精品解析：广东省肇庆市碧海湾学校等两校2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

2025年广东省两校9月月考 高二年级 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是定义在上的增函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘直径为60m B. h关于t的函数解析式为 C. h关于t的函数解析式为 D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 3. 已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 2是的一个周期 C. 是的一个对称中心 D. 为偶函数 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若a，b为正实数，，则 B. 若a，b，m为正实数，，则 C. 若，则“”是“”的充分不必要条件 D. 不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. 13. 已知函数.如图，直线与曲线交于两点，，则__________.在区间上的最大值与最小值的差的范围是__________. 14. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题； （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 16. 在中，内角，，所对的边分别，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省两校9月月考 高二年级 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是定义在上的增函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为是定义在上的增函数， 若，则，即充分性成立； 若，假设存在满足， 则，这与相矛盾， 所以，即必要性成立； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 2. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（ ） A. 摩天轮的轮盘直径为60m B. h关于t的函数解析式为 C. h关于t的函数解析式为 D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【解析】 【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 3. 已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可． 【详解】因为为奇函数，∴； 又 ，，又 ∴， 故选C． 【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数． 4. 中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案. 【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形， 由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：， 解得：. 故选：A. 5. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数，然后根据其对应点所在象限列出实部、虚部满足的不等式组求解. 【详解】设， 因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 【点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 6. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 7. 已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】化简配方可得+＝，令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，则＝，令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，再由基本不等式计算可得最大值. 【详解】解：a，b∈R，a+b＝2. 则+＝ ＝＝＝， 令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0， 则＝， 令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝， 可得＝＝， 由s+≥2＝8， 当且仅当s＝4，t＝2﹣2时上式取得等号， 可得≤ ＝， 则+的最大值为， 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题. 8. 已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②函数为奇函数； ③若函数在区间上至少有4个零点，则； ④在区间上单调递增. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及求出，由求出的取值，再根据周期确定的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④. 【详解】因为（其中、）， 由题意可知：，且，解得， 则， 又因为，即， 结合图象可知，解得， 且，则，解得， 所以，可知，故①正确； 所以， 对于②：为奇函数，故②正确； 对于③：因为，则， 由题意可得：，解得，故③正确； 对于④：因为，则， 且在内不单调，所以在区间上不单调，故④错误； 所以正确的个数为3. 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定． 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 2是的一个周期 C. 是的一个对称中心 D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得，进一步有以及，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确； 且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误； 因为，所以的对称轴为， 又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确； 因为，所以，即为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等； 对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断； 对于C选项，证明平面即可， 对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可. 【详解】对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误； 对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确； 对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确； 对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小， 此时设的中心为，的中心为，的中点为， 则，，，则易知， 所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误． 故选：BC 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若a，b为正实数，，则 B. 若a，b，m为正实数，，则 C. 若，则“”是“”的充分不必要条件 D. 不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法即可求解AB,结合充分不必要条件，即可根据不等式的性质求解CD. 【详解】对于A，因为，为正实数，， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，为正实数，，所以，所以，故B错误； 对于C，由，可得或，故由可得， 但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由可得，由于成立的充分不必要条件是， 所以或，解得，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在复平面中，表示复数对应点之间的距离． 【详解】由可知到的距离为1， 即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 点所围成的图形面积为． 故答案为：． 13. 已知函数.如图，直线与曲线交于两点，，则__________.在区间上的最大值与最小值的差的范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数图象，结合，，求得的解析式为，设在区间上的最大值与最小值的差为，再分对称轴不在区间上和对称轴在区间上这两种情况，结合正弦函数的单调性与对称性，求解即可． 【详解】由可得, , 由于在图象上，所以，所以，， 因为，所以，即； 设在区间,上的最大值与最小值的差为， 当对称轴不在区间,上时，函数在,上单调，不妨设在,上单调递增， 则； 当对称轴在区间,上时，在对称轴上取得最大值1，其最小值为或， 显然当对称轴经过区间,的中点时，有最小值，此时有，，解得，， 所以， 所以的最小值为， 综上，的值域为,，在区间上的最大值与最小值的差的范围是. 故答案为：， 14. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____． 【答案】. 【解析】 【详解】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值． 详解: 作出f（x）的函数图象如图所示： ∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c）， ∴a+b=﹣6， ∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc， 由函数图象可知：＜c＜e2， 设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣， 显然在（，e2]上单调递增， ∵=2﹣＜0，=3﹣＞0， ∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0， 在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增， 又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0， ∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12． 故答案为2e2﹣12 点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题； （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1）9 （2），理由：∵正实数，，，满足，且， ∴， 又， 当且仅当且，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. （3）当时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）由题可知，进而利用基本不等式中1的妙用求解即可； （2）由，结合基本不等式求解判断即可； （3）令，则，利用（2）的结论求解即可． 【小问1详解】 若正实数，满足，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是9． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）的结论可知，若正实数，，，满足，且， 则，当且仅当时等号成立. 要使有意义，需满足且，解得， 则，即， 所以. 令，所以，即，此时， 所以，由可得 ，即， ∵，∴， 当且仅当时等号成立. 由，得， 所以当时，取得最小值. 16. 在中，内角，，所对的边分别，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；. 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、射影定理将已知条件角化边，进而在利用余弦定理即可求解角； （2）根据正弦定理求出，又仅有一解，所以或，从而可求，再根据正弦定理将边化角，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】解：（1） ，即， ， ， . （2）根据题意，由正弦定理得，则， 仅有一解， 或，即或， 或， 由正弦定理可得 因此有且仅有一个解， 故直线与在上的图象有且仅有一个交点， 当时，，而在为增函数， 故在上为增函数， 因，，故， 【点睛】 17. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1） （i）因为，且，所以， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据勾股定理得，结合，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （ii）建立空间直角坐标系，求出球心，设点P的坐标为，由和，求出，代入锥体体积公式即可求解. （2）设，求出平面BPD和平面PDC的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值为，然后根据二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 （i）略 （ii）延长BC至E，使得，进而，连结DE， 又有，可知，四边形ABED为正方形， 连结AE交BD于O，过点O作平面ABED， 以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为， 所以，解得，即. 又为正三角形，连结OP，可知，又平面， 进而可得平面AOP，所以点P在坐标平面内， 设点P的坐标为，又有， 则，，解得， 所以四棱锥的高， 直角梯形ABCD的面积， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且，连结OP，则． 建系方法如（ii）问，， 设点， 设平面BPD的一个法向量，则， 令，则，所以. 设平面PDC的一个法向量为，则， 令，则，所以. . 令，则， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】（1）; （2） 设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，. 注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. （3）； 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $