专题02 全等三角形6考点（期中真题汇编，天津专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形 6大高频考点概览 考点01 全等三角形的概念和性质 考点02 全等三角形的性质和判定综合 考点03 全等三角形的性质和HL综合 考点04 添加条件使三角形全等 考点05 全等三角形综合问题 考点06 角平分线 地 城 考点01 全等三角形的概念和性质 1．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，，，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，由，则，然后根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2．(24-25八上·天津南开区·期中)现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，先求出，设运动时间为秒，则，，，然后分当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴乙机器人的运动速度为； 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴乙机器人的运动速度为； 故选：． 3．(24-25八上·天津第六十一中学·期中)如图，，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．很具三角形的内角和定理求出的度数，再利用全等三角形的性质得到，再由，即可得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 故选B． 4．(24-25八上·天津西青区富力中学·期中)如图所示，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 5．(24-25八上·天津和平区·期中)已知如图中的两个三角形全等，则度数等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的性质确定对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等，三角形内角和定理即可求出结果． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴． 故选：B． 6．(24-25八上·天津部分区·期中)如图所示的两个三角形全等，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】解：∵两个三角形全等，左边三角形边、所夹的角为，右边三角形边、所夹的角为， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八上·天津南开区·期中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，，的顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系，使与关于轴对称，且使点的纵坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)在图中作出关于轴的轴对称图形（点，，的对称点分别是，，），并直接写出，，的坐标； (3)若在该坐标系内，存在一点，使得与全等，直接写出两个符合条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)符合条件的的坐标为或或． 【分析】（）根据与关于轴对称，且使点的纵坐标为，建立平面直角坐标系即可； （）找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接即可； （）根据全等三角形的性质，找到的点即可； 本题考查了平面直角坐标系，轴对称，全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与关于轴对称，且使点的纵坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， （2）解：如图，找出点，，关于轴对称的点，，，然后连接， ∴，，； （3）解：如图， ∴符合条件的的坐标为或或． 地 城 考点02 全等三角形的性质与判定综合 1．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，在中，平分，交于点，过作的垂线交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，延长相交于F，先证明，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长相交于F， 平分， ， 过作的垂线交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，点共线，，，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为7． 3．(24-25八上·天津河东第三片区·期中)如图，，垂足分别为D，E．若，则的长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据已知条件证明，则可得，进而根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． 故答案为：17． 4．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，是等边三角形，点E在的延长线上，点D在线段上，连接交线段于点F，过点F作于点N，，，则． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 12 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关键是要构造出等边三角形，再利用全等三角形的性质和等边三角形的性质即可求解． （1）利用直角三角形两个锐角互余求出的度数即可； （2）延长到G，连接，使三角形为等边三角形，证明得到，设，则，，利用线段的和差求出x值，最后得到线段的长即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知， 如图，延长到G，连接，使三角形为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 设，则，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：12． 5．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C坐标为 （1）当，则点的坐标为 ； （2）动点B在运动过程中， ． 【答案】 1 【分析】（1）先过点作轴于，证，推出，，即可得出点的坐标； （2）先过点作轴于，证，推出，，可得，即可得出点的坐标为，据此可得的值不变． 【详解】解：（1）如图1中，过点作轴于，则． ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴，， ， ， 故答案为：； （2）动点在运动的过程中，的值不变． 理由：过点作轴于，如（1）图，则， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， 又点的坐标为， ， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，图形与坐标，等腰直角三角形性质的应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 6．(24-25八上·天津西青区杨柳青第二中学·期中)如图， 在四边形中， ．若的角平分线交于E， 连接，且边平分， 得到如下结论： ①；②；   ④，那么以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】利用平行线的性质得到， 结合角平分线得到，，进一步得到，即可判断①正确；延长与的延长线交于点，得到，然后，再判定，得到，即，即可判断②正确；由与不一定相等，即可判断③错误；由与不一定平行，即可判断④错误； 【详解】解：∵ 在四边形中， ， ∴， ∵的角平分线交于E， 边平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长与的延长线交于点， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， 又，， ∴， ∴，即， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵与不一定平行， ∴与不一定相等，即与不一定相等， ∴与不一定相等，故④错误； 故答案为：①② ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，解题关键是理解相关概念、性质并正确运用，能通过分析题意正确构造辅助线构造全等三角形． 7．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，点是线段上一点，是等边三角形．与交于点与交于点与交于点．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分；⑤．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】由“”可证，可得，故①正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，，故③⑤正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由“”可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ，，， ， ∴， ，，故①正确， ， ， 又，， ∴， ，， ∴，故⑤正确； ， ∴是等边三角形，故③正确， ∵， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定等于， 又， 不一定垂直平分，故②错误； 如图，过点作于，于， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 平分，故④正确； 综上所述：正确的有①③④⑤； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）过点作，根据角平分线的性质可得，先根据证，再根据证明，即可证明； （2）由（1）可知，则，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：10． 9．(24-25八上·天津第六十一中学·期中)已知：线段、交于O，为钝角，，于F，于E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．由得到，可以根据得到即可证明． 【详解】证明：， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 10．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，四点共线，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可． 【详解】证明：∵ ∴ 即：， ∵， ∴， ∴． 11．(24-25八上·天津河北区·期中)如图所示，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，且于点，交于点．求证：． (2)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中， ①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】(1)见解析 (2)① ，见解析；②不发生改变，4 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标得到，再通过等角的余角相等证明，就可以证明结论； （2）①连接，根据等腰直角三角形性质得，，，得，根据，得，得，即得；②根据，，得． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， ， 在和中 ； （2）① 线段， 理由如下：如图2，连接， ，，点为的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② 式子的值不发生改变， 理由如下：， 点为的中点， ， ， ． 12．(24-25八上·天津南开区·期中)在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． (1)如图，当时，______（度），______（度）； (2)如图，若，证明：； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 【分析】（）根据三角形内角和定理得到，然后利用，，即可得解； （）首先推导出进一步推导出，利用外角的性质得到，利用证明即可； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下: ∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 13．(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学·期中)如图，与相交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）．根据证明，即可作答． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 14．(24-25八上·天津泰达中学·期中)在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． （）根据角平分线的作法作出图形即可； （）由（）知，是的角平分线，，然后证明，所以，则有，从而求证． 【详解】（1）解：如图所示，角平分线即为所求； （2）证明：由（）知，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形． 15．(24-25八上·天津第六十一中学·期中)（1）如图①，点D、A、B在一条直线上，，，．求证：； （2）如图②，在中，于点G，以点A为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为点P、Q，与之间有怎样的数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，垂直定义的应用，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）求出，，根据全等三角形的判定进行证明即可． （2）根据等腰直角三角形的性质得到，， 求出，，证明，推出即可得到答案． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ． 16．(24-25八上·天津东丽区华新共同体·期中)如图是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，A、B是格点，C是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点O，再将平移到，使点A的对应点为点C． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，如图所示，与格线的交点O即为所求，连接并延长，交格线于D，线段即为所求． 【详解】解：如图所示，与格线的交点O即为所求，连接并延长，交格线于D，线段即为所求． 可证明垂直平分，则，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，则， 同理可证明，则可证明，进一步可证明． 17．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)解答下列各题： (1)特例探究：如图①，正方形中，分别为上两点，，探究之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取．连接，易证，从而得到，再由证明，直接得出结论：_____； (2)一般探究：如图②，四边形中，与互补，，分别是上两点，且满足，探究之间的数量关系；说明理由． (3)实际应用：如图③，四边形中，，则四边形的面积为______（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)32 【分析】（1）如图①：延长到点使，连接，先证明可得、，再证可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键； （2）如图：延长至，使，连接．先由同角的补角相等得出，由证明，得出，由已知得到，再次利用证明可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；最后根据线段的和差以及等量代换即可解答；灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键； （3）如图③：延长，截取，连接，证明，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图①：延长到点使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ∴， ，， ， 在和中 ∴， ， ； 故答案为． （2）解：，理由如下： 如图②，延长至，使，连接． ，， ． 又，， ∴． ，． ． 又， ． ， 又，， ∴． ， ． （3）解：如图③，延长，截取，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； 故答案为32． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．(24-25八上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． (1)如图1，当点在线段的中点时，，； (2)如图2，当点在的延长线上时，求证：； (3)在（2）的条件下探索三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】(1)3， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 点在线段的中点， ， ， 故答案为：3，； （2）证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （3）解：，理由如下： 由（2）可知，， ， 是等边三角形， ， ， ． 19．(24-25八上·天津和平区·期中)如图1， 点分别是正五边形的边上的点，且 交于点P． (1)求 的度数； (2)将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则=   ． (3)探究： 改成正 n边形 ，其他条件不变，则 ．（用含有n的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正五边形、正六边形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）利用正五边形的性质得出，，再证明，然后全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质及等量代换即可解答； （2）根据（1）的方法解答即可； （3）根据（1）的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵正五边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． （2）解：∵正六边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵正n边形， ∴，， 在和中 ， ； ∴， ∴． 故答案为：． 20．(24-25八上·天津西青区富力中学·期中)在等边中，线段 为边上的高，点 D 是直线 上 的一个动点，以为一边，在的下方作等边，连接． (1)填空：如图① ， 当点 D 在线段上时， (2)如图② ，当点D在线段的反向延长线上时，求的度数； 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）由等边三角形的性质得到，进而证明得到，再由三线合一定理即可得到； （2）由等边三角形的性质得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则； 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵线段为边上的高， ∴， 故答案为：； （2）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵线段为边上的高， ∴， ∴． 21．(24-25八上·天津和平区汉阳道中学·期中)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形的外角性质． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线 ， 在和中， ， ， ∴判断全等的依据为“”， 故答案为：； （2）证明：延长至，使，连接 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， ∵， 即，且，， . ， ， ． 地 城 考点03 全等三角形的性质与HL综合 1．(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学·期中)如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质．根据证明即可判断①正确；利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可判断②正确；证明，得出，即可判断④正确；根据，，得出，根据，得出，即可判断③不正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不正确； 综上分析可知，正确的有3个，故B正确． 故选：B． 2．(24-25八上·天津南开区·期中)如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下五个结论：；；；为等边三角形；．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ， 根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；⑤ ，⑤正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形，结论正确； ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴ ∴，结论正确； 没有条件证出，错误； 综上，可得正确的结论有个：， 故选：． 3．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，已知平分平分，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】作于点，因为平分，，所以，同理可得，则，所以平分，可判断①正确； 由，推导出，可判断②错误； 由，可判断③错误； 根据直角三角形全等的判定定理“”可证明， ，即可证明，可判断④正确． 【详解】解：如图，作于点， 平分，， ， 平分，， ， ， 平分，故①正确； ，， ，故②错误； ，， ， ， ，故③错误； ，，， ， 在和中， ， ∴， ， 同理， ∴，故④正确， 综上所述：正确的有①④两个； 故选B． 【点睛】此题重点考查角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．(24-25八上·天津河北区·期中)如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断①正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故②正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③正确；根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的定义得出．再结合平角和等腰三角形的性质即可得出，故④正确． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故②正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵为的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，故④正确． 综上可知①②③④正确． 故答案为：①②③④． 5．(24-25八上·天津第六十一中学·期中)已知，，，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，与相交于点O，若点E是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由题意得到和都是直角三角形，证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质证明，证明，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）可知，， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 6．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中 ， ， ， ，， ， ， ． 7．(24-25八上·天津河东第三片区·期中)如图，中，平分且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （1）由垂直平分可得，由平分， ，，可得，，从而证得，得证； （2）易证，得到，又，因此，代入即可解答． 【详解】（1）证明：连接，， ∵垂直平分， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴在和中 ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．(24-25八上·天津东丽区华新共同体·期中)如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，，G，H为垂足． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 9．(24-25八上·天津葛沽第一中学·期中)如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． 地 城 考点04 添加条件使三角形全等 1．(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)如图，点在同一直线上，，添加一个条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据选项结合全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，则根据“”可判定，故A选项不符合题意； 当时，则根据“”可判定，故B选项不符合题意； 当时，不能判定，故C选项符合题意； 由可知，所以，则根据“”可判定，故D选项不符合题意； 故选C． 地 城 考点05 全等三角形的综合问题 1．(22-23八上·天津第五十五中学·期中)如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可． 【详解】解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2（∠ABC+∠CPB）， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 2.(24-25八上·天津葛沽第一中学·期中)如图，平分，过点作于，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数有（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作于F．先判定，即可得出，再判定，即可得到；再根据四边形内角和以及三角形的面积计算公式，即可得到正确结论． 【详解】解：如图，过C作于F． ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形中，，故②正确； ∵， ∴， 即，故④错误． 综上，正确的结论共3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，四边形的内角和定理以及邻补角定义等知识点的综合运用，正确作辅助线，构造全等三角形是解答此题的关键． 3．(24-25八上·天津部分区·期中)如图，在中，已知平分交于点于点，点在上，且．    (1)求证：； (2)请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得到，进而根据直角三角形全等判定定理证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ． 4．(24-25八上·天津西青区精武中学·期中)如图，在四边形中，，，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若在上且，试猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）通过角的计算得出，证出，由此即可得出； （2）结合即可证出，由此即可得出，再根据即可得出，，由（1）可知，进而得知，根据角的计算即可得出，结合即可证出，即得出，由相等的边与边之间的关系即可证出． 【详解】（1）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． （2）解：猜想之间的数量关系为：，证明如下： 如图所示，连接， 在和中， ， ， ． ， ． 由（1）可得：， ． ，即． ． 在和中， ， ， ． ， ． 5．(24-25八上·天津泰达中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“角边角”证明，再根据三角形全等的性质求解即可； 对于（2），过点O作交的延长线于点T，连接，证明再求得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，与交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图3，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴. 6．(24-25八上·天津南开区·期中)在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，过点作于点． ①求证：平分； ②若，，请直接用含有的式子表示． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得； （2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证； ②证明得，得到，，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵点与点关于轴对称，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）①证明：过点作于点， 又∵， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； ②解：由①知：， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 地 城 考点06 角平分线 1．(24-25八上·天津滨海新区南开中学滨海生态城学校·期中)已知：如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，，过作为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，再根据角平分线的性质可求得，即，于是得到结论． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ，故①正确； ②为的角平分线， ， ，， ，， ， ， ， ，故②正确； ③，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ∵， ∴，故③错误； ④过作于点，   是上的点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 2．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（   ） A．8 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 直接根据角平分线的性质求解． 【详解】解：∵平分交于点， ， 故选：C． 3．(24-25八上·天津红桥区·期中)如图，在中．，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（  ） ①是的平分线；②③；④点D到直线的距离等于的长度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握三角形内角和定理、外角性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断． 【详解】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵，故③正确； ∵角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴点D到直线的距离等于点D到直线的距离，即为的长度，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②③④； 故选：D． 4．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．(23-24八上·天津滨海新区汉沽第八中学·期中)如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据角平分线的性质，得到，进而证明，得到，，判断①④；同角的余角相等，判断②，条件不足，无法判断③．掌握角平分线的性质，证明，是解题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴平分，；故①，④正确； ∵， ∴；故②正确； 条件不足，无法得到，即无法得到平分，故③错误； 综上：正确的有3个； 故选C． 6．(24-25八上·天津泰达中学·期中)如图，在中，，是的平分线，于，且，，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质可得，根据，即可求出长． 【详解】解：∵是的平分线，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆6大高频考点览 考点01全等三角形的概念和性质 考点02全等三角形的性质和判定综合 考点O3全等三角形的性质和HL综合 考点04添加条件使三角形全等 考点05全等三角形综合问题 考点06角平分线 目目 考点01 全等三角形的概念和性质 1.(24-25八上·天津南开区·期中)如图，△ABC≌△EDF,DF=BC,AB=ED,AC=15,EC=10,则 CF的长是() E C B A.15 B.10 C.5 D.2.5 2.(24-25八上·天津南开区·期中)现有一块如图所示的四边形草地ABCD,经测量，∠B=∠C,AB=12m, BC=8m,CD=I4m,点E是AB边的中点.甲机器人从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C运动，同时 乙机器人从点C出发沿CD向点D运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点P和点Q,如果能够 在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则乙机器人的运动速度为() 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3 A. mls或ms B.2ms或2mS 2 C.3ms或2m的 D.2m/s或3m/s 3.(24-25八上·天津第六十一中学期中)如图，△ABC≌△ADE,若∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°， 则∠EAC的度数为() A.40° B.35° C.30° D.25° 4.(24-25八上·天津西青区富力中学期中)如图所示，△ABC≌△ADC,∠ABC=60°，则∠ADC的度数是() B A D A.60° B.45° C.30° D.35 5.(24-25八上·天津和平区期中)已知如图中的两个三角形全等，则∠α度数等于() 70 a b 60° A.45° B.50° C.60 D.70° 6.(24-25八上·天津部分区期中)如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是一， 人58°72 a 7.(2425八上·天津南开区·期中)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC,△DEF的 顶点都在格点上，在图中建立平面直角坐标系xOy,使ABC与△DEF关于y轴对称，且使点A的纵坐标为 1. 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)请在图中画出平面直角坐标系x0y; (2)在图中作出△DEF关于x轴的轴对称图形△D'E'F'(点D,E,F的对称点分别是D,E,F),并直 接写出D,E,F的坐标； (3)若在该坐标系内，存在一点P,使得△ACP与ABC全等，直接写出两个符合条件的点P的坐标. 目目 考点02 全等三角形的性质与判定综合 1.(24-25八上天津外国语大学附属滨海外国语学校期中如图，在ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分 ∠ABC,交AC于点D,过C作BD的垂线交BD的延长线于点E,若BD=5,则CE的长为() A A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，点A,E,C共线， BC=DE,BC⊥DE,LBAC=LECD=90°，CD=I2,AE=5,则AB的值为 D A C 3.(24-25八上·天津河东第三片区期中)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若AD=25cm,BE=8cm,则DE的长为cm. 4.(24-25八上·天津泰达中学期中)如图，ABC是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上， 连接ED交线段BC于点F,过点F作FN⊥AC于点N,DB=3CN,EF=FD,则. (1)∠CFN=: (2)若BC=14,则AW=一 D 5.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，平面直角坐标系中有点A(-1,0)和y轴上 一动点B(0,a,其中a>0,以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角ABC，,设点C坐标为(c,d) B A 0 (1)当a=2,则C点的坐标为一； (2)动点B在运动过程中，c+d= 6.(24-25八上·天津西青区杨柳青第二中学期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC.若∠DAB的角平 分线AE交CD于E,连接BE,且BE边平分∠ABC,得到如下结论：①LAEB=90°；②BC+AD=AB ;③BE=，CD,④BC=CE,那么以上结论正确的是一·（填序号） 2 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B E 7.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN 是等边三角形.AN与CM交于点E,BM与CN交于点F,AN与BM交于点D.下列结论：①AN=BM;② CD⊥EF;③△ECF是等边三角形；④DC平分∠ADB;⑤MD+DF=AE.其中正确的是一（填序 号) A B 8.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+LB=180°. D (1)求证：2AE=AB+AD. (2)当AD=4,BE=3时，AB=(直接写出结果) 9.(24-25八上·天津第六十一中学期中)已知：线段AC、BD交于O,∠A0B为钝角，AB=CD, BF⊥AC于F,DE⊥AC于E,AE=CF.求证：BO=DO. B 4 10.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，A、C、D、B四点共线，且 AC=BD,LE=LF,LADE=LBCF.求证：DE=CF. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A C B 11.(24-25八上·天津河北区·期中)如图所示，直线AB交x轴于点A4,0,交y轴于点B(0,-4). V个 M D B B 图1 图2 (I)如图1，若点C的坐标为-1,0)，且AH⊥BC于点H,AH交OB于点P,求证：△OAP≌△OBC. (2)如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD,过D作DN⊥DM交x轴于N点， 当M点在y轴正半轴上运动的过程中， ①线段OM与AN有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子S△Dw-SDv的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围； 若不改变，写出该式子的值， 12.(24-25八上·天津南开区期中)在ABC中，∠C=∠B=50°，点D在边BC上运动（点D不与点B,C重 合)，连接AD,在△ADC内部作∠ADE=50°，DE与AC边相于点E, D 图1 图2 (I)如图1，当∠BDA=100°时，LEDC=(度)，∠AED=(度)； (2)如图2，若AC=DC,证明：△ABD≌△DCE; (3)在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时∠BDA的度数；若不 可以，请说明理由， 13.(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学期中)如图，AD与BC相交于点0，A0=C0,∠B=∠D,求证： AB=CD. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 14.(24-25八上·天津泰达中学期中)在ABC中，AB=AC. D 图1 图2 (I)尺规作图：在图1中作∠ABC的角平分线，交AC于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图2，在(1)条件，若BD1AC,求证：ABC为等边三角形 15.(24-25八上·天津第六十一中学期中)(1)如图①，点D、A、B在一条直线上，∠D=∠B=90°， EA⊥AC,EA=AC,求证：AD=BC; (2)如图②，在ABC中，AG⊥BC于点G,以点A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外 作等腰直角三角形BAE和等腰直角三角形CAF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为点P、Q,EP与 FQ之间有怎样的数量关系？证明你的结论 E A B G 图① 图② 16.(24-25八上·天津东丽区华新共同体期中)如图是由小正方形组成的6×5的网格.每个小正方形的顶点 叫做格点，A、B是格点，C是网格上的点，仅用无刻度的直尺画出BC的中点O,再将AB平移到CD,使 点A的对应点为点C. B 17.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)解答下列各题： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D G---- DF 图① 图② 图③ (I)特例探究：如图①，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上两点，LEAF=45°，探究BE、EF、DF之 间的数量关系.小明是这么思考的：延长FD,截取DG=BE,连接AG,易证△ADG≌△ABE,从而得到 AG=AE,再由SAS证明△AGF≌△AEF,直接得出结论：； (2)一般探究：如图②，四边形ABCD中，AD=AB,LB与∠D互补，E、F,分别是BC、CD上两点，且满 足∠BAF-∠BAD,探究BE、ER、DF之间的数量关系；说明理由。 (3)实际应用：如图③，四边形ABCD中，AB=AD,AC=8,LDAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积 为 (直接写出结果)》 18.(24-25八上·天津滨海新区塘沽第一中学期中)如图，ABC为等边三角形，AB=6,点D是直线BC上 一点，连接AD,以AD为边作等边ADE,连接CE. 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段BC的中点时，CE= ，LDCE= (2)如图2，当点D在BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE; (3)在(2)的条件下探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系？并说明理由 19.(24-25八上·天津和平区·期中)如图1，点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点，且 BM=CN,AM交BN于点P. B N 图1 图2 (I)求∠APN的度数： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)将上述正五边形改成正六边形，如图2，其他条件不变，则LAPN=一， (3)探究：改成正n边形(n25),其他条件不变，则∠APN=-·(用含有n的式子表示) 20.(24-25八上·天津西青区富力中学期中)在等边ABC中，线段AM为BC边上的高，点D是直线AM 上的一个动点，以CD为一边，在CD的下方作等边aCDE,连接BE. D D M M 图① 图② (I)填空：如图①，当点D在线段AM上时，∠EBC=_。 (2)如图②，当点D在线段AM的反向延长线上时，求LEBC的度数； 21.(24-25八上·天津和平区汉阳道中学期中)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做 倍长中线法 B D 图(1) 图(2) (I)如图(I),AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 ADC≌EDB,其中判定全等的依据为：-· (2)如图(2)，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证：AE=2AD 目目 考点03 全等三角形的性质与L综合 1.(24-25八上·天津滨海新区大港第六中学期中如图，△DAC和aEBC均是等边三角形，A、C、B三点共 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线，AE与BD相交于点P,AE与BD分别与CD,CE交于点M,N.则下列结论：①ACE≌DCB;② ∠DPA=60°；③AC=DN;④EM=BN.其中正确的结论有() D B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(24-25八上天津南开区期中)如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等 边ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PO.有以下 五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB=60°.其中正 确结论的个数为() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25八上·天津外国语大学附属滨海外国语学校期中)如图，已知CE平分∠ACD,0E平分 LAOB,EF⊥OA,EG⊥0OB,下面四个结论：①DE平分∠CDB;②LOED=∠OCD;③ ∠CED=90°+号∠A0B:④Sar+Sac=S2ce其中正确的个数是（) DG A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25八上·天津河北区·期中如图，AD为LCAF的角平分线，BD=CD,过点D作DE⊥AC于E, DF⊥AB交BA的延长线于F,则下列结论：①△CDE口△BDF;②CE=AB+AE;③LBDC=∠BAC; ④∠DAF=LCBD,其中正确结论的序号