第3章 重点题型专题14 “无图”问题&数学活动 制作包装盒-【一本】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

2.角的比较和运算 1.B2.D3.C 4解：如图所示. 5.B 6.(1)∠C0D ∠AOB∠BOC(2)∠AOC (3)∠BOC 7.(1)10212'(2)60°42 8.D9.60°10.∠MON=90°11.B 12.C13.49°51′14.50 15.解：(1)如图，∠AOD即为所求. D A (2)70° 16.解：(1)60°(2)∠AOC=75° (3)∠MON的度数不发生变化，始终等于60°.理由 如下： 因为∠AOB=90°，∠COD=30°， 所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=90°- 30°=60°. 因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, 所以∠M0C=号∠A0C,∠0D=∠B0D, 所以∠M0C+∠0D=号∠A0C+/∠B0D)=30, 所以∠MON=∠MOC+∠NOD+∠COD=30°+ 30°=60° 3.余角和补角 1.A2.B3.D 4.B【变式1】C【变式2】D【变式3】B【变式4】C 5.C6.B7.A 8.(1)相等(2)∠AOE,∠BON(3)∠AOS,∠BOE (4)北偏东62° 9.B10.A11.C12.①②④ 13.(1)①145°40°②∠ACB+∠ECD=180 (2)∠GAC+∠DAF=120° (3)∠AOD+∠BOC=a十B 14.(1)13°(2)∠AEB=67.5° 重点题型专题13基本图形中的计算 1.(1)CD=2(2)AP的长为5或7 2.(1)AD=24(2)BE=4 3.∠AOB=25°4.∠BOE=100° 5解：7522a+b)8MN-号 ·答多 (④精超：MN=2AB=n 结论：当M,N分别是AC,BC的中点时，MN=2AB. 6.MN=8.5 7.(1)∠E0F=90°(2)2m-n） 8.解：(1)①CD=3cm ②因为AP=8cm,AB=12cm,CP=2tcm,DB= 3t cm, 所以BP=AB-AP=12-8=4(cm),AC=AP- CP=8-2t(cm), 所以DP=BP-BD=4-3t(cm), 所以CD=DP+CP=(4-t)cm, 所以AC=2CD. (2)AP的长为9cm或11cm 重点题型专题14“无图”问题 【例1】解：①当点C在线段AB上时，如图1. ANCM B 图1 因为M是线段AB的中点，N是线段AC的中点， 所以AM=号AB=6cm,AN=号AC=2cm, 所以MN=AM-AN=6-2=4(cm). ②当，点C在线段BA的延长线上时，如图2. 上L CNA M B 图2 因为M是线段AB的中点，N是线段AC的中点， 所以AM=2AB=6em,AN=2AC=2cm 所以MN=AM+AN=6+2=8(cm). 综上所述，MN的长为4cm或8cm. 【跟踪训练】 1.解：(1)如图所示. D ABE aDE-号m 2.解：①如图1，当点C在点B的右侧时，AC=AB+ BC=10+2=12. A D 图1 因为D为AC的中点， 1 所以AD=2AC=6. ②如图2，当点C在点B的左侧时，AC=AB一BC= 10-2=8. A D 图2 因为D为AC的中点， 所以AD=2AC=4. 综上所述，AD=6或AD=4, 案13. 3.解：①当，点C在线段AB的延长线上时，如图1. 图1 因为AB=10cm,BC=5cm, 所以AC=AB+BC=10+5=15(cm). 因为AC:BM=3:1, 所以BM=号AC=号X15=5(cm. 所以AM=AB-BM=10-5=5(cm), ②当，点C在线段AB上时，如图2. A C MB 图2 因为AC=AB-BC=10-5=5(cm),AC:BM= 3:1, 所以BM= 1 所以AM=AB-BM=10-号-空(em 综上所速，线段AM的长为5Gm或号cm 【例2】解：①当OC在∠AOB的内部时，如图1. 因为∠AOB=75°，∠BO℃=45°， 所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=75°-45°=30°. 因为OD平分∠AOC, 1 所以∠C0D=2∠A0C=15°， 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=45°+15°=60°. D A B 图1 图2 ②当OC在∠AOB的外部时，如图2. 因为∠AOB=75°，∠BOC=45°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=75°+45°=120°. 因为OD平分∠AO℃， 1 所以∠C0D=2∠A0C=60°， 所以∠B0D=∠COD-∠BOC=60°-45°=15°. 综上所述，∠BOD的度数为60°或15°， 【跟踪训练】 4解：①当点O在点A,B的右侧时，如图所示 C D 由题意，得∠BOD=∠AOC+∠COD=140°. 当，点O在点A,B的左侧时，同理，此时∠BOD=140°. ②当点O在，点A,B之间时，如图所示. D C 由题意，得∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=40°， 综上所述，∠BOD的度数为140°或40°. 5.解：①当OC在∠AOB的内部时，如图1. 因为∠AOB=90°，∠AOC:∠AOB=1:3, 济以∠A0C=号∠A0B=30, 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°， 0 图1 图2 ②当OC在∠AOB的外部时，如图2. 因为∠AOB=90°，∠AOC:∠AOB=1:3, 所以∠A0C-吉A0B=0, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+30°=120°. 综上所述，∠BOC的度数为60°或120°. 6.解：①当OC在∠AOB的内部时，如图1. 因为OM平分∠AOB,∠AOB=100°， 所以∠A0M=号A0B=×100=50 因为ON平分∠BOC,∠BOC=60°， 所以∠B0NB0c=号×60=30. 所以∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=100°- 50°-30°=20° N M C 0 图1 图2 ②当OC在∠AOB的外部时，如图2. 因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOC, 所以∠0M=7∠A0B=号×10r=50, ∠B0N=2∠B0C=×60=30 所以∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°. 综上所述，∠MON的度数为20°或80° 数学活动 制作包装盒 1.解：(1)C(2)卫 (3)①画出的图形如图所示。 ②(80-8x) ③(20-2×4)2×4=576(cm3). 答：纸盒的容积为576cm3. 答案14· 2解：①050(8号 (3)①7 ②该长方体盒子展开后，周长最小时如图所示（展开方 式不唯一). 2 1.5 1.5 1.5 2.5 1.5 此时该长方体盒子表面展开图的外围的周长为25 章末复习 1.c 2.(1)这是一个九棱柱.它有11个面.有18个顶点 (2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是945 3.(1)这个几何体的表面积为168cm2(2)5 4.A5.C 6.(1)这个包装盒折成的立体图形是三棱柱.这个包装盒 的侧面积为(45+9a十9b)cm2 (2)这个包装盒的容积为750cm3 7.B8.14 9.(1)DB=3(2)线段AB的长为2a 10.B11.120°12.∠E0C=80° 13.解：(1)AP=4cm (2)AP=4 cm (3)如图1，当，点Q在线段AB上时，因为AQ一BQ= PQ,所以AQ=PQ十BQ. 因为AQ=AP十PQ, 所以AP=BQ=4cm,所以PQ=4cm. 力QB 图2 如图2，当点Q在AB的延长线上时，AQ-BQ=PQ= AB=12 cm. 综上所述，PQ的长为4cm或12cm. 中考新趋势 1.D2.A3.C4.两点之间线段最短5.5316 6.解：(1)40°(2)①135 ②不发生变化.理由如下： 因为OP,OQ分别为∠AO℃和∠BOC的3倍分线， ∠COP>∠POA,∠COQ>∠QOB, 所以∠C0P-∠A0C,∠c0Q=∠B0C, 所以∠POQ=∠COP+∠COQ =∠A0C+∠B0C =(∠A0C+∠B0C) -∠A0B=×1s0=135 ·答多 第4章相交线和平行线 4.1相交线 1.对顶角 1.C2.∠BOC∠AOE和∠BOF 3.354.45°5.135°【变式】65°6.1 7.∠AOB=35°8.C9.80°10.对顶角相等 11.B12.B13.C14.13 15.∠E0B=110°16.∠E0G=126° 17.【规律探索】2612 【归纳总结】n(n一1) 【规律应用】所构成的对顶角的对数为999000 2.垂线 1.C2.6634′3.∠2=145°，∠3=35°，∠4=55° 4.B5.B 6.解：(1)如图，直线DE即为所求. (2)如图，直线CF即为所求 (3)如图，直线PQ即为所求 7C&AD9.D【变式】4 10.c 11.B12.135°或45 13.解：如图所示. h A码头 aB火车站 (1)沿BA走.理由：两，点之间线段最短. (2)沿AC走.理由：连接直线外一，点与直线上各，点的线 段中，垂线段最短」 (3)沿BD走.理由：连接直线外一点与直线上各点的线 段中，垂线段最短 14.解：(1)ONCD.理由如下： 因为OM⊥AB, 所以∠AOM=90°， 所以∠1+∠AOC=90°. 又因为∠1=∠2， 所以∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°， 所以ON⊥CD. (2)∠BOC=120° 3.同位角、内错角、同旁内角 1.D2.A3.∠2AF同位4.B5.C6.A7.3 8.A9.C 10.解：(1)同位内错同旁内 15·重点题型专题4 “无图”问题 类型1线段中的“无图”问题 2.已知点A,B,C在同一条直线上，AB=10, 例1线段AB,BC在同一条直线上，若AB= BC=2,D为AC的中点，求AD的长. 12cm,AC=4cm,M,N分别是AB,AC的中 点，画图并求MN的长. 跟踪训练 3.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C, 1.画图并计算：已知线段AB=1cm,延长线段 BC=5cm,M是线段AB上的点，且AC:BM= AB至点C,使得BC=2AB,再反向延长AC 3:1,求线段AM的长. 至点D,使得AD=AC,E为线段AC的中点. (1)准确地画出图形，并标出相应的字母； (2)求线段DE的长度. 102一本·HDSD版初中数学七年级上册 类型2角中的“无图”问题 5.已知OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射 例2OC,OD是分别从∠AOB的顶点O引出的 线，若∠AOB=90°，∠AOC:∠AOB=1:3, 两条射线，若∠AOB=75°，∠COB=45°，且OD 求∠BOC的度数. 平分∠AOC,求∠BOD的度数. ♪跟踪训练 6.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分 4.(2024·西安临潼区期末)已知O是直线AB上一 ∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度数. 点，过点O作射线OC,OD,使∠COD=120°.若 ∠AOC=20°，求∠BOD的度数.（画出示意图） 第3章图形的初步认识103 数学活动 制作包装盒 1.(2025·洛阳新安期末节选)综合与实践。 [问题情景] 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫 3 士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾 的无盖纸盒 [操作探究] ④ (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下列四 ⑤ 个图形中，经过折叠能围成无盖正方体纸盒是 [制作纸盒](2)综合实践小组利用边长为 20cm的正方形纸板，按如图1、图2所示的两 种方式制作长方体盒子.如图1，先在纸板四角 剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形， 再沿虚线折叠起来，可制作一个无盖长方体盒 子如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小且 (2)小明的设计图如图1所示，把它折成无盖正 边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小 方体纸盒后与“保”字所在面相对面上的字是 长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖 ,(字在盒外) 的长方体盒子制作成的有盖长方体盒子的体 环保小卫 积是无盖长方体盒子体积的 图1 图2 (3)如图2，有一张边长为20cm的正方形废弃 宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方 形，折成无盖长方体纸盒 图1 图2 ①请你在图2中画出示意图，用实线表示剪切 [拓展探究](3)若一个有盖长方体盒子的长、 痕迹，虚线表示折痕； 宽、高分别为2.5,2,1.5，将它的表面沿某些棱 ②若剪去的小正方形的边长为x(x<10)cm, 剪开，展成一个平面图形 则这个纸盒的底面周长为 cm;(用含 ①剪开了 条棱； x的代数式表示) ②当该长方体盒子表面展开图的外围的周长 ③当剪去的小正方形的边长为4cm时，请直接 最小时，求此时该长方体盒子表面展开图的外 写出纸盒的容积. 围的最小周长 2.(2024·沈阳和平区期未)某班综合实践小组开展 “制作长方体纸盒”的实践活动. [知识准备](1)下列图形中，是正方体的表面展 开图的是 .(填序号) 104一本·HDSD版初中数学七年级上册