专题3 函数的概念、定义域及值域（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题3:函数的概念、定义域及值域 知识点一 函数的概念 (1)一般地,给定非空数集,,按照某个对应法则,使得中任意元素,都有中唯一确定的与之对应,那么从集合到集合的这个对应,叫做从集合到集合的一个函数.记作:,.集合叫做函数的定义域,记为,集合,叫做值域,记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法:函数书写方式为, (4)函数三要素:定义域、值域、对应法则. (5)同一函数:两个函数只有在定义域和对应法则都相等时,两个函数才相同. 知识点二 基本的函数定义域 求解函数的定义域应注意: (1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开方数大于或等于零: (3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零; (5)三角函数中的正切的定义域是且; (6)已知的定义域求解的定义域,或已知的定义域求的定义域,遵循两点:①定义域是指自变量的取值范围;②在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同; (7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域. 知识点三 基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是:当时,值域为; 当时,值域为. (3)的值域是. (4)且的值域是. (5)且的值域是. 知识点四 相等函数与分段函数 1、相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数. 2、分段函数:定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成,但它表示的是一个函数,各部分函数定义域不可以相交。 一、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数必须大于等于零,奇次方根的被开方数取全体实数. 3、零次幂的底数不能为零,即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的,那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示,若用区间表示熟记,不能用“或”连接,而应用并集符号“∪”连接。 二、抽象函数及定义域求法 1、已知的定义域为,求的定义域,其实质是的取值范围为,求的取值范围; 2、已知的定义域为,求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为,求的范围(值域),此范围就是的定义域. 3、已知的定义域,求的定义域,要先按(2)求出的定义域. 三、函数解析式的四种求法 1、待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),可用待定系数法. (1)确定所有函数问题含待定系数的一般解析式; (2)根据恒等条件,列出一组含有待定系数的方程; (3)解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决。 2、换元法:主要用于解决已知的解析式,求函数的解析式的问题 (1)先令,注意分析的取值范围; (2)反解出x,即用含的代数式表示x; (3)将中的x度替换为的表示,可求得的解析式,从而求得。 3、配凑法:由已知条件,可将改写成关于的表达式, 然后以x替代g(x),便得的解析式. 4、方程组法:主要解决已知与、、……的方程,求解析式。 四、求函数值域的7种常用求法 1、单调性法:如果一个函数为单调函数,则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域). (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则ymax=f(b),ymin=f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则ymax=f(a),ymin=f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. 2、图象法:作出函数的图象,通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域,以下函数常会考虑进行数形结合. (1)分段函数:尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域,但对于一些便于作图的分段函数,数形结合也可很方便的计算值域. (2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值,此时需将多个函数作于同一坐标系中,然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象,从而利用图象求得函数的值域. 3、配方法:主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法:换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体,并用新元t代替,将解析式化归为熟悉的函数,进而解出最值(值域). (1)在换元的过程中,因为最后是要用新元解决值域,所以一旦换元,后面紧跟新元的取值范围. (2)换元的作用有两个: ①通过换元可将函数解析式简化,例如当解析式中含有根式时,通过将根式视为一个整体,换元后即可“消灭”根式,达到简化解析式的目的. ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法:主要用于含有一次的分式函数, 形如或(,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法 以为例,解题步骤如下: 第一步,用分子配凑出分母的形式,将函数变形成的形式, 第二步,求出函数在定义域范围内的值域,进而求出的值域。 6、判别式法:主要用于含有二次的分式函数,形如: 将函数式化成关于x的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数y的取值范围,即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域,并且注意变形过程中的等价性。 另外,此种形式还可使用分离常数法解法。 7、导数法:对可导函数求导,令,求出极值点,判断函数的单调性: 如果定义域时闭区间,额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处; 如果定义域是开区间且函数存在最值,则函数最值一定取在极值点处。 考点一 函数的概念 【例1-1】函数y=f(x)的图象与直线的交点个数( ) A.至少1个 B.至多1个 C.仅有1个 D.有0个、1个或多个 【答案】B 【例1-2】(多选题)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是( ) A.,,,, B., C., D.,, 【详解】对于A中,集合中的任意一个元素,按某种对应法则,在集合中存在唯一的元素相对应,所以能构成从集合到集合的函数;对于B中,集合中的任意一个元素,按某种对应法则,在集合中存在唯一的元素相对应,所以能构成从集合到集合的函数; 对于C中,集合,当时,可得,所以不能构成从集合到集合的函数; 对于D中,集合中的任一元素,按,在集合有唯一的元素与之对应,所以能构成从集合到集合的函数.故选:ABD 【例1-3】(多选题)下列各组函数中表示同一个函数的是( ) A., B., C., D., 【详解】A中两个函数定义域都是,对应法则都是乘以2后取绝对值,是同一函数; B中两个函数定义域都是,对应法则都是取平方,是同一函数;C中定义域是,的定义域是,不是同一函数;D中的定义域是,的定义域是,不是同一函数.故选:AB. 【变式1】集合下列表示从到的函数是( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由集合,对于A中,若,则集合中任意元素,在集合中都有唯一的元素与之对应,所以可构成集合到的函数,符合题意; 对于B中,若,则集合中的元素,在集合中没有元素与之对应, 所以不能构成集合到的函数,不符合题意; 对于C中,若,则集合中的元素,在集合中没有元素与之对应, 所以不能构成集合到的函数,不符合题意; 对于D中,若,则集合中的元素,在集合中没有元素与之对应, 所以不能构成集合到的函数,不符合题意;故选:A. 考点二 求函数的定义域 【例2-1】函数的定义域为_. 【答案】【解析】对于函数,有,解得. 故函数的定义域为.故答案为:. 【例2-2】若函数的定义域为,则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 由于函数的定义域为,对于函数,有,解得. 因此,函数的定义域是.故选:B. 【例2-3】已知函数的定义域为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 由题意得:在上恒成立.即时,恒成立,符合题意, 时,只需,解得:,综上:,故选:C. 【变式2-1】函数的定义域为_. 【详解】由题意可知,而以2为底的对数函数是单调递增的, 因此,求解可得或.故答案为:. 【变式2-2】(1)已知函数的定义域为,则函数的定义域为_. (2)已知函数的定义域为,则函数的定义域为_. 【答案】 【解析】(1)令,则,因为函数的定义域为,所以, 所以函数的定义域为. (2)令,,则,.因为函数的定义域为,所以,所以函数的定义域为,所以,所以, 所以函数的定义域为. 【变式2-3】若函数的定义域为,则的取值范围是_. 【答案】【解析】函数的定义域为,即恒成立, 当时,符合题意;当时,有,解得.综上可得的取值范围是. 考点三 求函数解析式 【例3-1】已知函数是一次函数,满足,则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 设,代入列方程组求解即可. 【详解】设,由题意可知, 所以,解得或,所以或.故选:AD. 【例3-2】已知函数,则的解析式为( ) A. B. C. D. 令,则 ,所以,所以,选:A. 【例3-3】已知函数的定义域为,且,则( ) A. B. C. D. 【详解】令为,则,与联立可解得,.故选:D. 【变式3】已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是( ) A. B. C. D. 【详解】∵函数在上满足,用替换得: ,∴ ∴令,则,∴,即 ∴,∴,∴曲线在点处的切线方程是:,即.故选:C. 考点四 求函数值域 【例4-1】函数的值域为( ) A. B. C. D. 【详解】令,则且又因为, 所以,所以,即函数的值域为,故选:B. 【例4-2】已知函数的值域为R,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【详解】∵,又函数的值域为R, 【变式4-1】的值域为 【答案】【解析】设则, ,故函数的值域为.故答案为: 【变式4-2】函数的值域是_. 【详解】函数,当,由基本不等式得, 当且仅当,即时,等号成立,当时,由基本不等式得, 当且仅当,即时,等号成立,所以函数的值域为,故答案为. 【变式4-3】函数的值域是_. 【详解】解:,因为 所以函数的定义域为令,整理得方程: 当时,方程无解;当时,不等式整理得:解得:则,解得.故选:C. 【变式4-4】函数的值域是_. 【详解】由题意,因为,所以, 所以,所以函数的值域为,故答案为:. 【变式4-5】若函数的值域是,则_. 【答案】 【解析】因为函数的值域是,所以,解得.故答案为:. 考点五 分段函数 【例5】设函数,则( ) A.2 B.6 C.8 D.10 【详解】解:因为,所以,所以. 故选:B. 【变式5】(多选题)已知函数关于函数的结论正确的是( ) A.的值域为 B. C.若,则的值是 D.的解集为 【答案】 【解析】 当时,f(x)的取值范围是,当时,的取值范围是,因此的值域为,故正确;当时,,故错误;当时,由,解得(舍去),当时,由,解得 (舍去),故正确;当时,由,解得,当时,由,解得,因此的解集为,故错误.故选:. 1.若函数,则函数的最小值为( ) A. B. C. D. 【详解】因为,所以. 从而,当时,取得最小值,且最小值为.故选:D 2.(多选题)下面各组函数表示同一函数的是( ) A., B.(), C., D., 【答案】BC【详解】对于A,,,定义域和对应法则不一样,故不为同一函数;对于B,,,定义域和对应法则相同,故为同一函数;对于C,,,定义域和对应法则相同,故为同一函数;对于D,,,定义域不同,故不为同一函数;故选:BC 3.已知函数定义域为,则函数的定义域为 . 【答案】 4.若定义在的函数,满足,则曲线在点处的切线方程是_. 【详解】由题意,定义在的函数,满足,可得,即,将代入可得,可得,所以,可得,又由,所以曲线在点处的切线方程为,即切线方程为.故答案为:. 5.求下列函数的定义域和值域 (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7) (8); (9). 【答案】(1);(2);(3);(4)且;(5);(6);(7);(8);(9). 【详解】解:(1)分式函数,定义域为,故,所有, 故值域为;(2)函数中,分母,则,故值域为;(3)函数中,令得,易见函数和都是减函数,故函数在时是递减的,故时,故值域为; (4), 故值域为且; (5),而,, ,,即,故值域为; (6)函数,定义域为,令,所以,所以,对称轴方程为,所以时,函数,故值域为; (7)函数,定义域为,,故,即值域为;(8)函数,定义域为,故,所有,故值域为;(9)函数,令,则由知,,,根据对勾函数在递减,在递增,可知时,,故值域为. 第 9 页 共 9 页 学科网(北京)股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题3：函数的概念、定义域及值域 知识点一 函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 知识点二 基本的函数定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 知识点三 基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为； 当时，值域为． (3)的值域是. (4)且的值域是. (5)且的值域是. 知识点四 相等函数与分段函数 1、相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 2、分段函数：定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 一、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，奇次方根的被开方数取全体实数. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 二、抽象函数及定义域求法 1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围; 2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域. 3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域. 三、函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 四、求函数值域的7种常用求法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． （1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． （1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． （2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． （1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： 如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 考点一 函数的概念 【例1-1】函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【例1-2】（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（       ） A．，，，， B．， C．， D．，， 【例1-3】（多选题）下列各组函数中表示同一个函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】集合下列表示从到的函数是（ ） A． B． C． D． 考点二 求函数的定义域 【例2-1】函数的定义域为__________． 【例2-2】若函数的定义域为，则函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【例2-3】已知函数的定义域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的定义域为___________. 【变式2-2】（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【变式2-3】若函数的定义域为，则的取值范围是______． 考点三 求函数解析式 【例3-1】已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ） A． B． C． D． 【例3-2】已知函数，则的解析式为（       ） A． B． C． D． 【例3-3】已知函数的定义域为，且，则（       ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（       ） A． B． C． D． 考点四 求函数值域 【例4-1】函数的值域为（       ） A． B． C． D． 【例4-2】已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式4-1】的值域为 【变式4-2】函数的值域是_______． 【变式4-3】函数的值域是___________. 【变式4-4】函数的值域是________________. 【变式4-5】若函数的值域是，则______. 考点五 分段函数 【例5】设函数，则（       ） A．2 B．6 C．8 D．10 【变式5】（多选题）已知函数关于函数的结论正确的是(　　) A．的值域为 B． C．若，则的值是 D．的解集为 1.若函数，则函数的最小值为（       ） A． B． C． D． 2.（多选题）下面各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．（）， C．， D．， 3.已知函数定义域为，则函数的定义域为 　. 4.若定义在的函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________. 5.求下列函数的定义域和值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $