精品解析：山东省济南市育英中学2025-2026学年上学期9月开学考九年级数学试题

济南育英教育集团九年级开学测试数学试题 一．选择题 1. 下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，若，则称四条线段是成比例线段；由比例的基本性质可知，这等价于，依次验证各选项即可． 【详解】解：∵成比例线段满足 A、，，，不成比例，不符合题意； B、，，，不成比例，不符合题意； C、，，，不成比例，不符合题意； D、，，，成比例，符合题意． 故选：D． 2. 若ac=bd(ac≠0)，则下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质、合比性质，等式的性质对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】A.转换为等积式是ad=bc，和已知不一致，故该选项不符合题意， B.，根据比例的基本性质得abd=acd，b=c，和已知不符合，故该选项不符合题意， C.若ac=bd，则，根据比例的合比性质，得，故该选项符合题意， D.若ac=bd，则，根据等式的性质得，故该选项不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例式和等积式的互相转化、合比性质及等式的性质是解题关键. 3. 在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（ ） A. 0.585 km B. 5.85 km C. 58.5 km D. 585km 【答案】C 【解析】 【分析】由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离． 【详解】解：设这两城市的实际距离是厘米， 由题意得，， 解得：， ， 故选：． 【点睛】本题考查比例尺的定义，属于基础题型． 4. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 5. 如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得：，，从而可得，，分别根据相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 6. 如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论． 【详解】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为， ∵小长方形与原长方形相似， 故选B． 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　） A. B. C. 18 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，设，则，，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接． ∵菱形菱形， ∴，， ∴是等边三角形， 设，则，， ∴， ∵， ∵， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或2（舍弃）， ∴， 故选：C． 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据相似三角形的判定方法对每个条件进行分析，从而获得答案． 【详解】①，， ∴． ②∵，， ∴； ③∵， ∴， 又∵， ∴； ④∵， ∴，是的最短边，是的最长边，和不是对应边，不能判定与相似； 所以①②③能判定，④不能． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出，，求出，证明垂直平分，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明垂直平分，得出． 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用合比的性质解决问题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例线段，合比的性质等知识，解题的关键是掌握合比的性质，属于中考常考题型． 12. 如图，四边形四边形，则______． 【答案】##83度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理． 根据相似多边形对应角相等以及内角和为计算即可． 【详解】四边形四边形， ， 四边形内角和为， ， 故答案为：． 13. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 【答案】##1.2## 【解析】 【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】∵ABGH， ∴△CGH∽△CAB， ∴=，即=①， 同理=，即=②， ①+②，得+=+==1， ∴+=1， 解得GH=． 故答案为． 14. 如图，是的中线，点是线段上的一点，且，交于点．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AG∥BC交CF的延长线于G，根据平行即可证出△AGE∽△DCE，△AGF∽△BCF，列出比例式，根据已知条件即可求出AB． 【详解】解：过点A作AG∥BC交CF的延长线于G，如下图所示 ∴△AGE∽△DCE，△AGF∽△BCF ∴， ∵ ∴ ∴ ∵是的中线， ∴ ∴ ∴ 解得：cm ∴AB=AF＋BF=10cm 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握构造相似三角形的方法是解决此题的关键． 15. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】如图： 由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：16． 16. 如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的一半，若，三角形移动的距离是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及相似三角形，根据平移得到相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：设与交于点， 沿边平移到的位置， 平行于， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，点E是菱形的边的中点，点F是上的一点，点G是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点D落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点A的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点B的对应点落在上．若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作延长线于点H，设菱形的边长为，设，根据勾股定理可得，然后根据，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点C作延长线于点H， ∵四边形是菱形， ， ， ∴， 设菱形的边长为， ， ， 设， 则， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得， ，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题 18. 如图，，，，，，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先整理边的关系，得结合，则，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴． 19. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm，AB=4cm，求AD的长. 【答案】cm 【解析】 【详解】试题分析： 由∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD 可证得△ABC∽△ADB，由此可得，结合AB=4cm，AC=5cm即可求得AD的长. （2）试题解析： ∵在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD， ∴△ABC∽△ADB， ∴， ∴AC·AD=AB2， 又∵AB=4cm，AC=5cm， ∴5AD=16cm， ∴AD=cm. 故答案为：cm. 20. 如图，中，，，，，，求和长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段此比例定理即可得到的长，证明，即可求得的长，证明，利用相似三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 21. 中，，交于． （1）求证：； （2），求． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， 平行于， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定： （1）利用平行四边形的性质得到相似； （2）利用相似三角形得到相似比即可算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，AP＝cm或20cm 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可； （2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； 【小问2详解】 解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，若，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】在上取一点，使，连接，先证明，接着证明，得到，又因为中，可算得，从而算得，然后证明，那么有，从而算得，最后求得． 【详解】解：在上取一点，使，连接，如图所示： 三角形是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去负值）， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，三角形外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. （1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到证明三角形全等即可； （2）过点作于点，利用勾股定理和正方形的性质证明四边形是矩形，进而证明出，再求出比例即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， 四边形是矩形，且，， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 25. 【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； （3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积． 【答案】 （1）．理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴； ∵点为的中点，过点作，交于， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）；理由如下： 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）证明，均为等边三角形，证明，即可得； （2）证明，均是等腰直角三角形，证明，即可得； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， 如图，当三点共线时，作交的延长于点， 由旋转的性质知， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当三点共线时，作于点， 同理，，， ∴， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南育英教育集团九年级开学测试数学试题 一．选择题 1. 下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A. B. C. ，， D. ，，， 2. 若ac=bd(ac≠0)，则下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 3. 在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（ ） A. 0.585 km B. 5.85 km C. 58.5 km D. 585km 4. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　） A. B. C. 18 D. 16 9. 如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （ ）． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ） A. B. C. D. 6 11. 已知，则________． 12. 如图，四边形四边形，则______． 13. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___． 14. 如图，是的中线，点是线段上的一点，且，交于点．若，则_________． 15. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为______． 16. 如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的一半，若，三角形移动的距离是_____． 17. 如图，点E是菱形的边的中点，点F是上的一点，点G是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点D落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点A的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点B的对应点落在上．若，，则的值为________． 三．解答题 18. 如图，，，，，，求的长． 19. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm，AB=4cm，求AD的长. 20. 如图，中，，，，，，求和长． 21. 中，，交于． （1）求证：； （2），求． 22. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 23. 在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，若，求的长． 24. （1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 25. 【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； （3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $