6.3 一元一次方程的应用（4））　教学课件　-2024-2025学年鲁教版（五四制）（2024）六年级数学下册

义务教育教科书鲁教版（五四制）数学六年级下册第六章第三节 回顾 《九章算术》第七章“盈不足”第一题：今有共买物，人 出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？ 盈不足问题 解应用题一般步骤： 审、设、列、解、验、答 借助：表格 回顾 学习目标 一、知识技能： 1.掌握用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法，能通过表格分析理清数量关系。 2.了解《九章算术》中的 “盈不足术”，理解其基本原理，并能与方程法进行对比分析。 二、关键能力 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，合理设未知数并建立方程。 2.具备逻辑推理能力，能通过两种不同情境的对比，找到变量间的等量关系。 3.能运用对比分析的方法，评价“盈不足术”与方程法的优缺点。 任务一 评价量规 得分 活动1： 分析解决问题 1.会借助表格正确的分析出数量关系，设未指数。 2.能根据不同的未知数列出不同的方程变正确解答。 3.积极思考主动发言。 3 活动2： 探究总结方法 1.能通过对比观察发现两个题目的区别与联系。 2.能够总结解决“赢不足”问题的关键。 3.在小组讨论中能够积极发言完成任务。 3 任务一：探究盈不足问题的方程解法 任务一：探究盈不足问题的方程解法 不足四。问人数、物价各几何？ 译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多 出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合 伙人数、物品价格各是多少？ 活动1：分析解决问题 例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题： 原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七， (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？ 审 已知量： ①每人出8钱 ②每人出7钱 多3钱 少4钱 未知量： 总人数 总物价 等量关系：人数不变 物价相等 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x x 出钱总 数 8x 8x-3 7x 7x+4 物价 任务一：探究盈不足问题的方程解法 (2)设人数为x，其它未知量能用含x的代数式 表示吗？请完成下表。 设、列 根据等量关系，列出方程： ___________________________。 例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题： 原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四。问人数、物价各几何？ 译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多 出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合 伙人数、物品价格各是多少？ 方程的两边就是 物价的两种不同 表达方式 任务一：探究盈不足问题的方程解法 例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题： 原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四。问人数、物价各几何？ 译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多 出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合 伙人数、物品价格各是多少？ 解、验、答 解：设人数为x。 根据等量关系，列出方程： 8x-3=7x+4 解这个方程，得x=7。 8×7-3=53 因此，人数为7人，物价为53钱。 任务一：探究盈不足问题的方程解法 例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题： 原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四。问人数、物价各几何？ 译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多 出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合 伙人数、物品价格各是多少？ 思考：如果设物价为y钱，你会做吗？ 任务一：探究盈不足问题的方程解法 评价练习： 《九章算术》第七章“盈不足”第五题： 原文：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 译文：今有几人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱， 问合伙人数、金价各是多少？ 对比例题和评价练习，它们有什么相同点与不同点？ 任务一：探究盈不足问题的方程解法 活动2：探究总结方法 《九章算术》第七章“盈不足”第五题：今 有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三 百，盈一百。问人数、金价各几何？ 400x-3400=300x-100 《九章算术》第七章“盈不足”第一题： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不 足四。问人数、物价各几何？ 8x-3=7x+4 任务一：探究盈不足问题的方程解法 解决盈不足问题的关键 总数/总价等 保持不变 列出方程. 盈不足。以御隐亲互见 (盈不足:处理隐杂互见的问题) 本章主要讲盈亏类问题的一种算术方法，借有余、不足以求隐含之数。"盈不足”即双设法问题，本章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法，这是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法"。