精品解析：陕西省西安市西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学大练习（一） （分值：120分 时长：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 2. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率为， 故选：． 3. 两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的周长比得到面积的比，进而得解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是， ∴两个相似多边形的相似比是， ∴两个相似多边形的面积比是， ∵小多边形的面积为， ∴较大多边形的面积为， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形得到，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ，则， 在中，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵点D、E分别在边、上，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴，故C正确； 与不一定相似，故D不正确； 故选：D． 8. 如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质与判定，关键是判定，推出． 过E作于M交于N，由正方形的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，求出，得到，由勾股定理求出，得到，因此． 【详解】解：过E作于M，交于N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 10. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，经过大量重复实验，发现摸到白球的频率稳定在0.40左右，已知袋子里白球有20个，根据此信息，可估计m的值为________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式求出球的总个数即可解题． 【详解】解：， 故答案为：50． 11. 如图，在直角坐标系中，菱形的边在x轴负半轴上，O为坐标原点，点A，B都在第二象限内，点A的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可知，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 故答案为：． 13. 在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为______． 【答案】8或16##16或8 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，分为当点D在边AB上与当点D在边AB的延长线上去分析，由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的长． 【详解】解：如图①，当点D在边上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 如图②，当点D在边的延长线上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ∴的长为8或16． 故答案为：8或16． 14. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 _________________ 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可先证得是等边三角形，过点作于点，当点，，在一条直线上，此时最短，可求得和的长，进而得出的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是等边三角形， ，， ∵在平行四边形中，，，， ， 是等边三角形，， ，是等边三角形， 为中点， ，为中点， ， ， ， 当点在线段上时，此时最短，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，判断出当点，，在一条直线上，最短是解题的关键． 三、解答题（共12小题，78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据算术平方根、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则化简，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ， ， ，． 17. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图—线段的垂直平分线以及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握知识点．作线段的垂直平分线交于点，连接，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴． 19. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒2》和《唐探》深受观众喜爱．甲、乙、丙3人从这2部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒2》的概率是______． （2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择《哪吒2》的结果有1种，再利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲，乙，丙3人选择同1部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择《哪吒2》的结果有1种， 甲选择《哪吒2》的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：将电影《哪吒2》和《唐探》分别记为， 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲，乙，丙3人选择同1部电影的结果有2种， 甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率为， 答：甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率为． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB． 【答案】 证明：在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠BED，∠ADE=∠B， ∴∠DEB=∠ADC， 在△ADC和△DEB中，∠ADC=∠DEB，∠C=∠B， ∴△ADC∽△DEB． 【解析】 【分析】根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若,是方程的两个根, 则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个的实数根, 可知方程的判别式，据此列不等式即可求解； （2） 根据根与系数的关系得出，代入中即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； 【小问2详解】 ∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 22. 已知 是的三边长，且， 求： （1）的值． （2）若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【答案】（1） （2）,是直角三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【小问1详解】 解：， 设，，， ； 【小问2详解】 解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 23. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ∴， ， ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 24. 某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？ 【答案】每件文化衫应降价3元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫应降价元，根据“月获利恰好为8400元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每件文化衫应降价元， 根据题意，列方程得， 整理，得， 解得，， 当时，销售量为1400件，而，故（舍去）； 当时，销售量为1200件，而，故， 答：每件文化衫应降价3元． 25. 已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果四边形为矩形，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由矩形的性质可，进而得出，结合O为对角线的中点得出，即，即可得出四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 【答案】（1） 证明：如图1，与都是等边三角形， ， ， ． 又，， ， ； （2）， 理由：如图2，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴； （3）正方形ADBC的边长为． 【解析】 【分析】（1）易证∠BAP＝∠CAQ，根据AB＝AC，AP＝AQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出，易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，可得∠ABC＝∠ACQ； （3）连接AB、AQ，由正方形的性质得出，∠BAC＝45°，，∠PAQ＝45°，易证∠BAP＝∠CAQ，则可得△ABP∽△ACQ，根据相似三角形的性质求出BP＝4，设PC＝x，则BC＝AC＝4＋x，在Rt△APC中，利用勾股定理列方程求出x，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接，， 正方形， ，， 又为正方形的中心， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， ， 边长. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学大练习（一） （分值：120分 时长：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 5. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 7. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交于点F．已知，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知，则的值为________． 10. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，经过大量重复实验，发现摸到白球的频率稳定在0.40左右，已知袋子里白球有20个，根据此信息，可估计m的值为________． 11. 如图，在直角坐标系中，菱形的边在x轴负半轴上，O为坐标原点，点A，B都在第二象限内，点A的坐标为，则点B的坐标为________． 12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为________． 13. 在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为______． 14. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 _________________ 三、解答题（共12小题，78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 19. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒2》和《唐探》深受观众喜爱．甲、乙、丙3人从这2部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒2》的概率是______． （2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 22. 已知 是的三边长，且， 求： （1）的值． （2）若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 23. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 24. 某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？ 25. 已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果四边形为矩形，，，求的长． 26. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP CQ； （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，ABBC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP PQ，APQ ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $