4.2.3 定理,推论 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕三角形外角和定理、命题与逆命题及证明步骤展开，通过具体三角形外角和计算导入，联系内角和定理，经探究到一般证明形成推论，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于“探究-证明-应用”螺旋设计，以三角形外角和推导培养推理能力（数学思维），规范证明步骤（画图、已知求证、证明过程）强化模型意识（数学语言）。课堂小结梳理知识框架，助力学生构建逻辑体系，教师可借练习巩固，提升教学效率。

【湘教版·八年级数学上册】 4.2.3 定理,推论 古希腊数学家欧几里得 他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 新课导入 我们把少数真命题作为基本事实. 两点确定一条直线 两点之间直线最短 基本事实 同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 推进新课 基本事实： 我们把经过证明为真的命题叫作定理. “三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”. 不是所有的真命题都是定理. 推论：由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论. 判断其他命题真假的依据 定理： “三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° ∠3 + ∠4 = 180° ∠1 + ∠2 = ∠4 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论” （三角形外角定理） 1. “直角三角形的两个锐角互余”是（ ） A.定义 B.假命题 C.基本事实 D.定理 D 试一试 猜测：三角形的三个外角之和等于360°. 想一想：三角形的内角和等于180°，外角和等于多少？ 如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF是△ABC的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 因为∠ACE = 180°－ 40°= 140°， ∠CBD = 180°－ 60°= 120°， ∠BAF = 180°－ 80°= 100°. 所以∠ ACE +∠CBD +∠ BAF = 140°+120°+100°= 360°. 任意三角形的三个外角之和都等于360°吗？ 如图，△ABC 的三个外角分别为∠BAF，∠CBD和∠ACE. 证明 因为 ∠BAF = 180°－∠BAC ， ∠CBD = 180°－∠ABC ， ∠ACE = 180°－∠ACB， 所以 ∠ ACE +∠CBD +∠ BAF =(180°－∠BAC )+(180°－∠ABC )+(180°－∠ACB) =540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB) =540°－180° =360°. 想一想：三角形的内角和等于180°，外角和等于多少？ 推论：三角形的外角和等于 360°. 判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假. 解：原命题是真命题. 它的逆命题是“同位角相等，两直线平行” 逆命题是真命题. 总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 平行线的性质定理1 平行线的判定定理1 判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理． 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 例题 5 分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知： 如图，在△ABC中，∠B = ∠ C，AE是外角∠ CAD的平分线. 求证： AE // BC. 证明 根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得， ∠CAD = ∠B +∠C. 又∠B = ∠C， 于是∠CAD = 2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD = 2 ∠DAE， 从而2 ∠B = 2 ∠DAE， 即∠B = ∠DAE. 所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）. 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步 画出图形 根据命题的条件题意 第二步 写出已知、求证 根据命题的条件和结论，结合图形 第三步 写出证明的过程 通过分析，找出证明的途径 1. 证明：如图，在四边形ABCD中，如果∠A + ∠B = 180°，那么∠C + ∠D = 180°. 随堂演练 【课本P102 练习 第1题】 证明：因为∠A +∠B = 180° （已知）， 所以 AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）. 所以 ∠C +∠D = 180° （两直线平行，同旁内角互补）. 2. 如图，直线AB，CD被直线MN所截，且∠1=∠2. 求证：∠3+∠4=180°. 证明： 因为 ∠1=∠2， 所以 ∠3 +∠4 = 180° （两直线平行, 同旁内角互补）. 所以 AB∥CD （同位角相等，两直线平行）， 【课本P102 练习 第2题】 4. 已知：如图，线段AB 与 CD 相交于点 E. 求证：∠A +∠C =∠B +∠D. 证明：因为 AB 与 CD 相交于点 E， 所以∠AEC =∠BED (对顶角相等). 又 因为∠A +∠C +∠AEC =∠B +∠D +∠BED = 180° （三角形内角和定理）， 所以∠A +∠C =∠B +∠D. 课堂小结 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步 画出图形 根据命题的条件题意 第二步 写出已知、求证 根据命题的条件和结论，结合图形 第三步 写出证明的过程 通过分析，找出证明的途径 定理：经过证明为真的命题 推论：利用某个定理直接推导出的真命题 课后作业 从课后习题中选取 完成练习册本课时的习题 $