专题2.1.1有理数的加法（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课　2025-2026学年人教版(2024)数学七年级上册

2.1.1 有理数的加法 【题型1】同号两数相加 1. 知识点 - 有理数加法法则（同号情况）：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 - 示例：若，，则；若，，则。 2. 考点 - 直接计算两个正数的和（如）。 - 直接计算两个负数的和（如）。 3. 易错点 - 忽略符号，误将两个负数相加的结果算成正数（如错把算成）。 - 计算绝对值和时出错（如中，误将算成）。 4. 解题技巧 - 步骤分两步：先定符号（与两个加数的符号一致），再算绝对值的和。 - 计算前可先标记加数的符号，避免符号混淆（如计算，先标“负号”，再算，结果为）。 【例题1】．（2024-2025•钱塘区校级模拟）计算﹣2+（﹣5）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7 【变式题1-1】．（2024-2025•鹤山市一模）计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 【变式题1-2】．（2024-2025•石城县校级期中）（﹣5）+（﹣4）＝　 　 ． 【变式题1-3】．（2024-2025•桦甸市校级月考）若（　　）+（﹣4）＝﹣9，则括号内的数是 　 　 ． 【题型2】异号两数相加 1. 知识点 - 有理数加法法则（异号情况）：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 - 特殊情况：互为相反数的两个数相加得0（如）。 2. 考点 - 计算绝对值不相等的异号两数的和（如、）。 - 识别互为相反数的两数并计算其和（如）。 3. 易错点 - 符号判断错误：误取绝对值较小的加数的符号（如错把的符号定为“正”）。 - 混淆“绝对值相加”与“绝对值相减”：异号相加时仍用绝对值相加（如错把算成）。 4. 解题技巧 - 步骤分三步：定符号（找绝对值大的加数的符号）→比绝对值（计算两数绝对值的差）→写结果（符号+绝对值差）。 - 若两个数绝对值相近，可先估算绝对值大小（如，，符号为“负”，再算，结果为）。 【例题2】．（2024-2025•陕西）计算：﹣5+4＝（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 【变式题2-1】．（2024-2025•武城县期末）已知|（﹣3）+□|＝5，那么“□”表示的数为（　　） A．2 B．2或8 C．﹣2 D．﹣2或8 【变式题2-2】．（2024-2025•抚顺县期末）计算：（+3）+（﹣8）＝ 　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•平南县期末）计算：﹣（﹣6）+|﹣2|＝　 　 ． 【题型3】有理数加法的基础计算 1. 知识点 - 综合应用有理数加法法则：判断加数符号（同号、异号、与0相加），选择对应法则计算。 - 有理数加法的运算步骤：一看符号（定类型）→二定符号（结果符号）→三算绝对值（和或差）。 2. 考点 - 随机考查不同类型的有理数加法（如、、混合出现）。 - 带分数、小数与整数的加法（如、）。 3. 易错点 - 带分数加法中忽略分数部分的符号（如错把算成，正确应为）。 - 小数加法中绝对值计算出错（如错算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 计算前先将带分数、小数统一形式（如带分数拆为整数+分数，小数化分数或分数化小数）。 - 复杂计算可分步书写（如，先算整数部分，再算分数部分，最终结果）。 【例题3】．（2024-2025•白云区期末）计算：（﹣12）+13+（﹣18）． 【变式题3-1】．（2024-2025•惠安县期末）计算：． 【变式题3-2】．（2024-2025•古塔区校级月考）计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+19.9+3.45+（﹣7.5）； （3）； （4）． 【变式题3-3】．（2024-2025•船山区校级月考）计算下列各式的值． （1）（﹣22）+15； （2）﹣12+0+（﹣8）； （3）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7； （4）． 【题型4】利用加法交换律与结合律简化运算 1. 知识点 - 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为；交换加数时需连同加数的符号一起交换（如可交换为）。 - 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，用字母表示为。 - 运算律的关联：两者常结合使用，核心是通过“交换位置+分组”实现“简化运算”，适用于三个及以上有理数相加的场景。 2. 考点 - 互为相反数结合：将和为0的数分组（如，交换并结合为。 - 同分母分数结合：同分母或分母成倍数的分数优先分组（如，结合为。 - 小数凑整结合：和为整数的小数分组（如，交换并结合为。 - 同符号数结合：将正数、负数分别分组（如，交换并结合为。 3. 易错点 - 交换加数时漏带符号：如错把交换为，正确应为。 - 结合时忽略括号内符号：如错把结合为，正确应为。 - 混淆运算律适用场景：误认为运算律仅适用于正数，对负数分组时犹豫（如不敢将与结合。 4. 解题技巧 - 观察加数特征：优先对“互为相反数、同分母、和为整数、同符号”的加数分组，明确分组依据（如标注“相反数结合”“凑整结合”）。 - 分步操作：①交换加数位置（带符号）；②用括号分组；③分组内计算；④合并结果。 - 验证结果：分组计算后，可按原顺序重新计算一次，确保结果一致。 【例题4】．（2024-2025•永定区期中）若，则这个算式（　　） A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律 【变式题4-1】．（2024-2025•淅川县期中）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①﹣5（﹣9）+17（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17]+[（）+（）+（）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：（﹣2017）+（﹣2018）+4034+（） 【变式题4-2】．（2024-2025•利津县月考）使用简便方法计算． （1）23+（﹣17）+6+（﹣22）； （2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35； （3）； （4）． 【变式题4-3】．用简便方法计算： （1）（﹣24）+（+65）+（﹣16）+（+35）； （2）1.4+（﹣0.1）+（﹣6.4）+（﹣1.9）； （3）（）（）+（）； （4）（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）． 【题型5】有理数加法的实际应用（提升） 1. 知识点 - 用正数表示“上升/增加”，负数表示“下降/减少”，实际变化量的计算转化为有理数加法。 - 核心关系：最终量=初始量+变化量之和（如最终气温=初始气温+气温变化量）。 2. 考点 - 气温变化问题（如早晨气温，中午上升，求中午气温）。 - 高度变化问题（如登山队从海拔处上升，再下降，求最终海拔）。 3. 易错点 - 混淆“上升”“下降”对应的正负符号（如错把“下降”记为，导致计算错误）。 - 忽略初始量，直接计算变化量之和（如早晨气温，中午上升，错算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 第一步：明确“正方向”（如“上升为正，下降为负”），标注每个变化量的符号。 - 第二步：列出算式（初始量+所有变化量），分步计算或利用运算律简化（如初始气温，变化量、，算式为，结合为）。 【例题5】．（2024-2025•昭阳区期末）对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 【变式题5-1】．（2024-2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-2】．（2024-2025•潮阳区模拟）某地一天中午的气温是﹣7℃，过了5h气温上升了4℃，则这时的气温是（　　） A．﹣11℃ B．11℃ C．3℃ D．﹣3℃ 【变式题5-3】．（2024-2025•西陵区模拟）某个地区，一天早晨的温度是﹣7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是（　　） A．﹣5℃ B．﹣19℃ C．5℃ D．19℃ 【题型6】有理数加法与绝对值结合（提升） 1. 知识点 - 绝对值的非负性：，若，则且。 - 已知、求：需先确定、的所有可能值，再分类计算。 2. 考点 - 已知、，求的可能值（如，，求）。 - 结合非负性求（如，求）。 3. 易错点 - 漏考虑、的正负情况（如，，错认为、，忽略、等情况）。 - 非负性应用时，误将“”等同于“或”，忽略“且”的关系（需、同时为0）。 4. 解题技巧 - 第一步：列出、的所有可能值（根据绝对值定义）。 - 第二步：分类计算，并标注每种情况（如，：①，→ ；②，→ ；③，→ ；④，→ ）。 - 非负性问题：牢记“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，直接列方程求字母值（如，则，，得，，）。 【例题6】．（2025秋•玄武区月考）已知|a|＝3，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．5或﹣5 C．3或﹣2 D．5或1 【变式题6-1】．（2024-2025•平房区二模）若x的相反数是2，|y|＝3，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．1 C．1或﹣5 D．﹣1或5 【变式题6-2】．（2024-2025•玉山县期末）若|a|＝4，|b|＝3，求a+b的值． 【变式题6-3】．（2024-2025•丹阳市校级月考）（1）若|x﹣3|＝5，求x的值； （2）若|x|＝3，|y|＝5，x+y＜0，求x+y的值． 【题型7】有理数加法与“幻方/幻圆”结合（提升） 1. 知识点 - 幻方核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等（称为“幻和”）。 - 幻圆核心性质：横、竖、内外圈上的数之和相等，总和为所有数的和，可据此求幻和（如8个数的幻圆，幻和=8个数的和÷ 2）。 2. 考点 - 补全三阶幻方（如已知幻方中部分数，求未知的数，如）。 - 补全幻圆（如将填入幻圆，使内外圈和相等）。 3. 易错点 - 计算幻和时出错（如三阶幻方填入，错把幻和算成（正确，因9个数和为0，幻和=0÷ 3=0），但补数时符号混淆）。 - 幻圆中漏考虑“横竖和与圈和的关系”（如内外圈和相等，却忽略横/竖和也需等于圈和）。 4. 解题技巧 - 三阶幻方：先求幻和（所有数的和÷ 3），再利用“每行、每列和为幻和”列加法算式求未知项（如幻和为0，某行已知和，则未知项=0-(-1)-(-3)=4）。 - 幻圆：先算所有数的和，再求幻和（如8个数和为，幻和=S÷ 2），再根据已知数求未知项（如外圈已知，幻和为6，则外圈第四个数=6-(-2)-3-5=0）。 【例题7】．（2024-2025•肇庆期末）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【变式题7-1】．（2024-2025•唐山一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【变式题7-2】．（2024-2025•西城区期末）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中﹣1，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为 　 　 ； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可）． 【变式题7-3】．（2024-2025•惠山区校级期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣4，8，﹣12，16，﹣20，24，﹣28，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则m+n的值为（　　） A．﹣12或﹣24 B．﹣4或﹣16 C．4或﹣4 D．4或﹣32 【题型8】有理数加法中的规律探究（培优） 1. 知识点 - 常见规律：循环数列求和（如）、对称数列求和（如）。 - 规律探究步骤：观察前几项结果→ 总结规律→ 验证规律→ 应用规律计算。 2. 考点 - 连续整数的正负交替求和（如计算）。 - 固定差值的数列求和（如）。 3. 易错点 - 找规律时漏项或多项（如计算，错把规律总结为“每两项和为，共2组加5”，正确应为“每两项和为，共2组（4项）加5，结果”）。 - 规律应用时符号错误（如，错把每组和算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 分组求和：对正负交替数列，每两项分为一组（如，每组和为，共50组，结果）。 - 标注项数：计算前先确定数列的项数（如，共5项，中间项为1，和为），利用对称规律简化。 【例题8】．（2024-2025•陆丰市校级月考）一跳蚤在一直线上从点O开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度…依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离原点O的距离是（　　） A．49个单位长度 B．50个单位长度 C．51个单位长度 D．52个单位长度 【变式题8-1】．（2024-2025•桐柏县期中）如图，你能由此得出计算规律吗？ （1）1+3+5+7+9+11＝（　 　 ）2； （2）由此猜测：1+3+5+⋯（2n﹣1）＝　 　 ； （3）由（2）的结论求下列式子的值： ①2+4+6+⋯+200＝　 　 ； ②1+2+3+⋯+200＝　 　 ； ③13+15+17+⋯+87＝　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•惠来县期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|5﹣16|＝ 　 　 ； ② 　 　 ； ③|3.14﹣π|＝ 　 　 ． （2）用合理的方法计算：有理数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|的结果为 　 　 ． （3）用简单的方法计算：． 【变式题8-3】．（2024-2025•泉州期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　 　 ； ②|0.8|＝　 　 ； ③||＝　 　 ： （2）数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|＝　 　 ． A．a﹣2.5 B.2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5 （3）利用上述介绍的方法计算或化简： ①||+||﹣||； ②||+||﹣||+2（），其中a＞2． 【题型9】拆项法进行有理数加法运算（培优） 1. 知识点 - 拆项法定义：将带分数拆分为整数部分和分数部分（符号与原带分数一致），再分别对整数部分和分数部分求和。 - 示例：，。 2. 考点 - 带分数的加减混合运算（如）。 - 复杂带分数求和（如）。 3. 易错点 - 拆负带分数时，分数部分漏带负号（如错把拆为，正确应为）。 - 整数部分和分数部分分别求和后，漏加符号（如整数部分和为，分数部分和为，错把结果算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 拆项步骤：①将每个带分数拆为“整数+分数”（负带分数拆为“负整数+负分数”）；②分组（整数部分一组，分数部分一组）；③分别求和；④合并结果。 【例题9】．（2024-2025•潮南区期末）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式题9-1】．（2024-2025•市中区校级月考）阅读下列材料： 计算：． 解：原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　 　 ＝0+　 　 ＝　 　 ． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： （1）请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 【变式题9-2】．（2024-2025•宁明县期中）阅读下题的计算方法． 计算 ． 解：原式 ＝0+（） 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式题9-3】．（2024-2025•通许县期中）阅读下面文字： 对于， 可以按如下方法进行计算： 原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）] ＝0+（） 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 【题型10】有理数加法中的新定义运算（培优） 1. 知识点 - 新定义运算：根据题目给出的新规则（如“”），将已知数代入规则进行计算。 - 核心：严格遵循新定义的运算规则，不随意套用原有运算律（需先验证运算律是否适用）。 2. 考点 - 简单新定义（如定义“”，计算）。 - 复杂新定义（如定义“”，计算）。 3. 易错点 - 忽略新定义的条件限制（如分段新定义中，错把的情况按计算）。 - 新定义与常规加法混淆（如定义“”，错按常规加法算成）。 4. 解题技巧 - 第一步：精读新定义规则，圈出关键条件（如“”“”等）。 - 第二步：代入已知数，判断是否符合条件（如分段新定义需先比较、大小）。 - 第三步：按规则计算，写出详细步骤（如定义“”，计算：①算；②算绝对值，结果为7）。 【例题10】．定义一种运算☆，其规则为a☆b，根据这个规则，计算﹣2☆3的值是（　　） A． B． C．5 D．6 【变式题10-1】．（2024-2025•泗水县期中）定义：对于一个有理数，我们把称[x]为x的有缘数．若x≥0，则[x]x﹣1；若x＜0，则[x]x+2．计算[3]+[﹣1]的结果为（　　） A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5 【变式题10-2】．（2024-2025•兴文县期中）定义：若a+b＝c，则称a与b是关于c的平衡数．例如：1+2＝3，所以1与2是关于3的平衡数；10+（﹣5）＝5，所以10与﹣5是关于5的平衡数． （1）﹣3与﹣3是关于　 　 的平衡数；7﹣x与　 　 是关于2的平衡数； （2）若M＝x2﹣4x+5，，判断M与N是否是关于3的平衡数，并说明理由． 【变式题10-3】．（2024-2025•铜梁区校级月考）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算﹣a+b，﹣b+a，将这两个数的最小值称为a，b的“关联差”，例如：对于1，﹣2，因为﹣1+（﹣2）＝﹣3，﹣（﹣2）+1＝3，所以1，﹣2的“关联差”为﹣3． （1）2，3的“关联差”是 　 　 ； （2）4，﹣3的“关联差”与﹣3，4的“关联差”有什么关系，并说明理由． （3）1，m（其中m≠1）的“关联差”是﹣5，求m的值． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．比﹣1大2的数为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．2 2．某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一组5名同学的成绩简记为﹣3，+14，0，+5，﹣6，这5名同学的平均成绩是（　　） A．83分 B．87分 C．82分 D．84分 3．在下列说法中：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2）+（﹣2）＝0 B．﹣6+（﹣4）＝﹣10 C．0+（﹣3）＝3 D．0.56+（﹣0.26）＝﹣0.3 5．若|a|＝4，|b|＝6且a＞b，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣10或﹣2 C．﹣10或2 D．10 二．填空题（共5小题） 6．已知有理数a，b满足|a+4|+|b﹣2|＝0，则a+b＝　 　 ． 7．【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系：　 　 ．（用文字语言叙述） 8．若有理数a，b满足|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则a+b的值为 　 　 ． 9．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圈上4个数之和都相等，则a+b的值为 　 　 ． 10．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 11．计算18+（﹣12）+（﹣9）+12． 12．计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+19.9+3.45+（﹣7.5）； （3）； （4）． 13．用简便方法计算： （1）（﹣2.25）+（）+（）+0.125； （2）（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）． 14．某电影院共有8排座位，第一排有12个座位，后面每排都比前面一排多2个座位，这个电影院共有多少个座位？ 15．若|a|＝4，|b|＝3，求a+b的值． 16．用算式表示下面的结果： （1）温度由﹣4℃上升7℃； （2）收入7元，又支出5元． 17．如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若a＝﹣3，求这四个有理数的和； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 18．阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 19．老师在黑板上写了一个不完整的算式：﹣6﹣□×2+5．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“□”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． （1）第1次转动转盘后，求算式的计算结果； （2）某次转动转盘后，算式的计算结果是﹣7，求指针所指区域的数； （3）多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 20．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上1cm为数轴上的1个单位长度），数轴上的点A，B，C恰好分别与刻度尺上的刻度值“4cm”“0cm”和“7cm”对应． （1）若点A表示的数为﹣2，则点B表示的数应为　 　 ，点C表示的数应为　 　 ； （2）若点A与C表示的数互为相反数，求点B表示的数； （3）若点A，B，C表示的三个数的和为2，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 有理数的加法 【题型1】同号两数相加 1. 知识点 - 有理数加法法则（同号情况）：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 - 示例：若，，则；若，，则。 2. 考点 - 直接计算两个正数的和（如）。 - 直接计算两个负数的和（如）。 3. 易错点 - 忽略符号，误将两个负数相加的结果算成正数（如错把算成）。 - 计算绝对值和时出错（如中，误将算成）。 4. 解题技巧 - 步骤分两步：先定符号（与两个加数的符号一致），再算绝对值的和。 - 计算前可先标记加数的符号，避免符号混淆（如计算，先标“负号”，再算，结果为）。 【例题1】．（2024-2025•钱塘区校级模拟）计算﹣2+（﹣5）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：原式＝﹣7． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•鹤山市一模）计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 【答案】D 【分析】根据有理数加法解答即可． 【解答】解：（﹣2）+（﹣4）＝﹣6， 故选：D． 【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法法则解答． 【变式题1-2】．（2024-2025•石城县校级期中）（﹣5）+（﹣4）＝　﹣9　 ． 【答案】﹣9． 【分析】同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，由此计算即可． 【解答】解：（﹣5）+（﹣4）＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题1-3】．（2023秋•桦甸市校级月考）若（　　）+（﹣4）＝﹣9，则括号内的数是 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】已知一个加数、和，求另一个加数，用减法运算，于是列出式子﹣9﹣（﹣4），再根据有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：﹣9﹣（﹣4）＝﹣9+4＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型2】异号两数相加 1. 知识点 - 有理数加法法则（异号情况）：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 - 特殊情况：互为相反数的两个数相加得0（如）。 2. 考点 - 计算绝对值不相等的异号两数的和（如、）。 - 识别互为相反数的两数并计算其和（如）。 3. 易错点 - 符号判断错误：误取绝对值较小的加数的符号（如错把的符号定为“正”）。 - 混淆“绝对值相加”与“绝对值相减”：异号相加时仍用绝对值相加（如错把算成）。 4. 解题技巧 - 步骤分三步：定符号（找绝对值大的加数的符号）→比绝对值（计算两数绝对值的差）→写结果（符号+绝对值差）。 - 若两个数绝对值相近，可先估算绝对值大小（如，，符号为“负”，再算，结果为）。 【例题2】．（2024-2025•陕西）计算：﹣5+4＝（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 【答案】B 【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•武城县期末）已知|（﹣3）+□|＝5，那么“□”表示的数为（　　） A．2 B．2或8 C．﹣2 D．﹣2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义可知（﹣3）+□＝±5，进而求解． 【解答】解：∵|（﹣3）+□|＝5， ∴（﹣3）+□＝5或者（﹣3）+□＝﹣5， 当（﹣3）+□＝5时，则□＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8， 当（﹣3）+□＝﹣5时，则□＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣5+3＝﹣2． ∴□表示的数为﹣2或8． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加法及绝对值意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•抚顺县期末）计算：（+3）+（﹣8）＝ 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】根据异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•平南县期末）计算：﹣（﹣6）+|﹣2|＝　8　 ． 【答案】8． 【分析】先计算绝对值，再计算加法运算即可． 【解答】解：原式＝6+2＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法运算，解题的关键是掌握绝对值性质． 【题型3】有理数加法的基础计算 1. 知识点 - 综合应用有理数加法法则：判断加数符号（同号、异号、与0相加），选择对应法则计算。 - 有理数加法的运算步骤：一看符号（定类型）→二定符号（结果符号）→三算绝对值（和或差）。 2. 考点 - 随机考查不同类型的有理数加法（如、、混合出现）。 - 带分数、小数与整数的加法（如、）。 3. 易错点 - 带分数加法中忽略分数部分的符号（如错把算成，正确应为）。 - 小数加法中绝对值计算出错（如错算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 计算前先将带分数、小数统一形式（如带分数拆为整数+分数，小数化分数或分数化小数）。 - 复杂计算可分步书写（如，先算整数部分，再算分数部分，最终结果）。 【例题3】．（2024-2025•白云区期末）计算：（﹣12）+13+（﹣18）． 【答案】17． 【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算． 【解答】解：（﹣12）+13+（﹣18） ＝﹣12+13﹣18 ＝﹣17． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•惠安县期末）计算：． 【答案】． 【分析】原式先将﹣2.75化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•古塔区校级月考）计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+19.9+3.45+（﹣7.5）； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）﹣0.1； （3）； （4）﹣2． 【分析】（1）将符号相同的两个数分别结合为一组求解； （2）将将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解； （3）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【解答】解：（1）（﹣7）+11+（﹣13）+9 ＝﹣（7+13）+（11+9） ＝﹣20+20 ＝0； （2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+19.9+3.45+（﹣7.5） ＝（﹣3.45+3.45）﹣（12.5+7.5）+19.9 ＝﹣（20﹣19.9） ＝﹣0.1； （3） ； （4） ＝﹣2． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是熟练运用有理数混合运算法则． 【变式题3-3】．（2024-2025•船山区校级月考）计算下列各式的值． （1）（﹣22）+15； （2）﹣12+0+（﹣8）； （3）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7； （4）． 【答案】（1）﹣7；（2）﹣20；（3）﹣5；（4）． 【分析】（1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣22+15 ＝﹣（22﹣15） ＝﹣7； （2）原式＝﹣12﹣8 ＝﹣（12+8） ＝﹣20； （3）原式＝﹣2.4﹣3.7﹣4.6+5.7 ＝（﹣2.4﹣4.6）+（﹣3.7+5.7） ＝﹣7+2 ＝﹣5； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数加法，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【题型4】利用加法交换律与结合律简化运算 1. 知识点 - 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为；交换加数时需连同加数的符号一起交换（如可交换为）。 - 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，用字母表示为。 - 运算律的关联：两者常结合使用，核心是通过“交换位置+分组”实现“简化运算”，适用于三个及以上有理数相加的场景。 2. 考点 - 互为相反数结合：将和为0的数分组（如，交换并结合为。 - 同分母分数结合：同分母或分母成倍数的分数优先分组（如，结合为。 - 小数凑整结合：和为整数的小数分组（如，交换并结合为。 - 同符号数结合：将正数、负数分别分组（如，交换并结合为。 3. 易错点 - 交换加数时漏带符号：如错把交换为，正确应为。 - 结合时忽略括号内符号：如错把结合为，正确应为。 - 混淆运算律适用场景：误认为运算律仅适用于正数，对负数分组时犹豫（如不敢将与结合。 4. 解题技巧 - 观察加数特征：优先对“互为相反数、同分母、和为整数、同符号”的加数分组，明确分组依据（如标注“相反数结合”“凑整结合”）。 - 分步操作：①交换加数位置（带符号）；②用括号分组；③分组内计算；④合并结果。 - 验证结果：分组计算后，可按原顺序重新计算一次，确保结果一致。 【例题4】．（2024-2025•永定区期中）若，则这个算式（　　） A．只用了加法交换律 B．只用了加法结合律 C．既用了加法交换律，又用了加法结合律 D．没有运用运算律 【答案】C 【分析】根据题意将第二项与第四项交换，再将第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合，由此即可求解． 【解答】解：根据题意可知，等式中第四项与第二项带着符号交换位置，运用了加法交换律， 第一项与交换后的第二项结合，交换后的第三项与第四项结合，运用了加法结合律． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•淅川县期中）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①﹣5（﹣9）+17（﹣3） 解：原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+（﹣3）+17]+[（）+（）+（）] ＝0+（﹣1） ＝﹣1 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：（﹣2017）+（﹣2018）+4034+（） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据阅读材料中的运算方法，将所求式子先拆项，再计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣2017）+（﹣2018）+4034+（） ＝（﹣2017﹣2018+4034）+（） ＝（﹣1）+（﹣2） ＝﹣3． 【点评】本题主要考查的是有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•利津县月考）使用简便方法计算． （1）23+（﹣17）+6+（﹣22）； （2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣10；（2）﹣10；（3）0；（4）． 【分析】根据有理数的加法的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式＝23﹣17+6﹣22 ＝（23+6）﹣（17+22） ＝29﹣39 ＝﹣10； （2）原式＝（﹣6.35+5.35）+[（﹣1.4）+（﹣7.6）] ＝﹣1+[﹣（1.4+7.6）] ＝﹣1﹣9 ＝﹣10； （3）原式 ＝1+（﹣1） ＝0； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【变式题4-3】．用简便方法计算： （1）（﹣24）+（+65）+（﹣16）+（+35）； （2）1.4+（﹣0.1）+（﹣6.4）+（﹣1.9）； （3）（）（）+（）； （4）（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）． 【答案】（1）60； （2）﹣7； （3）； （4）0． 【分析】（1）先让负数与负数结合，正数与正数结合计算，然后根据异号两数相加的运算法则计算即可； （2）先变形为[1.4+（﹣6.4）]+[（﹣0.1）+（﹣1.9）]进行计算，然后根据同号两数相加的运算法则计算即可； （3）先让负数与负数结合，互为相反数的两个数结合计算，然后根据异号两数相加的运算法则计算即可； （4）先变形为计算，然后根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【解答】解：（1）（﹣24）+（+65）+（﹣16）+（+35） ＝[（﹣24）+（﹣16）]+[（+65）+（+35）] ＝（﹣40）+100 ＝60； （2）1.4+（﹣0.1）+（﹣6.4）+（﹣1.9） ＝[1.4+（﹣6.4）]+[（﹣0.1）+（﹣1.9）] ＝（﹣5）+（﹣2） ＝﹣7； （3）（）（）+（） ＝﹣1+0 ； （4）（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5） ＝﹣10+10 ＝0． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键． 【题型5】有理数加法的实际应用（提升） 1. 知识点 - 用正数表示“上升/增加”，负数表示“下降/减少”，实际变化量的计算转化为有理数加法。 - 核心关系：最终量=初始量+变化量之和（如最终气温=初始气温+气温变化量）。 2. 考点 - 气温变化问题（如早晨气温，中午上升，求中午气温）。 - 高度变化问题（如登山队从海拔处上升，再下降，求最终海拔）。 3. 易错点 - 混淆“上升”“下降”对应的正负符号（如错把“下降”记为，导致计算错误）。 - 忽略初始量，直接计算变化量之和（如早晨气温，中午上升，错算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 第一步：明确“正方向”（如“上升为正，下降为负”），标注每个变化量的符号。 - 第二步：列出算式（初始量+所有变化量），分步计算或利用运算律简化（如初始气温，变化量、，算式为，结合为）。 【例题5】．（2024-2025•昭阳区期末）对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 【答案】B 【分析】分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【解答】解：A、由题意0﹣3+2＝﹣1，现在该物体在数轴上对应点的数为﹣1，选项说法错误，不符合题意； B、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故他这两个月合计亏了1万元，选项说法正确，符合题意； C、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在的气温是零下1℃，选项说法错误，不符合题意； D、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在水池中的水比原来少了1m3，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，数轴，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出算式﹣5+5，然后根据互为相反数的两个数相加得0计算即可判断． 【解答】解：根据题意得﹣5+5＝0（℃）， 即温度计上显示0℃， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•潮阳区模拟）某地一天中午的气温是﹣7℃，过了5h气温上升了4℃，则这时的气温是（　　） A．﹣11℃ B．11℃ C．3℃ D．﹣3℃ 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：﹣7+4 ＝﹣（7﹣4） ＝﹣3℃； 故选：D． 【点评】本题考查有理数的加法、正数与负数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•西陵区模拟）某个地区，一天早晨的温度是﹣7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是（　　） A．﹣5℃ B．﹣19℃ C．5℃ D．19℃ 【答案】C 【分析】根据“中午的温度＝早晨的温度+中午上升的温度”，计算即可． 【解答】解：由题意，得﹣7+12＝5（℃）． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法的应用，题目比较简单，正确列式是解题的关键． 【题型6】有理数加法与绝对值结合（提升） 1. 知识点 - 绝对值的非负性：，若，则且。 - 已知、求：需先确定、的所有可能值，再分类计算。 2. 考点 - 已知、，求的可能值（如，，求）。 - 结合非负性求（如，求）。 3. 易错点 - 漏考虑、的正负情况（如，，错认为、，忽略、等情况）。 - 非负性应用时，误将“”等同于“或”，忽略“且”的关系（需、同时为0）。 4. 解题技巧 - 第一步：列出、的所有可能值（根据绝对值定义）。 - 第二步：分类计算，并标注每种情况（如，：①，→ ；②，→ ；③，→ ；④，→ ）。 - 非负性问题：牢记“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”，直接列方程求字母值（如，则，，得，，）。 【例题6】．（2025秋•玄武区月考）已知|a|＝3，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．5或﹣5 C．3或﹣2 D．5或1 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据b＜a，分析可得a＝3，b＝2或b＝﹣2，然后代入进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，a＝3或a＝﹣3，b＝2或b＝﹣2， 又∵b＜a， ∴a＝3，b＝2或b＝﹣2， ∴当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5， 当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•平房区二模）若x的相反数是2，|y|＝3，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．1 C．1或﹣5 D．﹣1或5 【答案】C 【分析】先根据相反数及绝对值的知识求出x和y，然后代入求解即可． 【解答】解：∵x的相反数是2，|y|＝3， ∴x＝﹣2，y＝±3， 故x+y＝1或﹣5． 故选：C． 【点评】此题考查了代数式求值的知识，涉及了相反数及绝对值的知识，属于基础题，注意本题有两个解，不要遗漏． 【变式题6-2】．（2024-2025•玉山县期末）若|a|＝4，|b|＝3，求a+b的值． 【答案】a+b的值为1或﹣1或7或﹣7． 【分析】根据已知|a|＝4，|b|＝3，得出a＝±4，b＝±3，确定出a，b的值，最后代入a+b计算即可． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝3， ∴a＝±4，b＝±3， 当a与b异号时， ∴a＝4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3， 当a＝4，b＝﹣3时，a+b＝4﹣3＝1， 当a＝﹣4，b＝3时，a+b＝﹣4+3＝﹣1； 当a与b同号时， ∴a＝4，b＝3或a＝﹣4，b＝﹣3， 当a＝4，b＝3时，a+b＝4+3＝7， 当a＝﹣4，b＝﹣3时，a+b＝﹣4﹣3＝﹣7， 综上所述，a+b的值为1或﹣1或7或﹣7． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法运算，掌握绝对值的性质，有理数的加法运算法则是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•丹阳市校级月考）（1）若|x﹣3|＝5，求x的值； （2）若|x|＝3，|y|＝5，x+y＜0，求x+y的值． 【答案】（1）8或﹣2； （2）﹣2或﹣8． 【分析】（1）根据绝对值的性质得出x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，据此可解决问题． （2）根据绝对值的性质得出x＝±3，y＝±5，再结合x+y＜0，求出x和y的值即可解决问题． 【解答】解：（1）因为|x﹣3|＝5， 所以x﹣3＝±5． 当x﹣3＝5时，x＝8； 当x﹣3＝﹣5时，x＝﹣2， 所以x的值为8或﹣2． （2）因为|x|＝3，|y|＝5， 所以x＝±3，y＝±5． 又因为x+y＜0， 所以x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝﹣5． 当x＝3，y＝﹣5时， x+y＝3+（﹣5）＝﹣2． 当x＝﹣3，y＝﹣5时， x+y＝﹣3+（﹣5）＝﹣8， 所以x+y的值为﹣2或﹣8． 【点评】本题主要考查了有理数的加法及绝对值，熟知绝对值的性质及有理数的加法法则是解题的关键． 【题型7】有理数加法与“幻方/幻圆”结合（提升） 1. 知识点 - 幻方核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等（称为“幻和”）。 - 幻圆核心性质：横、竖、内外圈上的数之和相等，总和为所有数的和，可据此求幻和（如8个数的幻圆，幻和=8个数的和÷ 2）。 2. 考点 - 补全三阶幻方（如已知幻方中部分数，求未知的数，如）。 - 补全幻圆（如将填入幻圆，使内外圈和相等）。 3. 易错点 - 计算幻和时出错（如三阶幻方填入，错把幻和算成（正确，因9个数和为0，幻和=0÷ 3=0），但补数时符号混淆）。 - 幻圆中漏考虑“横竖和与圈和的关系”（如内外圈和相等，却忽略横/竖和也需等于圈和）。 4. 解题技巧 - 三阶幻方：先求幻和（所有数的和÷ 3），再利用“每行、每列和为幻和”列加法算式求未知项（如幻和为0，某行已知和，则未知项=0-(-1)-(-3)=4）。 - 幻圆：先算所有数的和，再求幻和（如8个数和为，幻和=S÷ 2），再根据已知数求未知项（如外圈已知，幻和为6，则外圈第四个数=6-(-2)-3-5=0）。 【例题7】．（2024-2025•肇庆期末）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【答案】A 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5， 6+4+b+c＝2，得c＝﹣3， a+c+4+d＝2，a+d＝1， ∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2． 【变式题7-1】．（2024-2025•唐山一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、7、﹣8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．﹣7或4 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【答案】A 【分析】由于八个数的和是﹣4，所以需满足两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8＝﹣4，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是﹣2，横、竖的和也是﹣2， 则﹣4﹣6+b+7＝﹣2， 得b＝1， 由﹣6﹣2+b+c＝﹣2， 得c＝5， 由a+c﹣2+d＝﹣2， 得a+d＝﹣5， 当a＝3时，d＝﹣8，则a+b＝3+1＝4， 当a＝﹣8时，d＝3，则a+b＝﹣8+1＝﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是﹣2． 【变式题7-2】．（2024-2025•西城区期末）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中﹣1，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为 　﹣3　 ； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可）． 【答案】（1）﹣3， （2）答案见解析部分（答案不唯一）． 【分析】根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2，每一横线，每一竖线的数字之和也是2即可得到结果． 【解答】解：（1）∵﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4，且8个数分成一个大圆，一个小圆， ∴每个圆中的4个数之和为2， ∴4+1+x+y＝2， ∴x+y＝﹣3， 故答案为：﹣3， （2）图2中的填写的数字，（答案不唯一）． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，熟练进行有理数运算是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•惠山区校级期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣4，8，﹣12，16，﹣20，24，﹣28，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则m+n的值为（　　） A．﹣12或﹣24 B．﹣4或﹣16 C．4或﹣4 D．4或﹣32 【答案】A 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8，再由已经填写的数，确定m＝﹣20n＝﹣4或n＝8，即可求解． 【解答】解：∵﹣4+8﹣12+16﹣20+24﹣28+32＝16， ∴由横线得：32+m+24+（﹣28）＝8， ∴m＝﹣20， 如图，设空白位置两个数分别为a、b， ∴16+24+（﹣20）+a＝8， 解得：a＝﹣12， ∵n+（﹣12）+16+b＝8，即n+b＝4， ∴n＝﹣4或n＝8， 当n＝﹣4时，b＝8，此时m+n＝﹣20﹣4＝﹣24， 当n＝8时，b＝﹣4，此时m+n＝﹣20+8＝﹣12． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键． 【题型8】有理数加法中的规律探究（培优） 1. 知识点 - 常见规律：循环数列求和（如）、对称数列求和（如）。 - 规律探究步骤：观察前几项结果→ 总结规律→ 验证规律→ 应用规律计算。 2. 考点 - 连续整数的正负交替求和（如计算）。 - 固定差值的数列求和（如）。 3. 易错点 - 找规律时漏项或多项（如计算，错把规律总结为“每两项和为，共2组加5”，正确应为“每两项和为，共2组（4项）加5，结果”）。 - 规律应用时符号错误（如，错把每组和算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 分组求和：对正负交替数列，每两项分为一组（如，每组和为，共50组，结果）。 - 标注项数：计算前先确定数列的项数（如，共5项，中间项为1，和为），利用对称规律简化。 【例题8】．（2024-2025•陆丰市校级月考）一跳蚤在一直线上从点O开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度…依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离原点O的距离是（　　） A．49个单位长度 B．50个单位长度 C．51个单位长度 D．52个单位长度 【答案】B 【分析】根据题意，可以写出前几次落点可以用哪些数字表示，从而可以发现数字的变化特点，从而可以得到当它跳第100次落下时，落点处离点O的距离是多少个单位长度． 【解答】解：设向右为正，向左为负， 当它跳第100次落下时，落点处在点O的长度距离为： 1+（﹣2）+3+（﹣4）+⋯+99+（﹣100） ＝[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+⋯+[97+（﹣98）]+[99+（﹣100）] ＝﹣50． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•桐柏县期中）如图，你能由此得出计算规律吗？ （1）1+3+5+7+9+11＝（　6　 ）2； （2）由此猜测：1+3+5+⋯（2n﹣1）＝　n2　 ； （3）由（2）的结论求下列式子的值： ①2+4+6+⋯+200＝　10100　 ； ②1+2+3+⋯+200＝　20100　 ； ③13+15+17+⋯+87＝　1900　 ． 【答案】（1）6； （2）n2； （3）①10100；②20100；③1900． 【分析】（1）（2）读懂题意，根据题意发现规律，利用规律解答； （3）根据（2）中规律计算． 【解答】解：（1）1+3+5+7+9+11＝（6）2； 故答案为：6； （2）由此猜测：1+3+5+⋯（2n﹣1）＝n2； 故答案为：n2； （3）①2+4+6+⋯+200 ＝1+1+1+3+1+5+1+7+...+1+199 ＝100+1002 ＝（100+1）×100 ＝10100； ②1+2+3+⋯+200 ＝201×100 ＝20100； ③13+15+17+⋯+87 ＝442﹣62 ＝（44﹣6）×（44+6） ＝38×50 ＝1900． 故答案为：①10100；②20100；③1900． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是读懂题意能发现规律，利用规律解答． 【变式题8-2】．（2024-2025•惠来县期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|5﹣16|＝ 　16﹣5　 ； ② 　　 ； ③|3.14﹣π|＝ 　π﹣3.14　 ． （2）用合理的方法计算：有理数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|的结果为 　2﹣a　 ． （3）用简单的方法计算：． 【答案】（1）①16﹣5；②；③π﹣3.14； （2）2﹣a； （3）． 【分析】（1）根据题干给出的等式，得到小数减大数的绝对值等于大数减小数，进行化简即可； （2）首先根据a在数轴上的位置得到a＜2，得到a﹣2＜0，然后化简绝对值即可； （3）先化简，再进行计算． 【解答】解：（1）①|5﹣16|＝16﹣5； ②； ③|3.14﹣π|＝π﹣3.14； （2）∵a＜2， ∴a﹣2＜0， ∴|a﹣2|＝2﹣a； （3）原式 ． 【点评】本题考查化简绝对值，有理数的加减混合运算．从题干给定的等式中得到小数减大数的绝对值等于大数减小数是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•泉州期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　21﹣7　 ； ②|0.8|＝　0.8　 ； ③||＝　　 ： （2）数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|＝　B　 ． A．a﹣2.5 B.2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5 （3）利用上述介绍的方法计算或化简： ①||+||﹣||； ②||+||﹣||+2（），其中a＞2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简； （2）根据数轴上a的位置判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简； （3）①根据分子相等时，分母大的值越小，可判定式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简； ②分情况讨论并化简． 【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|0.8|；③||； 故答案为：①21﹣7；②0.8；③； （2）由数轴得：a＜2.5， 则|a﹣2.5|＝2.5﹣a， 故选：B； （3）利用上述介绍的方法计算或化简： ①||+||﹣||； ， ， ， ②||+||﹣||+2（），其中a＞2． 当2＜a＜5时，原式， ， ， 当a≥5时，原式， ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型9】拆项法进行有理数加法运算（培优） 1. 知识点 - 拆项法定义：将带分数拆分为整数部分和分数部分（符号与原带分数一致），再分别对整数部分和分数部分求和。 - 示例：，。 2. 考点 - 带分数的加减混合运算（如）。 - 复杂带分数求和（如）。 3. 易错点 - 拆负带分数时，分数部分漏带负号（如错把拆为，正确应为）。 - 整数部分和分数部分分别求和后，漏加符号（如整数部分和为，分数部分和为，错把结果算成，正确应为）。 4. 解题技巧 - 拆项步骤：①将每个带分数拆为“整数+分数”（负带分数拆为“负整数+负分数”）；②分组（整数部分一组，分数部分一组）；③分别求和；④合并结果。 【例题9】．（2024-2025•潮南区期末）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】仿照上述题干中的拆项法解题即可． 【解答】解： ＝1+（﹣2） ＝﹣1 【点评】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•市中区校级月考）阅读下列材料： 计算：． 解：原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　　 ＝0+　　 ＝　　 ． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： （1）请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 【答案】（1），，． （2）． 【分析】（1）将每一个带分数拆分成整数部分和分数部分的和，然后分别求出所有整数部分和分数部分的和，再求和计算即可； （2）将每一个带分数拆分成整数部分和分数部分的和，然后分别求出所有整数部分和分数部分的和，再求和计算即可； 【解答】解：（1） ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2] ＝0， 故答案为：，，． （2） ＝[（﹣2024）+2023+（﹣2022）+2021）] ＝（﹣2） ． 【点评】本题考查了有理数的加减法，解决本题的关键是按照示例的拆项法计算． 【变式题9-2】．（2024-2025•宁明县期中）阅读下题的计算方法． 计算 ． 解：原式 ＝0+（） 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：原式＝[（﹣2011）+（）]+[（﹣2010）+（）]+[4022]+[（﹣1）+（）] ＝[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（）+（）（）] ＝0+（） ． 【点评】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•通许县期中）阅读下面文字： 对于， 可以按如下方法进行计算： 原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）] ＝0+（） 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】． 【分析】仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律． 【题型10】有理数加法中的新定义运算（培优） 1. 知识点 - 新定义运算：根据题目给出的新规则（如“”），将已知数代入规则进行计算。 - 核心：严格遵循新定义的运算规则，不随意套用原有运算律（需先验证运算律是否适用）。 2. 考点 - 简单新定义（如定义“”，计算）。 - 复杂新定义（如定义“”，计算）。 3. 易错点 - 忽略新定义的条件限制（如分段新定义中，错把的情况按计算）。 - 新定义与常规加法混淆（如定义“”，错按常规加法算成）。 4. 解题技巧 - 第一步：精读新定义规则，圈出关键条件（如“”“”等）。 - 第二步：代入已知数，判断是否符合条件（如分段新定义需先比较、大小）。 - 第三步：按规则计算，写出详细步骤（如定义“”，计算：①算；②算绝对值，结果为7）。 【例题10】．定义一种运算☆，其规则为a☆b，根据这个规则，计算﹣2☆3的值是（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由a☆b可得﹣2☆3；接下来根据有理数的加法法则进行计算，即可求得答案． 【解答】解：根据新运算规则：a☆b， 得﹣2☆3． 故选：A． 【点评】本题主要考查新定义运算，理解“☆”的运算法则是关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•泗水县期中）定义：对于一个有理数，我们把称[x]为x的有缘数．若x≥0，则[x]x﹣1；若x＜0，则[x]x+2．计算[3]+[﹣1]的结果为（　　） A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5 【答案】B 【分析】先根据新定义，求出[3]和[﹣1]的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵若x≥0，则[x]x﹣1；若x＜0，则[x]x+2， ∴[3]，[﹣1]2.5， ∴[3]+[﹣1] ＝0+2.5 ＝2.5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是理解新定义的含义和有理数的加法法则． 【变式题10-2】．（2024-2025•兴文县期中）定义：若a+b＝c，则称a与b是关于c的平衡数．例如：1+2＝3，所以1与2是关于3的平衡数；10+（﹣5）＝5，所以10与﹣5是关于5的平衡数． （1）﹣3与﹣3是关于　﹣6　 的平衡数；7﹣x与　x﹣5　 是关于2的平衡数； （2）若M＝x2﹣4x+5，，判断M与N是否是关于3的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）﹣6；x﹣5；（2）M与N是关于3的平衡数，理由见解析． 【分析】（1）根据题中新定义和有理数的加法运算法则、整式的加减运算法则求解即可； （2）根据题中新定义和整式的加减运算法则求解即可． 【解答】解：（1）∵﹣3+（﹣3）＝﹣6， ∴﹣3与﹣3是关于﹣6的平衡数， ∵7﹣x+（x﹣5）＝2， ∴7﹣x与x﹣5是关于2的平衡数， 故答案为：﹣6；x﹣5； （2）M与N是关于3的平衡数，理由为： M+N ＝x2﹣4x+5+x2﹣2x2+4x﹣3+1 ＝3， ∴M与N是关于3的平衡数． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是解答的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•铜梁区校级月考）定义：对于任意两个不相等的有理数a，b，计算﹣a+b，﹣b+a，将这两个数的最小值称为a，b的“关联差”，例如：对于1，﹣2，因为﹣1+（﹣2）＝﹣3，﹣（﹣2）+1＝3，所以1，﹣2的“关联差”为﹣3． （1）2，3的“关联差”是 　﹣1　 ； （2）4，﹣3的“关联差”与﹣3，4的“关联差”有什么关系，并说明理由． （3）1，m（其中m≠1）的“关联差”是﹣5，求m的值． 【答案】（1）﹣1； （2）相等； （3）﹣4或6． 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义即可求出答案； （3）根据定义分两种情况，即可求出答案． 【解答】解：（1）对于2，3，因为﹣2+3＝1，﹣3+2＝﹣1， 所以2，3的“关联差”为﹣1． 故答案为：﹣1． （2）∵对于4，﹣3，因为﹣4+（﹣3）＝﹣7，﹣（﹣3）+4＝7，所以4，﹣3的“关联差”为﹣7， 对于﹣3，4，因为﹣（﹣3）+4＝7，﹣4+（﹣3）＝﹣7，所以﹣3，4的“关联差”为﹣7， ∴4，﹣3的“关联差”与﹣3，4的“关联差”相等． （3）∵1，m（其中m≠1）的“关联差”是﹣5， ∴﹣1+m＝﹣5或﹣m+1＝﹣5， 解得m＝﹣4或6， ∴m的值为m＝﹣4或6． 【点评】本题考查了有理数的加法，正确理解定义是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C B C B B 一．选择题（共5小题） 1．比﹣1大2的数为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得列出算式﹣1+2，然后根据有理数加法法则计算即可． 【解答】解：根据题意得﹣1+2＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一组5名同学的成绩简记为﹣3，+14，0，+5，﹣6，这5名同学的平均成绩是（　　） A．83分 B．87分 C．82分 D．84分 【答案】B 【分析】先求出﹣3，+14，0，+5，﹣6的和，再求出平均成绩即可． 【解答】解：（﹣3）+（+14）+0+（+5）+（﹣6） ＝10， 这5名同学的平均成绩是85+10÷5＝87， 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 3．在下列说法中：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数分类和相反数解决此题即可． 【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确． ②0既不是正数也不是负数，故②正确． ③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确． ④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确． 综上：正确的共2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查绝对值、相反数的性质，熟练掌握绝对值、相反数是解决本题的关键． 4．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2）+（﹣2）＝0 B．﹣6+（﹣4）＝﹣10 C．0+（﹣3）＝3 D．0.56+（﹣0.26）＝﹣0.3 【答案】B 【分析】同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．根据加法法则逐项分析即可． 【解答】解：A、（﹣2）+（﹣2）＝﹣（2+2）＝﹣4，选项计算不正确，不符合题意； B、﹣6+（﹣4）＝﹣（6+4）＝﹣10，选项计算正确，符合题意； C、0+（﹣3）＝﹣3，选项计算不正确，不符合题意； D、0.56+（﹣0.26）＝+（0.56﹣0.26）＝0.3，选项计算不正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则是关键． 5．若|a|＝4，|b|＝6且a＞b，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣10或﹣2 C．﹣10或2 D．10 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质得到a，b的值，代入计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，a＝±4，b＝±6， ∵a＞b， ∴a＝±4，b＝﹣6， 当a＝4，b＝﹣6时，a+b＝4+（﹣6）＝﹣2， 当a＝﹣4，b＝﹣6时，a+b＝﹣4+（﹣6）＝﹣10． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 二．填空题（共5小题） 6．已知有理数a，b满足|a+4|+|b﹣2|＝0，则a+b＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+4|+|b﹣2|＝0， ∴a+4＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣4，b＝2， ∴a+b＝﹣4+2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 7．【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系：　每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15　 ．（用文字语言叙述） 【答案】每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15． 【分析】求出每一行，每一列以及两条斜对角线上的三个数的和，即可得出结论． 【解答】解：根据题意可知，4+9+2＝15，3+5+7＝15，8+1+6＝15， ∴每一行的三个数字之和为15， 4+3+8＝15，9+5+1＝15，2+7+6＝15， ∴每一列的三个数字之和为15， 4+5+6＝15，8+5+2＝15， ∴两条斜对角线上的三个数的和为15， 综上所述，每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15． 故答案为：每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 8．若有理数a，b满足|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，则a+b的值为 　﹣1或﹣7　 ． 【答案】﹣1或﹣7． 【分析】根据绝对值的定义易得a＝±3，b＝±4，再根据a＞b确定a，b的值，然后将它们相加并计算即可． 【解答】解：∵有理数a，b满足|a|＝3，|b|＝4， ∴a＝±3，b＝±4， ∵a＞b， ∴a＝±3，b＝﹣4， 则a+b＝3﹣4＝﹣1或﹣3﹣4＝﹣7， 故答案为：﹣1或﹣7． 【点评】本题考查有理数的加法及绝对值，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． 9．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圈上4个数之和都相等，则a+b的值为 　﹣28或10　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定b＝﹣6或b＝8，从而求出d的值，即可求解． 【解答】解：如图， ∵﹣6+8﹣10+12﹣14+16﹣18+20＝8， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴﹣14+12+16+a＝4， ∴a＝﹣10， ∵12+8+a+c＝4，b+16﹣14+d＝4， ∴c＝﹣6，b+d＝2， ∴b＝﹣18或b＝20， 当b＝﹣18时，d＝20，此时a+b＝﹣10﹣18＝﹣28， 当b＝20时，d＝﹣18，此时a+b＝﹣10+20＝10． ∴a+b的值为﹣28或10． 故答案为：﹣28或10． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键． 10．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【解答】解：由题意可得：8+1+6＝15， ∴色＝15﹣6﹣7＝2． ∴红＝15﹣2﹣4＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，仔细阅读题意列出算式是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 11．计算18+（﹣12）+（﹣9）+12． 【答案】9． 【分析】根据有理数的加法法则运算即可． 【解答】解：18+（﹣12）+（﹣9）+12 ＝[18+（﹣9）]+[（﹣12）+12] ＝9+0 ＝9． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号． 12．计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+19.9+3.45+（﹣7.5）； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）﹣0.1； （3）； （4）﹣2． 【分析】（1）将符号相同的两个数分别结合为一组求解； （2）将将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解； （3）将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【解答】解：（1）（﹣7）+11+（﹣13）+9 ＝﹣（7+13）+（11+9） ＝﹣20+20 ＝0； （2）（﹣3.45）+（﹣12.5）+19.9+3.45+（﹣7.5） ＝（﹣3.45+3.45）﹣（12.5+7.5）+19.9 ＝﹣（20﹣19.9） ＝﹣0.1； （3） ； （4） ＝﹣2． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是熟练运用有理数混合运算法则． 13．用简便方法计算： （1）（﹣2.25）+（）+（）+0.125； （2）（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）． 【答案】（1）﹣3.5； （2）1． 【分析】（1）先将分数化为小数，然后利用凑整法进行结合计算，最后根据同号两数相加的运算法则计算即可； （2）先利用凑整法、互为相反数的两数进行结合计算，再根据异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2.25）+（）+（）+0.125 ＝（﹣2.25）+（﹣0.625）+（﹣0.75）+0.125 ＝[（﹣2.25）+（﹣0.75）]+[（﹣0.625）+0.125] ＝﹣3+（﹣0.5） ＝﹣3.5； （2）（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2） ＝11+0+（﹣10） ＝1． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则能够进行简便计算是解题的关键． 14．某电影院共有8排座位，第一排有12个座位，后面每排都比前面一排多2个座位，这个电影院共有多少个座位？ 【答案】152． 【分析】先确定每排的座位数，再通过配对求和的方法计算电影院的总座位数． 【解答】解：由题意得，12+14+16+18+20+22+24+26＝152 （个）， 答：这个电影院共有152个座位． 【点评】本题考查了整数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 15．若|a|＝4，|b|＝3，求a+b的值． 【答案】a+b的值为1或﹣1或7或﹣7． 【分析】根据已知|a|＝4，|b|＝3，得出a＝±4，b＝±3，确定出a，b的值，最后代入a+b计算即可． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝3， ∴a＝±4，b＝±3， 当a与b异号时， ∴a＝4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3， 当a＝4，b＝﹣3时，a+b＝4﹣3＝1， 当a＝﹣4，b＝3时，a+b＝﹣4+3＝﹣1； 当a与b同号时， ∴a＝4，b＝3或a＝﹣4，b＝﹣3， 当a＝4，b＝3时，a+b＝4+3＝7， 当a＝﹣4，b＝﹣3时，a+b＝﹣4﹣3＝﹣7， 综上所述，a+b的值为1或﹣1或7或﹣7． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法运算，掌握绝对值的性质，有理数的加法运算法则是解题的关键． 16．用算式表示下面的结果： （1）温度由﹣4℃上升7℃； （2）收入7元，又支出5元． 【答案】（1）3；（2）2． 【分析】（1）根据条件可得﹣4+7，利用有理数加法的运算法则进行解答即可得解； （2）根据条件可得7+（﹣5），利用有理数加法的运算法则进行解答即可． 【解答】解：（1）上升用正数表示，下降用负数表示，﹣4+7＝3（℃）； （2）收入用正数表示，支出用负数表示，7+（﹣5）＝2（元）． 【点评】本题主要考查了有理数加法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 17．如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若a＝﹣3，求这四个有理数的和； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 【答案】（1）3 （2）a＝﹣4 【分析】（1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于a的方程求解即可． 【解答】解：（1）若a＝﹣3，求这四个有理数的和为：﹣3+5+4+（﹣3）＝3； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等， ﹣3+4＝5+a， ∴a＝﹣4． 【点评】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程． 18．阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 【答案】﹣7.25． 【分析】将原式变形后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【解答】解：原式＝﹣3+（）+（﹣7）+（）+14（﹣10）+（） ＝[﹣3+（﹣7）+14+（﹣10）]+[（）（）] ＝﹣6+（﹣1.25） ＝﹣7.25． 【点评】本题考查有理数的加法，理解题意并将原式进行正确地变形是解题的关键． 19．老师在黑板上写了一个不完整的算式：﹣6﹣□×2+5．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“□”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． （1）第1次转动转盘后，求算式的计算结果； （2）某次转动转盘后，算式的计算结果是﹣7，求指针所指区域的数； （3）多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【答案】（1）﹣3；（2）3；（3）5． 【分析】（1）将1填入“□”中，求出﹣6﹣1×2+5即可； （2）设指针所指区域为x，则﹣6﹣x×2+5＝﹣7，求出x即可； （3）分别求出“□”中填入1、﹣1、3、﹣3时，﹣6﹣□×2+5的结果，找出最大的结果． 【解答】解：（1）﹣6﹣1×2+5 ＝﹣6﹣2+5 ＝﹣3； （2）设指针所指区域为x，则 ﹣6﹣x×2+5＝﹣7， ﹣2x＝﹣6， 解得：x＝3， 所以指针所指区域的数是3． （3）﹣6﹣1×2+5＝﹣3， ﹣6﹣（﹣1）×2+5＝1， ﹣6﹣3×2+5＝﹣7， ﹣6﹣（﹣3）×2+5＝5， 所以最大的结果是5． 答：这个最大的结果是5． 【点评】本题考查了有理数的加减法，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 20．琪琪用刻度尺按如图所示的方式画一数轴（刻度尺上1cm为数轴上的1个单位长度），数轴上的点A，B，C恰好分别与刻度尺上的刻度值“4cm”“0cm”和“7cm”对应． （1）若点A表示的数为﹣2，则点B表示的数应为　﹣6　 ，点C表示的数应为　1　 ； （2）若点A与C表示的数互为相反数，求点B表示的数； （3）若点A，B，C表示的三个数的和为2，试求数轴的原点对应刻度尺上的刻度值． 【答案】（1）﹣6，1； （2）﹣5.5； （3）3． 【分析】（1）根据两点间的距离公式求出答案即可； （2）根据题意得到点A表示的数为﹣1.5，即可得到答案； （3）设点B表示的数为x，则点A，C表示的数分别为x+4，x+7，列出一元一次方程进行计算即可． 【解答】解：（1）若点A表示的数为﹣2，则点B表示的数应为﹣6， 点C表示的数应为﹣2+3＝1； 故答案为：﹣6，1； （2）由条件可知：点A表示的数为﹣1.5，点B表示的数为﹣1.5﹣4＝﹣5.5； （3）设点B表示的数为x，则点A，C表示的数分别为x+4，x+7， 依题意，得x+（x+4）+（x+7）＝2， 解得x＝﹣3． ∴原点对应刻度尺上的刻度值为3． 【点评】本题主要考查数轴，解一元一次方程，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $