专题4 函数的基本性质（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题4：函数的基本性质 知识点一 函数的单调性 1、函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，区间DI,如果∀x1，x2∈D，当时，都有 ＜ ＞ 函数在区间D上是增函数 函数在区间D上是减函数 图像特征 函数在区间D的图像从左到右是上升的 函数在区间D的图像从左到右是下降的 图像 2、单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7） 复合函数的单调性：同增异减 对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点二 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性（定义域关于原点对称！！） 偶函数 奇函数 定 义 条件 对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) f(－x)＝-f(x) 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点三 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点四 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． · 若函数为偶函数，则函数关于对称． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． · 若函数为奇函数，则函数关于点对称． 知识点五 周期性与对称性的重要结论 1、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 2、周期性技巧 一、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 二、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 三、判断函数单调性的方法 1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性； 2、导数法：对函数求导→确定导数的符号→得出结论（导数大于零，函数为增；导数小于零，函数为减）； 3、图像法：根据函数图象的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）； 4、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过带入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般用于客观题）； 5、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）得来的函数单调性（一般用于客观题）。 四、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 五、常见奇、偶函数的类型 1、（）为偶函数； 2、（）为奇函数； 3、（）为奇函数； 4、（）为奇函数； 5、（）为奇函数； 6、为偶函数； 7、为奇函数； 考点一 函数的单调性 【例1-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【例1-2】已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，又所以，且，所以当时，；当时，，所以由可得或或， 解得或，即不等式的解集为．故选：C. 【例1-3】已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】对任意的实数，都有,即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得， 【例1-4】已知函数. （1）求的解析式; （2）判断并证明函数在上的单调性. 【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析【解析】（1）由题意得,解得, .（2）在上单调递增,证明如下:设任意, 则由,得,,即,故在上单调递增. 【变式1-1】已知是定义在上的奇函数，，若，且满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，且满足，则在上单调递增， 因为是定义在R上的奇函数，且，则，在上单调递增， 由，得，当时，由，得，当时，由，得，所以原不等式的解集为.故选：A 【变式1-2】已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得.故选：D 【变式1-3】已知函数 (且)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为 (且)是R上的单调函数，若是R上的单调递增函数，则，解得；若是R上的单调递减函数，则，解得；综上，a的取值范围是.故选：B 考点二 函数的奇偶性 【例2-1】下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】A选项：，不是奇函数，故A选项错误；B选项：，不是奇函数，故B选项错误；C选项：因为的定义域为， 且，∴是奇函数．设，因为在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性知，在上单调递减，故C选项正确；D选项：，因为在上都单调递增，所以在上单调递增，故D选项错误，故选：C． 【例2-2】若函数为奇函数，则实数的值为（       ） A．1 B．2 C． D． 由为奇函数，所以，所以，可得，解得，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域为符合题意，故选：D 【变式2-1】函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【解析】由函数的定义域可得，则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C. 【变式2-2】“”是“函数是奇函数”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当函数为奇函数，则，解得.所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A. 【变式2-3】若函数是偶函数，则（       ） A．-1 B．0 C．1 D． 由已知，，所以，函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.故选：C. 【变式2-4】分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（       ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D．的最小值为1 【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.对于A：，故A正确；对于B：，所以不可能单调递减，故B错误；对于C：根据偶函数定义可得，所以为偶函数，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确；选：B 【变式2-5】已知定义在上的奇函数满足，且当时，. (1)求和的值； (2)求在上的解析式. 【答案】(1)满足，，. (2)由题意知，.当时，.由是奇函数， ，综上，在上， 考点三 函数的对称性与周期性 【例3】定义在R上的函数满足，且当，则＝ ． 【答案】/0.25【解析】由可得，所以， 故为周期函数，且周期为8，，故答案为： 【变式3-1】已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 【详解】由可得2是函数的周期，因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以，，所以是奇函数，故选：C. 【变式3-2】已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（       ） A．2021 B． C．2022 D． 【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；所以.故选：C. 【变式3-3】已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因此函数的周期为，所以，又函数是上的奇函数，所以，所以，即，所以原式，又当时，，可得，因此原式.故选：B． 1.已知函数，不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B. 2.若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： 选：B 3.已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(       ) A．0 B．10 C． D． 【详解】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，∴设g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上为奇函数，∴，∴，∴，.故选：C. 4.已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ） A．2025 B．-2025 C．2026 D．-2026 【详解】因为对任意，都有 令 得 解得 则 即 所以函数的图象关于直线对称. 又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以 所以 所以8是函数的一个周期， 所以 故选：D. 5.（多选题）下面关于函数的性质，说法正确的是（       ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心 【详解】解：由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为关于对称，所以关于对称，故D正确；函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；函数在和上单调递减，故C错误； 故选：AD 6.（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（       ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点 【详解】因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，故，即的一个周期为12，故A项错误；又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．故选：BC项． 7.已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________． 定义在R上函数的图象关于原点对称，则，解之得，经检验符合题意均为R上增函数，则为R上增函数，又， 则不等式等价于，解之得故答案为： 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题4：函数的基本性质 知识点一 函数的单调性 1、函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，区间DI,如果∀x1，x2∈D，当时，都有 ＜ ＞ 函数在区间D上是增函数 函数在区间D上是减函数 图像特征 函数在区间D的图像从左到右是上升的 函数在区间D的图像从左到右是下降的 图像 2、单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7） 复合函数的单调性：同增异减 对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点二 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性（定义域关于原点对称！！） 偶函数 奇函数 定 义 条件 对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) f(－x)＝-f(x) 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点三 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点四 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． · 若函数为偶函数，则函数关于对称． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． · 若函数为奇函数，则函数关于点对称． 知识点五 周期性与对称性的重要结论 1、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 2、周期性技巧 一、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 二、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 三、判断函数单调性的方法 1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性； 2、导数法：对函数求导→确定导数的符号→得出结论（导数大于零，函数为增；导数小于零，函数为减）； 3、图像法：根据函数图象的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）； 4、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过带入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般用于客观题）； 5、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）得来的函数单调性（一般用于客观题）。 四、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 五、常见奇、偶函数的类型 1、（）为偶函数； 2、（）为奇函数； 3、（）为奇函数； 4、（）为奇函数； 5、（）为奇函数； 6、为偶函数； 7、为奇函数； 考点一 函数的单调性 【例1-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【例1-2】已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例1-3】已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例1-4】已知函数. （1）求的解析式; （2）判断并证明函数在上的单调性. 【变式1-1】已知是定义在上的奇函数，，若，且满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数 (且)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点二 函数的奇偶性 【例2-1】下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【例2-2】若函数为奇函数，则实数的值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-1】函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式2-2】“”是“函数是奇函数”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】若函数是偶函数，则（       ） A．-1 B．0 C．1 D． 【变式2-4】分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（       ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D．的最小值为1 【变式2-5】已知定义在上的奇函数满足，且当时，. (1)求和的值； (2)求在上的解析式. 考点三 函数的对称性与周期性 【例3】定义在R上的函数满足，且当，则＝ ． 【变式3-1】已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 【变式3-2】已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（       ） A．2021 B． C．2022 D． 【变式3-3】已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（       ） A． B． C． D． 1.已知函数，不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 2.若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(       ) A．0 B．10 C． D． 4.已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ） A．2025 B．-2025 C．2026 D．-2026 5.（多选题）下面关于函数的性质，说法正确的是（       ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心 6.（多选题）已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（       ） A．的一个周期为6 B．在区间上单调递减 C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点 7.已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $