第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【解答过程】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【解题思路】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【解答过程】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B. 3．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】设矩形菜园的宽为 ，长 ，则，且，. 因为 （当且仅当，时取“”）. 故选：D. 4．（5分）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 6．（5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解题思路】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【解答过程】因为正数满足， 则， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是8. 故选：A. 7．（5分）（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【解答过程】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【解题思路】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【解答过程】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC. 10．（6分）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解题思路】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【解答过程】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高二下·福建福州·期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N. 【答案】 【解题思路】令，对进行化简后作差求解. 【解答过程】令，则，， ， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【解题思路】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【解答过程】由，得，令，则， 故 ， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 14．（5分）（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【解答过程】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】作差法比较即可. 【解答过程】（1）， 则. （2）， 则. 16．（15分）（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【解答过程】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17．（15分）（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【解答过程】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 18．（17分）（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【解题思路】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 19．（17分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）不等式化为，求出的最小值即可； （2）不等式化为，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集． 【解答过程】（1）不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； （2）不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 3．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 4．（5分）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 6．（5分）（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（5分）（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 10．（6分）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 11．（6分）（24-25高二下·福建福州·期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025高一上·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N. 13．（5分）（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 14．（5分）（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 16．（15分）（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 17．（15分）（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 18．（17分）（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 19．（17分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式． (1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $