精品解析：重庆市松树桥中学校2025-2026学年 上学期第一次月考九年级数学试题

2025-2026学年度九（上）第一次学业质量抽测 九年级数学试题 本试卷共7页，满分150分，考试时长120分钟． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义． 【详解】解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程，符合题意； B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意； 、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程，不符合题意； D、方程，展开得，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数， 把代入一元二次方程，得出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故选D 3. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．本题考查二次函数的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴， 故选：C． 4. 已知，则实数m的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算，先利用二次根式的乘法求出，再估算出，进而计算即可． 【详解】解：， ∵，即， ∴， 则实数m的范围为． 故选：B． 5. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 6. 若二次函数的图像与x轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与的交点情况．利用判别式来确定图像与交点的个数问题，用进行求解即可． 【详解】解：∵是二次函数 ∴， 由题意得：，解得：且， 综上：且时，二次函数的图像与轴有交点． 故选：D． 7. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数图象的性质，做题时会用数形结合的思想进行思考，从而判断函数解析式中各系数的正负性是解题的关键．由一次函数和二次函数图象的性质，可以判断、的正负情况，从而解答本题． 【详解】解：A、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者一致，故本选项符合题意； D、由抛物线的开口方向可知，，对称轴，得，即，由一次函数的图像可知，，两者矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线． 将代入，得．解得． ∴． 将代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 9. 如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点P作于点H，设交于点Q，由题意易得，然后可得，则有，，进而可证，由此可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作交延长线于点H，设交于点Q，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选C． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质，判断二次函数与x轴另外一个交点的位置，易得当时，，据此可判断①；②根据顶点横坐标和对称轴公式求出a、b关系，代入①中结论运算判断即可；③根据抛物线在顶点处取得最大值即可判断；④根据抛物线图象，数形结合即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， 图象与x轴的一个交点在，之间， 图象与x轴另一交点在，之间， ∴当时，，即，故①正确； 抛物线对称轴为直线， ， 时，，故②正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， 故二次函数有最大值，当时，最大值为， ∵的任意实数， ，即，故③正确； 的最大值为， 由图可知必有两个不相等的实数根，故④错误． 综上，正确的有3个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的图象是抛物线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【解析】 【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键． 13. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键． 利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即， 故答案为：． 14. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则6月份的销售量为万辆，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴从4月份到6月份销售量的平均月增长率为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D是上一点，连接，将沿折叠至，连接，，平分交于点E．若，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于作出辅助线，得出为正方形． 作，通过勾股定理，求出的长度，是的角平分线，得出为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作，如图， 由题得，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴四边形为正方形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得或（舍去）， ∴，即， ∴为正方形的对角线， ∴． 故答案为：；． 16. 现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是__________；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为__________． 【答案】 ①. 9990 ②. 7062 【解析】 【分析】本题综合考查了新定义下的实数运算、整除性、完全平方数等数论相关知识点，解决本题的关键是需要通过代数变形、分类讨论并熟练理解“1234 数”的概念． ①对于求最大的“1234 数”，要使四位数最大，应从高位到低位尽量取较大数字，根据来确定各个数位数字； ②对于求满足条件的M的和，先表示出M和，进而得出的表达式，再结合以及是完全平方数来确定的值． 【详解】解：∵要使四位数最大，千位数字a要尽可能大，a最大为9， 百位数字b也应尽可能大，设， 由，将，代入可得，即， ∵，为整数且，， 要使c尽可能大，从开始尝试，若， ∴， ∴， 解得， 所以最大的“1234数”是9990； 设“1234数”， ∴； ∴交换百位与千位、十位与个位得，且， ∴， ∵为整数，即， 故需为整数． 需是11的倍数， ∵是完全平方数． ， ∴， 需为偶数的平方，因此需为． 当时， 可能的组合：， ∵，故不符合题意，排除． 时， 可能的组合：， ∵，故需舍去． ∵，解得唯一整数解． 检查：仅时，，可得 ． ∴，符合． 时， 可能的组合：． ，解得整数解． 检查：仅且时，，对应． ∴，符合题意． 满足条件的M为4202和2860，其和为． 故答案为：9990，7062． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每题10分，共86分）解答时，每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【答案】（1） 如图即为所求， （2），，， 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，准确作图和证明是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤进行作图即可； （2）由为的垂直平分线得到且，证明，得到，由得到四边形是平行四边形，又由即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴且 ∴在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴．四边形是平行四边形 又∵ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，，， 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，； （2） 八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 【解析】 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【小问1详解】 根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 八年级竞赛成绩中组：（人）， 组：（人）， 组：人，所占百分比为 组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即组第个同学竞赛成绩的平均数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 20. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，乘法公式，先根据乘法公式去括号，再把小括号内的式子通分化简，接着把除法变成乘法后约分化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． （1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】（1）36元 （2）20元；2880元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识，正确建立一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元，每天可以售出 ，所以此时商场平均每天要盈利元 ，根据商场平均每天要盈利为1600元列出方程求解即可； （2）设商场平均每天盈利y元 ，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为 ： ，用“配方法”求出该函数的最大值 ，并求出降价多少即可． 【小问1详解】 解 ：设每件衬衫应降价x元 ，则每件盈利元 ，每天可以售出， 由题意 ，得： ， 即 ：， 解得： ， 为了扩大销售量 ，增加盈利 ，尽快减少库存 ，所以x的值应为36． 答：若商场平均每天要盈利1600元 ，每件衬衫应降价36元． 【小问2详解】 解 ：设商场平均每天盈利y元 ，每件衬衫应降价x元 ， 由题意 ，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元． 答：该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价20元，盈利最大是2880元． 22. 如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围． 【答案】（1） （2） 解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 函数图像如图： 由函数图象可得： 函数的性质： ①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减小； ②当时，函数有最大值4；（回答一个即可） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， 此时：，， ， ； 综上所述：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可得： 在时， 要使与该抛物线有2 个交点， 则 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） （1）求、两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1）海里 （2）甲货轮先到达港 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【小问1详解】 解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； （3）当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为， ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 在中，，，过点作于点，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转度得到，连接． （1）如图1，若，点在线段上，过作，垂足为点，，，求线段的长； （2）如图2，若，点在线段上，连接、，为的中点，连接、，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，，点在的延长线上，点在射线上，满足，当最小时，请直接写出取最小值时的面积． 【答案】（1） （2） 解：， 理由：延长交于M，过F作于N，则， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵ 为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的最小值为，此时的面积为． 【解析】 【分析】（1）证明，可求出，进而求出，根据含的直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可求解； （2）延长交于M，过F作于N，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质可得出，则，可证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，然后根据直角三角形斜边上中线的性质即可得出结论； （3）以B为顶点，在下方作，截取，连接，，证明，得出，则，故当M、K、A三点共线时，取最小值为，此时可求出，则，进而求出，根据等角对等边，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得出，即可得出，得出，则点F在的右侧，平行于，且到的距离为的直线上运动，故当时，最小，此时四边形是矩形，得出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得（负值舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 以B为顶点，在下方作，截取，连接，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当M、K、A三点共线时，取最小值为， 此时，图形如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 将线段绕点顺时针旋转得到，连接， 则，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F在的右侧，平行于，且到的距离为的直线上运动， ∴当时，最小，如图， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，此时的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九（上）第一次学业质量抽测 九年级数学试题 本试卷共7页，满分150分，考试时长120分钟． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 3. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数m的范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图像与x轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 函数的图象是抛物线，则___________． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 13. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 14. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为______． 15. 如图，在中，，，点D是上一点，连接，将沿折叠至，连接，，平分交于点E．若，则________，________． 16. 现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是__________；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为__________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每题10分，共86分）解答时，每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中，满足． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件． （1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 22. 如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） （1）求、两港之间的距离（结果保留根号）． （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； （3）当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，，，过点作于点，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转度得到，连接． （1）如图1，若，点在线段上，过作，垂足为点，，，求线段的长； （2）如图2，若，点在线段上，连接、，为的中点，连接、，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，，点在的延长线上，点在射线上，满足，当最小时，请直接写出取最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $