精品解析：河南省南阳市方城县百师联盟2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025年-2026学年度高二9月联考 数学试题 考试时间120分钟， 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的斜率为2，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示圆，则实数的值可以为（ ） A. 29 B. 25 C. 16 D. 41 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 8. 已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. （为坐标原点）的最小值为 D. 的最小值为3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，若，则实数的值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 1 10. 已知圆和直线，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为2的点有4个 C. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 D. 存在实数，使得直线与圆相切 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个法向量为且过点，则直线的一般式方程为____________. 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 14. 圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线不经过第三象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 16. 根据下列条件求椭圆的标准方程. （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2）一个焦点为，过点； （3）短轴长为2，离心率. 17. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 18. 已知的三个顶点分别是. （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）若直线过点，且点、到直线的距离相等，求直线的方程； （3）求的面积. 19. 已知点和以点为圆心的圆. （1）设倾斜角为的直线与圆交于两点，求弦的长； （2）设以为直径的圆为圆，求圆的方程； （3）设圆与圆相交于两点，直线是圆的切线吗？为什么？ （4）求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年-2026学年度高二9月联考 数学试题 考试时间120分钟， 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的斜率为2，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程、一般式方程进行求解即可. 【详解】因为直线的斜率为2，且过点， 所以直线的点斜式方程为，化成一般式为， 故选：B 2. 设直线的倾斜角为，斜率为.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由直线的斜率与倾斜角的关系，得.因为，即， 又，所以的取值范围是， 故选：C. 3. 若方程表示圆，则实数的值可以为（ ） A. 29 B. 25 C. 16 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】将方程转化为，由求解. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得， 检验四个选项，只有C选项满足. 故选：C. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程，知， 所以，，， 所以， 由椭圆的定义，得， 所以的周长. 故选：D. 5. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示： 所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得， 因为是直角，所以在中，由勾股定理，得， 即，所以椭圆的离心率. 故选：B 7. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 8. 已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. （为坐标原点）的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D. 【详解】因为点在直线上，所以设. 对于A，因为点， 所以直线的方向向量分别为，. 若，则，即，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故A正确. 对于B，由，， 得，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故B正确. 对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确. 对于D，因为点，所以线段的方程为，. 在中，令，解得， 所以点不在线段上，即点在直线的同侧. 设点关于直线的对称点为， 则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为. 由题意，得，解得， 所以，即的最小值为，故D错误， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，若，则实数的值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件列式，求出的值即可. 【详解】由题意得，化简得， 解得或. 故选：AC. 10. 已知圆和直线，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为2的点有4个 C. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 D. 存在实数，使得直线与圆相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；进而利用勾股定理求得弦长，可判断A选项；利用圆上的点到直线的距离的取值范围可判断B选项；利用圆心到直线的距离可判断CD选项. 【详解】圆的一般方程， 则圆的标准方程为， 圆心为，半径， 圆心到直线的距离. 选项A，当时，圆心到直线的距离，如下图所示： 所以弦长为，故A正确； 选项B，由A选项的分析知，当时，，直线与圆相交， 所以圆上的点到直线的距离的取值范围为， 因为，所以圆上存在4个到直线的距离为2的点，故B正确； 选项C，若直线与圆有公共点，则，即， 所以，解得， 所以若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为，故C错误； 选项D，当直线与圆相切时，由C选项的分析可知，或， 因此，存在这样的实数b，故D正确. 故选：ABD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由是等腰直角三角形分成是直角与是直角两种情形，结合条件和图形，建立的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方， 因，则， 又是等腰直角三角形，所以直角只能是或. ①如图1，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得，解得（舍去）. ②如图2，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得， 解得（舍去），故. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个法向量为且过点，则直线的一般式方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据法向量设其方程，再将点代入即可求出. 【详解】因为直线的一个法向量为，所以可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆的切线的几何性质及四边形面积公式可得四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值，再由点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意，得圆的半径为4，， 所以， 四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值， 由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离， 因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8. 故答案为：8 14. 圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件确定圆D与圆C相外切，确定圆心D的坐标及圆D的半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆的标准方程为， 则圆心，半径，圆C过原点. 因为圆与圆相切于坐标原点，且过点， 所以圆与圆相外切，圆心是线段的垂直平分线与直线的交点. 直线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，所以， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）若直线不经过第三象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点，再结合图形求出的范围. （2）根据给定条件，确定点到直线的距离取最大值的条件，再利用直线点斜式方程求解. 【小问1详解】 直线的方程为，因此直线恒过定点， 由直线不经过第三象限，得，所以的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，取得最大值， 直线的斜率，此时直线的斜率， 直线的方程为，即， 所以当最大时直线的一般式方程为. 16. 根据下列条件求椭圆的标准方程. （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2）一个焦点为，过点； （3）短轴长为2，离心率. 【答案】（1） （2）. （3）或. 【解析】 【分析】（1）由题意确定椭圆焦点位置，建立的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）由题意确定椭圆焦点位置，建立的方程组，求解即得椭圆的方程； （3）先根据条件求出，再按焦点在轴和轴上分两种情况，即可求得椭圆方程. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为， 因为椭圆过点，离心率， 则有， 解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因椭圆的一个焦点在轴上，且， 可设椭圆的标准方程为， 由点在椭圆上，代入可得 又，联立解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 由题意知，联立解得 故当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为， 故椭圆的标准方程为或. 17. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 【答案】不会有触礁危险 【解析】 【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为，则可得暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程和轮船航线所在直线的方程，然后判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系． 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，则圆心，半径为2， 轮船航线所在直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离， 所以直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 18. 已知的三个顶点分别是. （1）求边上的高线所在直线的方程； （2）若直线过点，且点、到直线的距离相等，求直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求出过点与直线平行或过边的中点的直线方程即可. （3）求出边长，再求出点到直线的距离即可求出三角形面积. 【小问1详解】 由，得直线的斜率为， 又是边上的高线，则直线的斜率为，而， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由点、到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，直线的斜率， 则直线的斜率为，而直线过点， 因此直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，得边的中点， 又，则直线的斜率， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 由点，得， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 点到直线的距离， 所以的面积. 19. 已知点和以点为圆心的圆. （1）设倾斜角为的直线与圆交于两点，求弦的长； （2）设以为直径的圆为圆，求圆的方程； （3）设圆与圆相交于两点，直线是圆的切线吗？为什么？ （4）求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）直线是圆的切线，理由见解析 （4）. 【解析】 【分析】（1）根据斜率和点，即可根据点斜式求解直线方程，根据弦长公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求半径即可求得圆的方程； （3）根据是直径，由直径所对的圆周角即可求解； （4）两圆方程相减即可求解. 【小问1详解】 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为，所以直线的方程为，即， 由圆的方程，知圆心，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 圆的半径， 所以圆的方程为； 【小问3详解】 直线是圆的切线， 因为是圆的直径，点是圆上的两点，所以， 因为点是圆上的两点，所以直线是圆的切线. 【小问4详解】 因为圆的方程为，即①； 圆的方程为，即②， 方程②-①，得， 且与圆相交，所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $