专题2 不等式（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题2：不等式 知识点一 等式的基本性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点三 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} · 恒成立问题 不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k · 分式不等式 （1） （2） （3） （4） · 绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 知识点四 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. · 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求 最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 一、比较两数（式）大小的方法 1、作差法： （1）原理：设，则；；； （2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。 （3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形。 2、作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。 二、利用待定系数法求代数式的取值范围 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 三、解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 四、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 五、分式、高次、绝对值不等式的解法 1、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 2、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 六、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(建立两和与两平方和的不等关系式) ②(建立两积与两平方和的不等关系式) ③(建立两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 七、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 八、不等式恒成立与能成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 考点一 不等式性质的应用 【例1-1】已知，则（ ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【答案】A【解析】因为，所以，故. 【变式1-1】已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（ ） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 【答案】B【解析】，所以. 【例1-2】知，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】设，所以， 则，又，所以，， 由不等式的性质得：，则的取值范围为.故选：D. 【变式1-2】设，，，，求的取值范围是______． 【答案】【解析】令，则，解得. ∵，，∴．即，所以的取值范围是 考点二 解一元二次不等式 【例2-1】已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由，即，解得，所以， 由，解得或，所以或，所以， 所以.故选：A 【变式2-1】解不等式： （1）； （2）； （3）. （4） 【答案】（1）；（2）；（3）（4） 【解析】（1）可化为，即，解得， ∴原不等式的解集为. （2）， ∴原不等式的解集为. （3） ∴原不等式的解集为. （4），即，即，则，根据穿根法解得，故答案为：. 【例2-2】解下列关于的不等式． 【解析】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为， 若，即时，解集为或；若，即时，解集为； 若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或. 【例2-3】已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D【解析】不等式的解集为，则方程的两根为和3， 所以，解得，不等式为，即，或．故选：D． 【变式2-2】若关于x的不等式的解集为，则ab＝________. 【答案】24【解析】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知：，或为方程的两个根，即，∴. 考点三 基本不等式 【例3-1】下列命题中正确的是（ ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B【解析】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到， 所以，故A错误；选项B，当时，，， 当且仅当时等号成立，故B正确；选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误.故选：B 【例3-2】已知，则的最大值为 . 【答案】【解析】，， 当且仅当，即时等号成立.故答案为：. 【例3-3】若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A 【例3-4】（多选题）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为2 D．的最大值为4 【答案】AC【解析】对于A项，因为，，，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，所以，故A正确；对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误；对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，的最小值为4，故D不正确.故选：AC. 【变式3-1】（多选题）下列结论正确的是（ ） A．当且时， B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，无最小值 【答案】BD 【解析】对于A选项，当时，，则，A错；对于B选项，当时，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；对于C选项，因为函数在上为增函数，所以，当时，的最小值为，C错；对于D选项，因为函数、在上均为增函数，故当时，无最小值，D对.故选：BD. 【变式3-2】（1）已知，求函数的最大值. （2）已知，求函数的最大值. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）因为，所以，则有， 当且仅当，即时，等号成立，因为，所以函数的最大值为.（2）因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号，故函数的最大值为 1. 【变式3-3】已知正数x、y满足，求的最小值为_________. 【答案】/ 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.故答案为：. 考点四 恒成立问题或能成立问题 【例4-1】正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】【解析】因为不等式恒成立，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得.故答案为： 【例4-2】已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 【答案】D【解析】当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足，解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2，故选：D 【变式4-1】已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 9 ． 难【变式4-1】已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】【解析】当时，不成立，所以. 由得.因为，，所以，解得，即. 所以，令，则，于是.令，，则.由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.所以，即的最大值为.故答案为：. 【变式4-2】不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】【解析】∵不等式的解集为，∴恒成立.①当，即时，不等式化为，解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意，要使，只需且，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为： 【变式4-3】不等式在上有解，则实数的取值范围是________. 解析： 因为不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，则，所以 1.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ C ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 2.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（       ） A． B．1 C．2 D．8 【详解】的解集为，则的两根为，，∴，∴，，则，即，，当且仅当时取“=”，故选：C. 3.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故因为，所以由基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为 故选：D 4.（多选题）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC【详解】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，所以，B选项不正确；对于C选项，所以，C选项正确；对于D选项，所以，D选项不正确；故选：AC. 5.（多选题）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确. 对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确. 对于D选项，，当且仅当，即无解，故D不正确.故选：BC. 6.已知，，且，则的最小值为____________. 【详解】 当且仅当，即时取等号即的最小值为. 故答案为：. 7．不等式的解集为_____________. 【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.故答案为： 8．若，则的最小值为____________． 【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 9.若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____ 【详解】由题意得应满足解得：或. 故答案为：或. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题2：不等式 知识点一 等式的基本性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 知识点二 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点三 一元二次不等式的解集 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} · 恒成立问题 不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k · 分式不等式 （1） （2） （3） （4） · 绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 知识点四 基本不等式 1、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. · 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求 最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 3、利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 一、比较两数（式）大小的方法 1、作差法： （1）原理：设，则；；； （2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。 （3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形。 2、作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。 二、利用待定系数法求代数式的取值范围 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围。 三、解一元二次不等式的步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 四、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 五、分式、高次、绝对值不等式的解法 1、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 2、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 六、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(建立两和与两平方和的不等关系式) ②(建立两积与两平方和的不等关系式) ③(建立两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算术平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 七、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 八、不等式恒成立与能成立问题 一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： 1、， 2、， 3、， 4、， 考点一 不等式性质的应用 【例1-1】已知，则（ ） A． B． C． D．与的大小无法判断 【变式1-1】已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（ ） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 【例1-2】知，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】设，，，，求的取值范围是______． 考点二 解一元二次不等式 【例2-1】已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】解不等式： （1）； （2）； （3）. （4） 【例2-2】解下列关于的不等式． 【例2-3】已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】若关于x的不等式的解集为，则ab＝________. 考点三 基本不等式 【例3-1】下列命题中正确的是（ ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【例3-2】已知，则的最大值为 . 【例3-3】若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【例3-4】（多选题）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为2 D．的最大值为4 【变式3-1】（多选题）下列结论正确的是（ ） A．当且时， B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，无最小值 【变式3-2】（1）已知，求函数的最大值. （2）已知，求函数的最大值. 【变式3-3】已知正数x、y满足，求的最小值为_________. 考点四 恒成立问题或能成立问题 【例4-1】正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【例4-2】已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 【变式4-1】已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【变式4-2】不等式的解集为，则的取值范围是 . 【变式4-3】不等式在上有解，则实数的取值范围是________. 1.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 2.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（       ） A． B．1 C．2 D．8 3.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 4.（多选题）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5.（多选题）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 6.已知，，且，则的最小值为____________. 7．不等式的解集为_____________. 8．若，则的最小值为____________． 9.若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____ 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $