第二章 一元二次函数、方程和不等式 基础过关A卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式-基础过关A卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 4.已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A． B．3 C． D．2 5.若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6.已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 7.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 8.今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为（），若真实重量为为G，则下列结论中正确的为（    ） A． B． C． D．不能确定 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.设，则的取值可能为（    ） A． B． C．1 D． 10.已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 11.设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（    ） A． B． C． D． 3、 填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.不等式的解集为 . 13.函数的定义域为的充要条件是 . 14.已知关于的方程有两个正根，则实数的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题13分） （1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 16. （本题15分） 设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 17. （本题15分） 已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 18.（本题17分）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19.（本题17分）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式-基础过关A卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，求出解集. 【详解】原不等式可变形为，所以.故选：B. 2.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：. 3.已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号.故选：B 4.已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】利用韦达定理可求另外一根为，从而可得正确的选项. 【详解】，故方程必有两个不同的根， 设另一个根为，则由韦达定理可知，故，故选：C. 5.若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，，所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，，所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误.故选：B. 6.已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立.故选：C 7.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【答案】　C 【详解】f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C. 8.今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为（），若真实重量为为G，则下列结论中正确的为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由天平知识可得，进而利用基本不等式可得. 【详解】由题意可得 故选：C 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.设，则的取值可能为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】AB 【分析】利用不等式性质，可得答案. 【详解】由题意知，所以由同向不等式相加得.故选：AB. 10.已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确.故选：ABD. 11.设，，称为、的算术平均数，为、的几何平均数，为、的调和平均数，称为、的加权平均数.如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.取弧的中点为，连接，则在图中能体现出的不等式有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由可判断A选项；由可判断B选项；利用可判断C选项；利用可判断D选项. 【详解】对于A选项，，且为半圆的直径，则， 由，可得， 所以，，，， ，由图可知，，即， 当点与点重合时，即当时，等号成立，A选项成立； 对于B选项，连接， 由于为半圆弧的中点，则， 当点与点不重合时，，，， 由勾股定理可得， 此时，，即. 当点与点重合，即当时，，即. 综上所述，，当且仅当时，等号成立，B选项成立； 对于C选项，，， 又，则，所以，， 所以，， 由图可知，，即，C选项不成立； 对于D选项，，可得，可得， 当且仅当点与点重合时，即当时，等号成立，D选项成立. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3、 填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】直接解分式不等式即可. 【详解】由可得，即，解得.故答案为： 13.函数的定义域为的充要条件是 . 【答案】 【分析】原命题可转化成恒成立，分两种情况和进行列不等式即可 【详解】若函数的定义域为，则有恒成立， 当时，，不恒成立，舍去； 当时，有，解得， 综上所述，的定义域为的充要条件是， 故答案为： 14.已知关于的方程有两个正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合一元二次方程、判别式、根与系数关系求得正确答案. 【详解】由于关于的方程有两个正根， 所以，解得.故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）对所求式子进行变形配凑，结合已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果； （2）方法一，根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果.方法二对所有式子变形，再结合基本不等式，求出结果. 【详解】（1）∵，即， ， 当且仅当，即时取等号，∴的最小值为7. （2）方法一： ，即 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为 方法二：且 当且仅当，即时取等号所以的最大值为 16.（本题15分）设是关于的方程的两个实数根. (1)若，求； (2)若，求的值； (3)若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 【答案】(1)（写也对）(2)或(3)或 【分析】（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根； （2）由已知可得已知方程的判别式大于等于，由此可得，结合根与系数关系化简，解方程可得结论； （3）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论， 【详解】（1）若，则方程为， 即，故.（写也对） （2）由，可得. 因为， 所以，整理得，且， 解得或，经检验符合题意. （3）因为是两个不相等的正数， 所以， 解得，所以或， 即的取值范围是或 17.（本题15分）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16(2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 18.（本题17分）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】参变分离，由恒成立的充要条件为即可求解. 【详解】对任意，， 即恒成立，令， ， 当且仅当，时取等号，符合定义域， 所以，即实数的取值范围为. 19.（本题17分）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1)(2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 学科网（北京）股份有限公司 $