集合中，，即，解得， ． 故答案为：. 12．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析 (2)在集合B中，理由见解析 (3)属于集合，理由见解析 【分析】（1）根据集合A中元素的特征判断求解； （2）根据集合中元素的特征判断求解； （3）设，，进而根据集合中元素的特征判断求解. 【详解】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 【易错必刷四 空集的概念以及判断】 13．（23-24高一上·河南商丘·期中）下面五个关系式：，，，，，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及空集的定义判断可得； 【详解】解：因为，，，，，所以正确的个数是4． 故选：C． 14．（多选）（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的根，即可求解AB,根据一次方程的求解即可判断CD. 【详解】对于A项，一元二次方程无实根，解集为空集，A项正确； 对于B项，一元二次方程有两个相等的实数根或有两个不等的实数根，B项错误； 对于C项，，，，方程不成立，解集为空集，C项正确； 对于D项，，，，，D项错误. 故选:AC 15．（23-24高一上·北京通州·期中）已知集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意将问题转化为一元二次方程有解，由判别式可解. 【详解】∵集合，且， ∴方程有解， 所以，解得：． 故答案为：． 16．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 【易错必刷五 列举法表示集合】 17．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）下列方程组中，解集为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解方程组，即可得到结果. 【详解】A选项的解集为，B选项的解集为，C选项的解集为， D选项的解集为. 故选：A 18．（多选）（23-24高一上·辽宁营口·阶段练习）已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知，通过分类讨论对含绝对值的式子去绝对值计算. 【详解】当时，， 当中有两个大于0，另一个小于0时，， 当中有两个小于0，另一个大于0时，， 当时，， 所以代数式的值组成的集合是，故B错误. 故选：ACD. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据集合满足的条件，用列举法表示集合即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 20．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 【易错必刷六 判断集合的子集(真子集)的个数】 21．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 22．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 23．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解. 【详解】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2， 所以可能为，共4个． 故答案为：4 24．（23-24高一·全国·课后作业）（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集； （2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？ 【答案】（1）见解析；（2）有个子集，个真子集. 【解析】（1）由题意结合子集的概念，按照子集元素个数从少到多逐步写出即可得解； （2）由题意结合集合元素个数与子集个数的关系即可得解. 【详解】（1）集合的所有子集有：、、、、、、、、、、、、、、、； （2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有个子集，个真子集. 【点睛】本题考查了集合子集的求解及集合元素个数与子集个数关系的应用，属于基础题. 【易错必刷七 求集合的子集(真子集)】 25．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 26．(多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】根据题意写出所有的幸福集合，逐项分析即可得解. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是集合的真子集，则的值为 . 【答案】2 【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可. 【详解】由题意知集合为空集，则，即. 故答案为：. 28．（2023高一·全国·专题练习）设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，写出集合A的所有子集． 【答案】∅，{1}，{2}，{1，2}． 【分析】根据子集的定义得解. 【详解】解：∵A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， ∴集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{1，2}． 【易错必刷八 判断两个集合的包含关系】 29．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 30．（多选）（24-25高二上·山西·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，化简集合，得到，结合选项，即可求解. 【详解】由题意得，集合，， ， 所以，结合选项，可得A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 31．（23-24高一上·上海徐汇·期末）用集合符号填空： Q． 【答案】 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 【详解】当时，， 当时,包含无理数， 故， 故答案为：. 32．（23-24高一·湖南·课后作业）判断下列每对集合之间的关系： (1)，； (2)，{是的约数}； (3)，. 【答案】(1)BA (2) (3) 【分析】（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解； （2）列举法表示集合D，即得解； （3）列举法表示集合E，即得解 【详解】（1）由题意，任取，有，故 且，故BA （2）由于{是的约数} 故 （3）由于 故 【易错必刷九 交集的概念及运算】 33．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合化简，然后结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】由题可得：，所以， 故选：C 34．（多选)（24-25高一上·四川内江·期末）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的特点可排除AC；分析两直线的位置关系可判断B的真假；根据集合元素的关系可判断D的真假. 【详解】因为集合中的元素都是有序实数对（点）， 所以，的运算结果均为点的集合， 所以，都是错误的，即AC错误； 对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确； 对D：因为， 又，所以，故正确，即D正确. 故选：BD 35．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故答案为：. 36．（2025高二·全国·专题练习）已知全集，集合或，，求、； 【答案】，或. 【分析】根据集合的基本运算即可求解. 【详解】因为全集，集合或，， 所以 或 所以 或. 【易错必刷十 并集的概念及运算】 37．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合B，根据集合并集运算计算即可. 【详解】集合， 因为，所以. 故选：C 38．(多选）（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知集合是4与10的公倍数，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，可得，再结合子集、交集、并集的意义判断即可. 【详解】由于4与10的最小正公倍数是20，因此4与10的正公倍数为20的倍数，又0是4与10的公倍数 则，而， 于是，有，，，故ABC正确，D错误. 故选：ABC 39．（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，则 ， . 【答案】 【分析】应用集合的交、并运算求集合即可. 【详解】由题设，， . 故答案为：， 40．（24-25高一上·湖南永州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，根据集合的并集的概念运算可得； （2）利用交集的定义可解得结果. 【详解】（1）当时，，又， 所以. （2）因为， 显然，则， 若， 则或，解得或， 所以a的取值范围为. 【易错必刷十一 补集的概念及运算】 41．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述确定集合中的元素，再根据补集的定义求出 【详解】已知,表示是自然数,表示也是自然数 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,,不满足 所以集合 已知全集,根据补集的定义：对于一个集合,它的全集中的补集是由所有不属于但属于的元素组成 集合,在全集中去掉集合中的元素 得到. 故选: 42．（多选）（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 43．（24-25高二下·上海·期中）设全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】根据集合的补集、交集运算求解. 【详解】， 故答案为： 44．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解. 【详解】（1）由，或，得. （2）由全集为，得或，， 所以. （3）依题意，或，所以. 【易错必刷十二 判断命题的真假】 45．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【分析】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假. 【详解】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D 46．（多选）（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．任何一个四边形的内角和都是 C．四边形都有外接圆 D．，使得 【答案】AD 【分析】由原命题的真假，即可判断其否定的真假. 【详解】若命题的否定为假命题，则原命题为真命题. 对于A，因为是无理数，2是有理数，A中命题是真命题，其否定是假命题； 对于B，平面四边形的内角和是，B中命题是假命题，其否定是真命题； 对于C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为假命题，其否定为真命题； 对于D，因为当时，，所以原命题为真命题，其否定为假命题. 故选：AD. 47．（25-26高一上·全国·课前预习）定义：已知集合满足，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．则下列说法：①若，则对于加法“+”封闭；②若，则对于减法“”封闭；③若，则对于乘法“”封闭中正确的个数是 ． 【答案】3 【分析】根据运算新定义，结合加减乘运算的性质判断各项的正误. 【详解】任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“+”封闭，①正确； 任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“”封闭，②正确； 任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“”封闭，③正确， 则说法正确的个数有3个. 故答案为：3 48．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 【易错必刷十三 指出命题的条件和结论】 49．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】D 【分析】将A中的命题写成“若p，则q”的形式可判断选项A是错误的；根据命题的定义可判断选项B是错误的；根据菱形的定义可判断选项C是错误的；根据命题的定义可判断D. 【详解】命题“直角相等”，写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的； 语句“当时，方程有实根”是陈述句，而且可以判断真假，所以选项B是错误的； 选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”； 选项D，当时，方程成立，所以是真命题. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于基础题. 50．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 51．（2023高三·全国·专题练习）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为 . 【答案】（此题答案不唯一） 【分析】举例说明“若，则”是假命题即可． 【详解】当 时， 满足，不满足； ∴若，则”是假命题． 故答案为1，0，-1． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，注意本题答案不唯一． 52．（23-24高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 【易错必刷十四 判断命题的充分不必要条件】 53．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知的三个内角分别为，，，且，则“”是“为锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角形内角和情况直接判断. 【详解】由题意得， 当为锐角三角形时，，解得， 所以“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件， 故选：A. 54．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】探求使不等式成立的充分不必要条件，即寻找在解集范围内且小于该范围的选项． 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有两个负根时，则有，解得， 当方程有一个负根一个正根时，则有即， 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 选项中，在的范围内，且比小的范围有A、B、C． 故选：ABC. 55．（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”能推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 56．（23-24高一·江苏·课后作业）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：三角形有一个内角是60°，q：三角形是正三角形； （2）p：两个角相等，q：两个角是对顶角； （3）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分； （4）p：，q：. 【答案】（3）（4） 【分析】由充要条件的定义逐一判定即可求解 【详解】（1）因为三角形有一个内角是60°三角形是正三角形， 即， 所以p不是q的充分条件； （2）因为两个角相等，这两个角有可能是内错角或同位角， 故两个角相等两个角是对顶角，即， 所以p不是q的充分条件； （3）因为平行四边形的对角线互相平分， 故四边形是平行四边形四边形的对角线互相平分，即， 所以p是q的充分条件； （4）因为， 所以p是q的充分条件； 所以p是q的充分条件的有（3）（4） 【易错必刷十五 判断命题的必要不充分条件】 57．（2025·陕西西安·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 58．（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】对A：因为，但或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“，”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 59．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，，则“”是“”的 条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）. 【答案】必要不充分 【分析】应用举例说明不充分，据绝对值的概念可证明必要性成立. 【详解】取，显然成立， 而不成立，所以“”是“”的不充分条件； 当，不妨假设， 则，所以， 又因为，所以， 所以“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 60．（23-24高一上·甘肃平凉·阶段练习）在下列命题中，试判断是的什么条件. (1)p：x2>0，q：x>0； (2)：与都是奇数；：是偶数； (3)：一元二次方程有两个实数根，：； 【答案】(1)必要不充分条件； (2)充分不必要条件； (3)必要不充分条件； 【分析】根据充分、必要条件的知识进行逐一分析，由此确定正确结论. 【详解】（1）由于，所以是的必要不充分条件. （2）由于，所以是的充分不必要条件. （3）对于，一元二次方程有两个实数根，则， 所以是的必要不充分条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5集合与逻辑易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 判断元素能否构成集合】 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（    ） A．空集 B．单元素集合 C． D． 2．（多选）（23-24高一·全国·课后作业）下列语句不能确定一个集合的是（    ） A．充分小的负数全体 B．爱好飞机的一些人 C．某班本学期视力较差的同学 D．某校某班某一天的所有课程 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1∉A， （1）若3∈A，求A. （2）证明:若a∈A，则. 【易错必刷二 判断是否为同一集合】 5．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列集合表示同一集合的是（    ） A． B． C．, D．, 6．（多选）（23-24高一上·浙江·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一·全国·课后作业）有下面四个结论： ①0与{0}表示同一个集合； ②集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是 (填写序号). 8．（23-24高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【易错必刷三 判断元素与集合的关系】 9．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若集合中的元素在集合中，则 ． 12．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【易错必刷四 空集的概念以及判断】 13．（23-24高一上·河南商丘·期中）下面五个关系式：，，，，，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（多选）（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 15．（23-24高一上·北京通州·期中）已知集合，若，则的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【易错必刷五 列举法表示集合】 17．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）下列方程组中，解集为的是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）（23-24高一上·辽宁营口·阶段练习）已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，用列举法表示集合 ． 20．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【易错必刷六 判断集合的子集(真子集)的个数】 21．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 23．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 24．（23-24高一·全国·课后作业）（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集； （2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？ 【易错必刷七 求集合的子集(真子集)】 25．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 26．(多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是集合的真子集，则的值为 . 28．（2023高一·全国·专题练习）设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，写出集合A的所有子集． 【易错必刷八 判断两个集合的包含关系】 29．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 30．（多选）（24-25高二上·山西·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·上海徐汇·期末）用集合符号填空： Q． 32．（23-24高一·湖南·课后作业）判断下列每对集合之间的关系： (1)，； (2)，{是的约数}； (3)，. 【易错必刷九 交集的概念及运算】 33．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 34．（多选)（24-25高一上·四川内江·期末）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 36．（2025高二·全国·专题练习）已知全集，集合或，，求、； 【易错必刷十 并集的概念及运算】 37．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 38．(多选）（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知集合是4与10的公倍数，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．不确定 39．（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，则 ， . 40．（24-25高一上·湖南永州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【易错必刷十一 补集的概念及运算】 41．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 42．（多选）（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二下·上海·期中）设全集，集合，，则 . 44．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 【易错必刷十二 判断命题的真假】 45．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 46．（多选）（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．任何一个四边形的内角和都是 C．四边形都有外接圆 D．，使得 47．（25-26高一上·全国·课前预习）定义：已知集合满足，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．则下列说法：①若，则对于加法“+”封闭；②若，则对于减法“”封闭；③若，则对于乘法“”封闭中正确的个数是 ． 48．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【易错必刷十三 指出命题的条件和结论】 49．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 50．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 51．（2023高三·全国·专题练习）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为 . 52．（23-24高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【易错必刷十四 判断命题的充分不必要条件】 53．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知的三个内角分别为，，，且，则“”是“为锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 56．（23-24高一·江苏·课后作业）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：三角形有一个内角是60°，q：三角形是正三角形； （2）p：两个角相等，q：两个角是对顶角； （3）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分； （4）p：，q：. 【易错必刷十五 判断命题的必要不充分条件】 57．（2025·陕西西安·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 58．（多选）（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 59．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，，则“”是“”的 条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）. 60．（23-24高一上·甘肃平凉·阶段练习）在下列命题中，试判断是的什么条件. (1)p：x2>0，q：x>0； (2)：与都是奇数；：是偶数； (3)：一元二次方程有两个实数根，：； 学科网（北京）股份有限公司 $