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。 任务一 评价量规 得分 活动1： 分析解决问题 1.会借助表格正确的分析出数量关系，设未指数。 2.能根据不同的未知数列出不同的方程变正确解答。 3.积极思考主动发言。 3 活动2： 探究总结方法 1.能通过对比观察发现两个题目的区别与联系。 2.能够总结解决“赢不足”问题的关键。 3.在小组讨论中能够积极发言完成任务。 3 任务一：探究盈不足问题的方程解法 任务二 评价量规 得分 活动1： 了解“盈不足术” 1.了解盈不足术的解法 2.能用方程的求解过程解释“盈不足术”的计算公式 3.在小组讨论中能够积极发言。 3 活动2： 对比古今方法 1.能用“盈不足术”或方程的方法正确求解问题。 2.能在具体问题中感受“盈不足术”的局限性和方程法 的优势。 3.能够积极思考，认真完成任务。 3 任务二：对比古代算法与现代方程 任务二：对比古代算法与现代方程 古人是如何解决盈不足问题呢？ 任务二：对比古代算法与现代方程 活动1：了解“盈不足术”与方程法的区别与联系 例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题： 原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四。问人数、物价各几何？ 译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多 出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合 伙人数、物品价格各是多少？ 《九章算术》中给出的“盈不足术”可以解释为: 人数 =（盈 + 不足）÷（两次出钱差） 物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数 物价=每人出的钱数×人数+不足的钱数 （1）利用盈不足术计算，你能理解这种解法吗? （2）你能用方程的求解过程解释这个计算公式 吗？与同伴进行交流 九章算术 周脾算经 孙子算经 算法统宗 任务二：对比古代算法与现代方程 活动2：对比古今方法 明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的问题： 1、原文：隔壁听得客分银，不知人数不知银 七两分之多四两，九两分之少半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语。） 请选择用“盈不足术”或方程的方法求解问题。 译文：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两。 问共有多少人？多少两银子？ 2、原文：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之， 绳多一尺。绳长井深各几何？ 译文：用绳子测井深，将绳子折成三等分，则多4尺；将绳子折成 四等分，则多一尺。问绳长、井深各多少尺？ 任务二：对比古代算法与现代方程 任务二 评价量规 得分 活动1： 了解“盈不足术” 1.了解盈不足术的解法 2.能用方程的求解过程解释“盈不足术”的计算公式 3.在小组讨论中能够积极发言。 3 活动2： 对比古今方法 1.能用“盈不足术”或方程的方法正确求解问题。 2.能在具体问题中感受“盈不足术”的局限性和方程法 的优势。 3.能够积极思考，认真完成任务。 3 任务二：对比古代算法与现代方程 任务三 评价量规 得分 1.找到两道题的等量关系 2.能独立或讨论完成两道题的解答 3.愿意和同学分享自己的观点并帮助他人。 3 任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题 任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题 1.某热门景区在十一假期期间为加快游客入园速度，配置了智能检票闸机。 若每台闸机 每小时可检票350人，开放 1小时后，仍有 4000人 在排队； 若每台闸机 每小时可检票400人，开放 1小时后，仍有 1000人 在排队。 该景区共配置了多少台检票闸机 2.某旅行社组织十一假期旅游团，需要安排游客乘坐大巴车前往景点。 如果每辆大巴车坐45名游客，则会多出2辆空车； 如果每辆大巴车坐30名游客，则会有15名游客没车坐。 共有多少名游客、多少辆大巴车？ 任务三 评价量规 得分 1.找到两道题的等量关系 2.能独立或讨论完成两道题的解答 3.愿意和同学分享自己的观点并帮助他人。 3 任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题 课堂小结 1.你学会了解决“盈不足”问题的哪些方法？ 2.如何用这些方法解决“盈不足”问题？ 3.你还有哪些困惑？ 设未知数， 根据相等关系列方程 抽象出数学模型 课堂小结 实际问题 一元一次方程 的应用 一元一次方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 一元一次方程 的解（x=a） 课堂小结 一元一次方程 一元一次方程 的解（x=a） 一元一次方程 的应用 2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买羊， 人出五， 不足四十五；人出七，不足三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 当堂检测 1.把一些图书分给阅读小组的学生阅读，如果每人分5本，则剩余3本；如果每人 分6本，则还 缺3本，求阅读小组的学生人数. 3.《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中有这样一道题，其大意为：今有100头鹿进 城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，求城中有多少户人家． 课后作业 基础性作业：《同步练习册》问题引学和基础巩固部分 拓展性作业：1.编一道 “盈不足” 类型的应用题，要求包含两种不同的分 配情境，并尝试解决自己编的题目，下节课与同学分享。 2.继续了解《九章算术》《孙子算经》等中国古代数学著作，从中发现还有 哪些方法适用于现在的学习解题中。 谢谢！ $