专题03 轴对称8考点（期中真题汇编，天津专用）八年级数学上学期新教材人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03轴对称 ☆8大高频考点概览 考点01轴对称及其性质 考点02轴对称图形的识别 考点03画轴邮对称图形 考点04垂直平分线 考点05等腰三角形的定义和性质 考点06等腰三角形的性质和判定 考点07等边三角形的性质 考点08等边三角形的判定和性质 目目 考点01 轴对称及其性质 1.(23-24八上·河北唐山丰南区·期中)如图所示是三位同学的折纸示意图，则AD依次是ABC的() B BD B'C B(C D ① ② ③ A.中线、角平分线、高 B.高、中线、角平分线 C.角平分线、高、中线 D.角平分线、中线、高 2.(24-25八上·天津河北区·期中)如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，点F在边CD上，点D落在 D处，若∠ABD=28°，AD'∥DB,则∠DAF的度数为() D D A.32 B.46 C.59° D.60 3.(24-25八上·天津和平区期中)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ABC外的A处， 折痕为DE,如果.∠A=a,∠CEA'=B,∠BDA=Y,那么下列式子中正确的是() 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A 'a AE >A1 D 2 BL A.Y=a+2B B.y=2a+B C.Y=a+B D.y=180° 4.(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，将ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=70°，则∠A的大小为度. B D 5.(24-25八上天津滨海新区大港第六中学期中)已知：点A(-1,3列，B(-4,-1),C(-2,-3) 个y 6-5-43-2-10123456x 4 6 (I)△A'B'C'和ABC关于y轴成对称，点A的对称点是A,点B的对称点是B,点C的对称点是C.在图 的坐标系中画出△A'B'C'(不写画法).并写出.A,B',C的坐标. (2)请在y轴上找一点P,使PA+PC最小.（保留作图痕迹） 6.(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折 得到CE,连接EA并延长交直线CD于点F, B (1)若AC=8,则CE=一 (2)若LBCD=40°，∠ACE=一；LAFC=— 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)当点D在运动过程中，设LBCD=x°，求∠AFC. 目目 考点02 轴对称图形的识别 1.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)下列图形中不是轴对称图形的是() 2.(24-25八上·天津部分区·期中)下列图形中，是轴对称图形的是() D 3.(24-25八上·天津北辰区期中)下面是大疆科技华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志， 其中是轴对称图形的是(） 4.(24-25八上·天津河西区·期中)下面四个图形分别是垃圾分类的标志，这四个标志中是轴对称图形的是() 黄 D 目目 考点03 画轴对称图形 1.(24-25八上·天津泰达中学期中)已知△4BC的三个顶点的坐标分别为A-2,3)、B((-6,0)、C(-1,0) 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A B (1)将ABC沿y轴翻折，画出ABC关于y轴对称的图形△A,B,C,并直接写出A点的坐标一 (2)直接写出点A关于x轴对称的点A的坐标_； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与ABC全等，请画出所有符合条件的△DBC(点D与点A重合除外)， 2.(24-25八上·天津和平区汉阳道中学·期中)平面直角坐标系中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点） 上 4 3 B< A -5-4-3-2-1 345x (1I)在图中作出ABC关于y轴对称的△A,B,C (2)写出ABC关于x轴对称△A,B,C,的各顶点坐标：4；B;C,; 3.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)在直角坐标系中，ABC的三个顶点的位置如图 所示 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 y 5 4 3 2 2345x (1)请画出ABC关于y轴对称的△AB'C'(其中A,B,C'分别是A,B,C的对应点)； (2)写出A,B,C三点的坐标：()，B（),C(). (3)平面内一点N(-a,a+1)关于y轴对称的点的坐标为，点N关于直线x=-1对称的点的坐标为 (4)点Q在x轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有个. 4.(24-25八上·天津河北区·期中)如图，ABC顶点坐标分别为A1,4),B(-2,1),C(3,2).将ABC关于 x轴对称得到aA'B'C'. B (I)请你画出aA'B'C',并写出点A,B,C的坐标； (2)连接B'C,CC,求aCB'C'的面积. 5.(24-25八上·天津滨海新区塘沽第一中学期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为 A-2,3,B(-3,1,C(1,-2). / 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B (1)请画出ABC关于y轴对称的△A'B'C' (2)直接写出A,B,C三点的坐标：A'(,)B(,_),C'(,). 6.(24-25八上·天津和平区·期中)图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要 求作格点图形. B B B 图① 图② 图③ (1)在图①中，作ABC, 使其面积为2： 3 (2)在图②中，作四边形ABEF,使其是轴对称图形且面积为3. 7.(2425八上·天津南开区·期中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC,aDEF的 顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系xOy,使ABC与DEF关于y轴对称，且使点A的纵坐标为 1. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)请在图中画出平面直角坐标系x0y; (2)在图中作出aDEF关于x轴的轴对称图形△D'E'F'(点D,E,F的对称点分别是D,E,F),并直 接写出D,E,F的坐标； (3)若在该坐标系内，存在一点P,使得△ACP与ABC全等，直接写出两个符合条件的点P的坐标. 8.(24-25八上天津河西区·期中)已知：如图所示，已知ABC中，其中A(0,-2),B(2,-4),C4,-1 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-10 12345x 3 4 B (1I)画出与ABC关于x轴对称的图形△AB,C (2)写出△AB,C,各顶点坐标. 目目 考点04 垂直平分线 1.(24-25八上·天津河东第三片区期中)如图，在ABC中，己知BC=13,AB的中垂线交BC于D,AC的 中垂线交BC于E,则ADE的周长等于() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DXE A.11 B.13 C.14 D.15 2.(24-25八上·天津红桥区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交 AC于D,若△DBC的周长为35cm,则BC的长为() A D A.10cm B.15cm C.17.5cm D.20cm 3.(24-25八上天津和平区汉阳道中学.期中)如图，坐标平面内一点A(3,-2),O为原点，P是坐标轴上的 一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为() P A.7 B.8 C.9 D.10 4.(24-25八上·天津滨海新区南开中学滨海生态城学校期中)如图，ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， AC的垂直平分线交BC于D,交AC于E,DE=2,则BC=() A.8 B.10 C.12 D.15 5.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，在ABC中，∠C=84°，分别以点A,B为 圆心，以大于AB的一半长为半径画弧，两弧分别交于点M,N,作直线MN交AC于点D;以点B为圆心， 适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 弧交于点P.若此时射线BP恰好经过点D,则∠A的大小是() M B A.30° B.32° C.34° D.42° 6.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线， △ABD的周长为16cm,CE的长为5cm,则ABC的周长为() A.24cm B.25cm C.26cm D.28cm 7.(24-25八上·天津南开区·期中)如图，在ABC中，DE,DF分别是AC,BC边的垂直平分线，连接 AD,BD,CD,若LACB=42°，则∠BAD的大小为（度）· 8.(24-25八上·天津东丽区华新共同体·期中)如图是由小正方形组成的6×5的网格.每个小正方形的顶点叫 做格点，A、B是格点，C是网格上的点.仅用无刻度的直尺画出BC的中点O,再将AB平移到CD,使点 A的对应点为点C. B 9.(24-25八上·天津红桥区期中)如图，ABC中，∠BAC的角平分线AD与BC边的垂直平分线DM交于 点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 求证： (1)BE=CF; (2)AB+AC =2AE 10.(24-25八上·天津河东第三片区·期中如图，ABC中，AD平分LBAC,DG⊥BC且平分BC, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. A E G D (1)求证：BE=CF; (2)如果AB=9,AC=5,求AE的长. A E :DG垂直平分BC, G D .DB=DC, :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF,LDEB=LDFC=90°， .在RtADBE和RtADCF中 DB=DC DE=DF RtaDBE≌RtADCF(HL, 专题03 轴对称 8大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 轴对称图形的识别 考点03 画轴对称图形 考点04 垂直平分线 考点05 等腰三角形的定义和性质 考点06 等腰三角形的性质和判定 考点07 等边三角形的性质 考点08 等边三角形的判定和性质 地 城 考点01 轴对称及其性质 1．(23-24八上·河北唐山丰南区·期中)如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三线，折叠的性质，根据折叠的性质，得到图①中，图②中，图③中，结合角平分线，中线和高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：图①中，故是的角平分线； 图②中，故，故是的高线； 图③中，故是的中线； 故选C． 2．(24-25八上·天津河北区·期中)如图，把一张长方形纸片沿折叠，点在边上，点落在处，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及翻折变换（折叠问题），利用平行线的性质及折叠的性质，求出∠DAF的度数是解题的关键．由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，再利用折叠的性质及，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠的性质，可得：， ∵， ∴． 故选：C． 3．(24-25八上·天津和平区·期中)如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果．， ，， 那么下列式子中正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由折叠的性质可得，根据三角形外角的性质可得，最后再根据三角形外角的性质即可解答 【详解】解：如图：将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，将沿着翻折，若，则的大小为 度． 【答案】35 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用三角形的内角和是是解答本题的关键．根据折叠的性质可知，利用平角是求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学·期中)已知：点 (1)和关于轴成对称，点A的对称点是，点B的对称点是，点C的对称点是．在图的坐标系中画出 (不写画法)．并写出．的坐标． (2)请在轴上找一点，使最小．(保留作图痕迹) 【答案】(1)图见解析，，，； (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，根据对称性求线段和的最值，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的特征找到点的对称点，点的对称点，点的对称点，顺次连接所得即为所求，再根据点的位置直接写出点的坐标； （2）连接交轴于点即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； 由图可知，，，； （2）解：如图，点即为所作． 6．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了翻折的性质，等边对等角，等边三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得，然后通过折叠性质可得，从而求解； （）根据等边三角形的性质得，则有，又，则，再由三角形的外角定理求解； （）同（）理求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点02 轴对称图形的识别 1．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选C． 2．(24-25八上·天津部分区·期中)下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A ． 3．(24-25八上·天津北辰区·期中)下面是大疆科技 华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．(24-25八上·天津河西区·期中)下面四个图形分别是垃圾分类的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；   故选：C． 地 城 考点03 画轴对称图形 1．(24-25八上·天津泰达中学·期中)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为、、． (1)将沿y轴翻折，画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标 　 　； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标 　 　； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与全等，请画出所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于x轴对称点的特点写出点的坐标即可； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【详解】（1）解：画出关于y轴对称的图形，如图所示， 翻折后点A的对应点的坐标是：； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为； （3）解：所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）如图所示． ，，． 2．(24-25八上·天津和平区汉阳道中学·期中)平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)在图中作出关于轴对称的 (2)写出关于轴对称的各顶点坐标：______；______；______； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图−−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变，描出各点，再顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求解． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：由图可知， ∴关于轴对称的各顶点坐标， 故答案为：． 3．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； (2)写出三点的坐标：（   ），（   ），（   ）． (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为______，点关于直线对称的点的坐标为______． (4)点在x轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有______个． 【答案】(1)图见详解 (2)4，1；2，3； (3)， (4)5 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）根据（1）中图形可直接进行求解； （3）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：由（1）中图可知：； 故答案为4，1；2，3；； （3）解：根据题意得： 点关于轴对称的点的坐标为；点关于直线对称的点的坐标为； 故答案为，； （4）解：以为圆心，长为半径做圆，此圆与x轴有2个交点， 以为圆心，长为半径做圆，此圆与x轴有2个交点， 作线段的垂直平分线，此线与x轴有1个交点， 是等腰三角形时，点坐标有5个， 故答案为5． 4．(24-25八上·天津河北区·期中)如图，顶点坐标分别为，，．将关于轴对称得到． (1)请你画出，并写出点，，的坐标； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析，点，，的坐标分别为，，； (2)的面积是10． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，；根据点的位置写出坐标即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； 坐标为；的坐标为，的坐标为； （2）解：， ∴的面积是10． 5．(24-25八上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标：，． 【答案】(1)见解析 (2)2，3，3，1，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）得，，，． 6．(24-25八上·天津和平区·期中)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． (1)在图①中， 作， 使其面积为； (2)在图②中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查格点作图、轴对称图形等知识点，利用网格特征作图、轴对称图形的性质是解答本题的关键． （1）画高与底分别为2与3或3与2，或底与高为与的三角形即可； （2）结合轴对称图形的性质，使四边形的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可． 【详解】（1）解：如图：或或即为所求． （2）解：如图：四边形或四边形即为所求． 7．(24-25八上·天津南开区·期中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且使点的纵坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)在图中作出关于轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； (3)若在该坐标系内，存在一点，使得与全等，直接写出两个符合条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)符合条件的的坐标为或或． 【分析】（）根据与关于轴对称，且使点的纵坐标为，建立平面直角坐标系即可； （）找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接即可； （）根据全等三角形的性质，找到的点即可； 本题考查了平面直角坐标系，轴对称，全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与关于轴对称，且使点的纵坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， （2）解：如图，找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接， ∴，，； （3）解：如图， ∴符合条件的的坐标为或或． 8．(24-25八上·天津河西区·期中)已知：如图所示，已知中，其中，， (1)画出与关于x轴对称的图形 (2)写出各顶点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中关于x轴或y轴对称点的坐标特点． （1）根据轴对称变换的性质作图； （2）根据各个点的位置直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：根据图可知：，，． 地 城 考点04 垂直平分线 1．(24-25八上·天津河东第三片区·期中)如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（   ）    A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质与线段的等量代换是解题的关键，求周长即求各边长的和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E， ∴,, ∴的周长, 故选：B． 2．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长， ， ， ， ， 故选：B． 3．(24-25八上·天津和平区汉阳道中学·期中)如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（   ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握运用等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的定义及垂直平分线的判定作出相应图形，然后即可确定点的个数． 【详解】解：如图：    ①当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有2个交点为（去除点）； ②当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有4个交点为， 当时，作出的垂直平分线，与坐标轴有2个交点为， 故有8个符合条件的动点P， 故选：B． 4．(24-25八上·天津滨海新区南开中学滨海生态城学校·期中)如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据含直角三角形的性质得，即可得出，及，然后说明，最后求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的长为； 故选：C． 5．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，在中，，分别以点为圆心，以大于的一半长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点．若此时射线恰好经过点，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线与线段垂直平分线的尺规作图及性质，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的尺规作图及性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，平分，则有，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由题意得：垂直平分，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 6．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，在中，是的垂直平分线，的周长为的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选C． 7．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为 （度）． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 8．(24-25八上·天津东丽区华新共同体·期中)如图是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，A、B是格点，C是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点O，再将平移到，使点A的对应点为点C． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，如图所示，与格线的交点O即为所求，连接并延长，交格线于D，线段即为所求． 【详解】解：如图所示，与格线的交点O即为所求，连接并延长，交格线于D，线段即为所求． 可证明垂直平分，则，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，则， 同理可证明，则可证明，进一步可证明． 9．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中 ， ， ， ，， ， ， ． 10．(24-25八上·天津河东第三片区·期中)如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （1）由垂直平分可得，由平分， ，，可得，，从而证得，得证； （2）易证，得到，又，因此，代入即可解答． 【详解】（1）证明：连接，， ∵垂直平分， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴在和中 ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·天津东丽区华新共同体·期中)如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，，G，H为垂足． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 12．(21-22八上·天津津南区咸水沽第二中学·期中)如图，P为平分线上一点，于A，于B． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定： （1）角平分线的性质，推出，证明，得到即可； （2）根据，，即可得证． 【详解】（1）证明：∵P为平分线上一点，于A，于B， ∴，，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 地 城 考点05 等腰三角形的定义和性质 1．(24-25八上·天津河西区·期中)等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（   ） A．或 B．  或 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．据此即可得出答案． 【详解】当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 则它的顶角为：， 当40°的角为等腰三角形的顶角时， 则它的底角为：， 故它的顶角的度数是或． 故选：A． 2．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形和三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论思想的应用和三角形的三边关系．首先对等腰三角形的腰分情况分析，其次验证三角形的三边关系，确定能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：当等腰三角形的腰是时， ， ∴根据三角形的三边关系，不能组成三角形，故舍去， 当等腰三角形的腰是时， 周长为， 综上所述，它的周长为， 故选：． 3．(23-24八上·天津塘沽区第四共同体·期中)如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的度数等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而推出，最后由进行计算即可，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 故选：A． 4．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，在中，则的大小等于 度． 【答案】54 【分析】本题考查了三角形的外角的含义，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．首先根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角和定理得出，求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 5．(24-25八上·天津西青区富力中学·期中)若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 6．(24-25八上·天津河北区·期中)如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断①正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故②正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③正确；根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的定义得出．再结合平角和等腰三角形的性质即可得出，故④正确． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故②正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵为的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，故④正确． 综上可知①②③④正确． 故答案为：①②③④． 7．(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学·期中)已知等腰三角形的一个内角为，则另两个角的度数是 ． 【答案】，或， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等．分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 7．(23-24八上·天津武清区·期中)在中，，，点是直线上的一动点（不和，重合），于，交直线于．    (1)如图①，若点D在边上时，证明：； (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明）； (3)若点D在的反向延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）易证，结合条件容易证到，从而有，就可得到； （2）同理证明，得到； （3）同理证明，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ． ∴． ∴， ∴； （2）解：当点在的延长线上时，如图2．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 则； （3）解：当点在的反向延长线上时，如图3．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段和差等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 8．(24-25八上·天津部分区·期中)如图，在中，已知是的中点．    (1)求和的大小； (2)若为上一点，且，试证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质定理． （1）首先根据等腰三角形的性质求出和，然后根据三线合一的性质求出； （2）由等腰三角形的性质可得，结合可得，根据平行线的判定解答即可． 【详解】（1）解：， 又是的中点， ． （2）由（1）得， ， ， ， ． 9．(24-25八上·天津河西区·期中)如图，点C在线段上， ，，点F为线段的中点．猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握它们性质，学会正三角形全等， 根据得出，证，推出，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可． 【详解】，理由如下：      证明∶ ∵， ∴ ∵在和中 ， ∴ ， ∴， 是等腰三角形， ∵点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点06 等腰三角形的性质和判定 1．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，在中，，，，垂足为点，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，延长交于，由已知条件可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，又由可得，继而得到，即可得解．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴的长为． 故选：B． 2．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，在中，，于点，于点，于点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的面积公式，由，则，又，故，因此，从而得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．(24-25八上·天津滨海新区南开中学滨海生态城学校·期中)已知：如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，再根据角平分线的性质可求得，即，于是得到结论． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②为的角平分线， ， ，， ，， ， ， ， ，故②正确； ③，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ∵， ∴，故③错误； ④过作于点，   是上的点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 4．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接． （1） （度）； （2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 45 如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答的关键． （1）利用网格特点和等腰三角形直角三角形的判定与性质求解即可； （2）利用勾股定理和和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解． 【详解】解：（1）由网格得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作． 5．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C坐标为 （1）当，则点的坐标为 ； （2）动点B在运动过程中， ． 【答案】 1 【分析】（1）先过点作轴于，证，推出，，即可得出点的坐标； （2）先过点作轴于，证，推出，，可得，即可得出点的坐标为，据此可得的值不变． 【详解】解：（1）如图1中，过点作轴于，则． ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴，， ， ， 故答案为：； （2）动点在运动的过程中，的值不变． 理由：过点作轴于，如（1）图，则， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， 又点的坐标为， ， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，图形与坐标，等腰直角三角形性质的应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 6．(24-25八上·天津西青区杨柳青第二中学·期中)如图， 在四边形中， ．若的角平分线交于E， 连接，且边平分， 得到如下结论： ①；②；   ④，那么以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】利用平行线的性质得到， 结合角平分线得到，，进一步得到，即可判断①正确；延长与的延长线交于点，得到，然后，再判定，得到，即，即可判断②正确；由与不一定相等，即可判断③错误；由与不一定平行，即可判断④错误； 【详解】解：∵ 在四边形中， ， ∴， ∵的角平分线交于E， 边平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长与的延长线交于点， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， 又，， ∴， ∴，即， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵与不一定平行， ∴与不一定相等，即与不一定相等， ∴与不一定相等，故④错误； 故答案为：①② ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，解题关键是理解相关概念、性质并正确运用，能通过分析题意正确构造辅助线构造全等三角形． 7．(24-25八上·天津河北区·期中)如图所示，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，且于点，交于点．求证：． (2)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】(1)见解析 (2)① ，见解析；②不发生改变，4 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标得到，再通过等角的余角相等证明，就可以证明结论； （2）①连接，根据等腰直角三角形性质得，，，得，根据，得，得，即得；②根据，，得． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， ， 在和中 ； （2）① 线段， 理由如下：如图2，连接， ，，点为的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② 式子的值不发生改变， 理由如下：， 点为的中点， ， ， ． 8．(24-25八上·天津南开区·期中)在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． (1)如图，当时，______（度），______（度）； (2)如图，若，证明：； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 【分析】（）根据三角形内角和定理得到，然后利用，，即可得解； （）首先推导出进一步推导出，利用外角的性质得到，利用证明即可； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下: ∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 9．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质， （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得证； （2）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，即可得解； 掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 10．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，在四边形中，是的平分线，，垂足为点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定与性质解答即可； （2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理和（1）的结论解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 是的平分线， ， ， ． ， 平分； （2）解：是的平分线， ， ， ． ， ． 由（1）知：， ∵， ∴． 11．(24-25八上·天津第六十一中学·期中)（1）如图①，点D、A、B在一条直线上，，，．求证：； （2）如图②，在中，于点G，以点A为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为点P、Q，与之间有怎样的数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，垂直定义的应用，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）求出，，根据全等三角形的判定进行证明即可． （2）根据等腰直角三角形的性质得到，， 求出，，证明，推出即可得到答案． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ． 12．(24-25八上·天津泰达中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“角边角”证明，再根据三角形全等的性质求解即可； 对于（2），过点O作交的延长线于点T，连接，证明再求得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，与交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图3，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴. 13．(24-25八上·天津南开区·期中)在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 14．(23-24八上·天津滨海新区汉沽第八中学·期中)如图，，，，点F是的中点．求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．连接，证明，得到，再利用三线合一即可得证．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】证明：连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 地 城 考点07 等边三角形的性质 1．(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学·期中)如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质．根据证明即可判断①正确；利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可判断②正确；证明，得出，即可判断④正确；根据，，得出，根据，得出，即可判断③不正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不正确； 综上分析可知，正确的有3个，故B正确． 故选：B． 2．(24-25八上·天津河西区·期中)如图， 等边三角形中，，与相交于点P， 则的度数是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 3．(23-24八上·天津西青区·期末)如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30． 【详解】解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 4．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关键是要构造出等边三角形，再利用全等三角形的性质和等边三角形的性质即可求解． （1）利用直角三角形两个锐角互余求出的度数即可； （2）延长到G，连接，使三角形为等边三角形，证明得到，设，则，，利用线段的和差求出x值，最后得到线段的长即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知， 如图，延长到G，连接，使三角形为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 设，则，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：12． 5．(24-25八上·天津西青区富力中学·期中)在等边中，线段 为边上的高，点 D 是直线 上 的一个动点，以为一边，在的下方作等边，连接． (1)填空：如图① ， 当点 D 在线段上时， (2)如图② ，当点D在线段的反向延长线上时，求的度数； 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）由等边三角形的性质得到，进而证明得到，再由三线合一定理即可得到； （2）由等边三角形的性质得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则； 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵线段为边上的高， ∴， 故答案为：； （2）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵线段为边上的高， ∴， ∴． 6．(24-25八上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． (1)如图1，当点在线段的中点时，，； (2)如图2，当点在的延长线上时，求证：； (3)在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】(1)3， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 点在线段的中点， ， ， 故答案为：3，； （2）证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （3）解：，理由如下： 由（2）可知，， ， 是等边三角形， ， ， ． 地 城 考点08 等边三角形的判定和性质 1．(24-25八上·天津部分区·期中)在中，，添加下列一个条件后不能判断是等边三角形的是（   ） A． B． C．与互余 D．边上的高也是边上的中线 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定方法，等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的定义、性质及判定，“三边相等的三角形是等边三角形；等边三角形的三个内角也都相等，每个角都是60度，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形”，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， A、，则是等边三角形，不符合题意； B、当时，则，故是等边三角形，不符合题意； C、与互余，则是直角三角形，不能判定是等边三角形，符合题意； D、边上的高也是边上的中线，如图所示，，， 又， ∴， ∴， ∴，则是等边三角形，不符合题意； 故选：C ． 2．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下五个结论：；；；为等边三角形；．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ， 根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；⑤ ，⑤正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形，结论正确； ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴ ∴，结论正确； 没有条件证出，错误； 综上，可得正确的结论有个：， 故选：． 3．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，六边形的每个内角都是，且，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，延长并反向延长，构成等边三角形，再利用等边三角形的三边相等，利用各线段之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，延长并反向延长， ∵六边形的每个内角都是， ∴， ∴都是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 4．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，点是线段上一点，是等边三角形．与交于点与交于点与交于点．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分；⑤．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】由“”可证，可得，故①正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，，故③⑤正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由“”可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ，，， ， ∴， ，，故①正确， ， ， 又，， ∴， ，， ∴，故⑤正确； ， ∴是等边三角形，故③正确， ∵， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定等于， 又， 不一定垂直平分，故②错误； 如图，过点作于，于， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 平分，故④正确； 综上所述：正确的有①③④⑤； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25八上·天津津南区八里台镇·期中)如图，在等边三角形中，点D，E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由是等边三角形得到，再根据，得到同位角相等，继而可证明为等边三角形，然后由，得到，再根据角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】证明是等边三角形， ． ， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ， ． ， ∴． 6．(21-22八上·天津部分区·期中)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：DF＝2DC． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理求得△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°， ∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=2CD． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $