1.1 正数和负数 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

1.1 正数和负数 学习目标 1. 理解正数和负数的意义，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正数和负数表示日常生活中具有相反意义的量。 3. 知道0既不是正数也不是负数，理解0在有理数体系中的作用。 4. 初步认识有理数的概念，为后续学习有理数分类打下基础。 知识点讲解 1. 数的产生和发展 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到各种数量。这些数量有的可以用我们以前学过的数（如1, 2, 3, ..., 0.5,等）来表示，但有时还会遇到一些具有相反意义的量。例如： · 零上温度和零下温度 · 前进和后退 · 收入和支出 · 上升和下降 为了更简洁、准确地表示这些具有相反意义的量，人们引入了负数。 2. 正数的定义 大于0的数叫做正数。 例如：3, 5.8,, 100等都是正数。 正数前面有时可以加上“+”号（读作“正号”），例如：+3, +5.8,, +100。 “+”号通常可以省略不写，所以3通常读作“三”，而不是“正三”。 3. 负数的定义 在正数前面加上符号“-”（读作“负号”）的数叫做负数。 例如：-3, -5.8,, -100等都是负数。 负数前面的“-”号不能省略。 4. 0的意义 0既不是正数，也不是负数。 0是正数和负数的分界点。它不仅可以表示“没有”，在实际问题中还可以表示特定的基准量，例如0℃表示一个特定的温度，海拔0米表示海平面的平均高度。 5. 用正数和负数表示具有相反意义的量 要表示具有相反意义的量，首先要规定其中一个量为正，则另一个量就用负表示。 常见的表示相反意义的量有： · 若规定向东为正，则向西为负； · 若规定收入为正，则支出为负； · 若规定上升为正，则下降为负； · 若规定零上温度为正，则零下温度为负； · 若规定高于海平面为正，则低于海平面为负。 在表示时，要明确单位。 6. 正数和负数的读写 · 正数的读法：“+”读作“正”，后面是几就读作几。例如，+5读作“正五”，5（省略“+”号）读作“五”。 · 负数的读法：“-”读作“负”，后面是几就读作几。例如，-5读作“负五”。 · 正数的写法：可以在数字前面加“+”号，也可以不加。例如，正三写作+3或3。 · 负数的写法：必须在数字前面加“-”号。例如，负三写作-3。 例题解析 例题1：判断下列各数哪些是正数，哪些是负数。 +6， -8， 75， 0，， 0.04， -2.3 例题2：用正数和负数表示下列具有相反意义的量。 （1）某人向东走了30米，又向西走了40米。（规定向东为正） （2）某商店本月盈利1200元，上月亏损200元。（规定盈利为正） （3）珠穆朗玛峰高于海平面约8848米，吐鲁番盆地低于海平面约155米。（规定高于海平面为正） 例题3：下列说法正确的是（ ） A. 一个数，不是正数就是负数 B. 0是正数 C. 0不是有理数 D. 负数一定比正数小 例题4：某仓库一周内进出货物的情况如下（单位：吨，运进为正）： +50， -30， +40， -25， -45， +35， -10。 （1）一周内，仓库共运进货物多少吨？共运出货物多少吨？ （2）一周结束时，仓库的货物比原来增加了还是减少了？变化了多少吨？ 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 在-2，0，1，3这四个数中，负数是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 2. 下列各数中，不是负数的是（ ） A. -3 B.. 0 D. -0.1 3. 如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作（ ） A. -5℃ B. -3℃ C. +3℃ D. +5℃ 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正数都带有“+”号 B. 不带“-”号的数都是正数 C. 负数一定带有“-”号 D. 0是最小的正数 5. 规定电梯上升为正，那么电梯下降5层应表示为（ ） A. +5层 B. -5层 C. 0层 D.层 二、填空题 1. 若向东走10米记作+10米，则向西走15米记作________米。 2. 海平面的海拔高度为0米，某山峰高出海平面1200米，记作________米；某盆地低于海平面200米，记作________米。 3. 在数 -1， 0， 2.5，， -1.732， 100中，正数有________________，负数有________________。 4. 如果收入1000元记作+1000元，那么支出800元应记作________元。 5. 一种零件的标准质量是50克，超过标准质量的克数记作正数，不足的记作负数。现有一个零件质量为48克，应记作________克。 三、解答题 1. 把下列各数分别填在相应的括号内： +8， -0.275，， 0， -1， 3.14，， -(-2)， -|+3| 正数集合：{ ... } 负数集合：{ ... } 0：{ ... } 2. 某工厂生产一批零件，规定直径为50mm，现抽查了10个零件，测得它们的直径与规定直径的差如下（单位：mm，超出为正）： +0.03， -0.01， +0.02， -0.03， 0， +0.01， -0.02， 0， +0.04， -0.01 （1）这10个零件中，直径最大的是多少mm？最小的是多少mm？ （2）这10个零件的直径与规定直径的总偏差是多少mm？ 3. 一只蜗牛从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm）： +5， -3， +10， -8， -6， +12， -10 （1）蜗牛最后是否回到了出发点O？ （2）蜗牛离开出发点O最远时是多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒米，则蜗牛一共得到多少粒米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 正数和负数 学习目标 1. 理解正数和负数的意义，能正确判断一个数是正数还是负数。 2. 会用正数和负数表示日常生活中具有相反意义的量。 3. 知道0既不是正数也不是负数，理解0在有理数体系中的作用。 4. 初步认识有理数的概念，为后续学习有理数分类打下基础。 知识点讲解 1. 数的产生和发展 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到各种数量。这些数量有的可以用我们以前学过的数（如1, 2, 3, ..., 0.5,等）来表示，但有时还会遇到一些具有相反意义的量。例如： · 零上温度和零下温度 · 前进和后退 · 收入和支出 · 上升和下降 为了更简洁、准确地表示这些具有相反意义的量，人们引入了负数。 2. 正数的定义 大于0的数叫做正数。 例如：3, 5.8,, 100等都是正数。 正数前面有时可以加上“+”号（读作“正号”），例如：+3, +5.8,, +100。 “+”号通常可以省略不写，所以3通常读作“三”，而不是“正三”。 3. 负数的定义 在正数前面加上符号“-”（读作“负号”）的数叫做负数。 例如：-3, -5.8,, -100等都是负数。 负数前面的“-”号不能省略。 4. 0的意义 0既不是正数，也不是负数。 0是正数和负数的分界点。它不仅可以表示“没有”，在实际问题中还可以表示特定的基准量，例如0℃表示一个特定的温度，海拔0米表示海平面的平均高度。 5. 用正数和负数表示具有相反意义的量 要表示具有相反意义的量，首先要规定其中一个量为正，则另一个量就用负表示。 常见的表示相反意义的量有： · 若规定向东为正，则向西为负； · 若规定收入为正，则支出为负； · 若规定上升为正，则下降为负； · 若规定零上温度为正，则零下温度为负； · 若规定高于海平面为正，则低于海平面为负。 在表示时，要明确单位。 6. 正数和负数的读写 · 正数的读法：“+”读作“正”，后面是几就读作几。例如，+5读作“正五”，5（省略“+”号）读作“五”。 · 负数的读法：“-”读作“负”，后面是几就读作几。例如，-5读作“负五”。 · 正数的写法：可以在数字前面加“+”号，也可以不加。例如，正三写作+3或3。 · 负数的写法：必须在数字前面加“-”号。例如，负三写作-3。 例题解析 例题1：判断下列各数哪些是正数，哪些是负数。 +6， -8， 75， 0，， 0.04， -2.3 解： 正数是大于0的数。 +6 是正数； 75 是正数； 0.04 是正数。 负数是在正数前面加“-”号的数（0除外）。 -8 是负数； 是负数； -2.3 是负数。 0既不是正数，也不是负数。 答案：正数：+6，75，0.04；负数：-8，，-2.3。 解析：根据正数和负数的定义进行判断。大于0的数是正数，在正数前加“-”号的数是负数，0既不是正数也不是负数。 例题2：用正数和负数表示下列具有相反意义的量。 （1）某人向东走了30米，又向西走了40米。（规定向东为正） （2）某商店本月盈利1200元，上月亏损200元。（规定盈利为正） （3）珠穆朗玛峰高于海平面约8848米，吐鲁番盆地低于海平面约155米。（规定高于海平面为正） 解： （1）规定向东为正，则向西为负。 向东走30米表示为 +30米； 向西走40米表示为 -40米。 （2）规定盈利为正，则亏损为负。 本月盈利1200元表示为 +1200元； 上月亏损200元表示为 -200元。 （3）规定高于海平面为正，则低于海平面为负。 珠穆朗玛峰高于海平面约8848米表示为 +8848米（或8848米）； 吐鲁番盆地低于海平面约155米表示为 -155米。 答案： （1）+30米，-40米； （2）+1200元，-200元； （3）+8848米（或8848米），-155米。 解析：解此类题的关键是明确题目中规定的哪个量为正，则与其意义相反的量就用负表示。表示时要带上相应的单位。 例题3：下列说法正确的是（ ） A. 一个数，不是正数就是负数 B. 0是正数 C. 0不是有理数 D. 负数一定比正数小 解： A选项：0既不是正数也不是负数，所以一个数除了正数和负数，还有0，A错误。 B选项：0既不是正数也不是负数，B错误。 C选项：0是整数，整数和分数统称为有理数，所以0是有理数，C错误。 D选项：负数在数轴上位于0的左侧，正数位于0的右侧，数轴上右边的数总比左边的数大，所以负数一定比正数小，D正确。 答案：D 解析：本题主要考查正数、负数、0以及有理数的基本概念。需要牢记0的特殊性：它既不是正数也不是负数，但它是有理数。同时，负数小于0，正数大于0，所以负数一定小于正数。 例题4：某仓库一周内进出货物的情况如下（单位：吨，运进为正）： +50， -30， +40， -25， -45， +35， -10。 （1）一周内，仓库共运进货物多少吨？共运出货物多少吨？ （2）一周结束时，仓库的货物比原来增加了还是减少了？变化了多少吨？ 解： （1）运进货物的总量为所有正数的和。 运进：50 + 40 + 35 = 90 + 35 = 125（吨） 运出货物的总量为所有负数的绝对值的和。 运出：|-30| + |-25| + |-45| + |-10| = 30 + 25 + 45 + 10 = 55 + 45 + 10 = 100 + 10 = 110（吨） （2）计算一周内货物的净变化量，即所有进出货物量的代数和。 50 - 30 + 40 - 25 - 45 + 35 - 10 = (50 - 30) + (40 - 25) + (-45 + 35) - 10 = 20 + 15 + (-10) - 10 = 35 - 10 - 10 = 25 - 10 = 15（吨） 因为结果为正，所以仓库的货物比原来增加了，增加了15吨。 答案： （1）共运进货物125吨，共运出货物110吨； （2）仓库的货物比原来增加了，增加了15吨。 解析： （1）运进为正，所以将所有正数相加即为总运进量；运出为负，将所有负数的绝对值相加即为总运出量。 （2）将所有进出货物的数量（带正负号）相加，若结果为正，则表示增加；若结果为负，则表示减少；结果的绝对值即为变化的吨数。这里按照题目要求进行脱式计算，逐步得出结果。 巩固练习 一、选择题（每题只有一个正确答案） 1. 在-2，0，1，3这四个数中，负数是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 2. 下列各数中，不是负数的是（ ） A. -3 B.. 0 D. -0.1 3. 如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作（ ） A. -5℃ B. -3℃ C. +3℃ D. +5℃ 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正数都带有“+”号 B. 不带“-”号的数都是正数 C. 负数一定带有“-”号 D. 0是最小的正数 5. 规定电梯上升为正，那么电梯下降5层应表示为（ ） A. +5层 B. -5层 C. 0层 D.层 二、填空题 1. 若向东走10米记作+10米，则向西走15米记作________米。 2. 海平面的海拔高度为0米，某山峰高出海平面1200米，记作________米；某盆地低于海平面200米，记作________米。 3. 在数 -1， 0， 2.5，， -1.732， 100中，正数有________________，负数有________________。 4. 如果收入1000元记作+1000元，那么支出800元应记作________元。 5. 一种零件的标准质量是50克，超过标准质量的克数记作正数，不足的记作负数。现有一个零件质量为48克，应记作________克。 三、解答题 1. 把下列各数分别填在相应的括号内： +8， -0.275，， 0， -1， 3.14，， -(-2)， -|+3| 正数集合：{ ... } 负数集合：{ ... } 0：{ ... } 2. 某工厂生产一批零件，规定直径为50mm，现抽查了10个零件，测得它们的直径与规定直径的差如下（单位：mm，超出为正）： +0.03， -0.01， +0.02， -0.03， 0， +0.01， -0.02， 0， +0.04， -0.01 （1）这10个零件中，直径最大的是多少mm？最小的是多少mm？ （2）这10个零件的直径与规定直径的总偏差是多少mm？ 3. 一只蜗牛从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：cm）： +5， -3， +10， -8， -6， +12， -10 （1）蜗牛最后是否回到了出发点O？ （2）蜗牛离开出发点O最远时是多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒米，则蜗牛一共得到多少粒米？ 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：A 解析：负数是小于0的数，在-2，0，1，3中，只有-2是负数，故选A。 2. 答案：C 解析：负数是在正数前面加上“-”号的数（0除外）。-3、、-0.1都是负数，0既不是正数也不是负数，故选C。 3. 答案：B 解析：规定零上为正，则零下为负，所以零下3℃记作-3℃，故选B。 4. 答案：C 解析：A选项，正数的“+”号可以省略，如5是正数但不带“+”号，A错误；B选项，0不带“-”号，但0不是正数，B错误；C选项，负数一定带有“-”号，C正确；D选项，0既不是正数也不是负数，D错误。故选C。 5. 答案：B 解析：规定电梯上升为正，则下降为负，下降5层应表示为-5层，故选B。 二、填空题 1. 答案：-15 解析：向东为正，向西则为负，向西走15米记作-15米。 2. 答案：+1200（或1200）， -155 解析：高于海平面为正，山峰高出海平面1200米记作+1200米（或1200米）；低于海平面为负，盆地低于海平面155米记作-155米。 3. 答案：2.5，，100； -1，-1.732 解析：正数是大于0的数，有2.5，，100；负数是小于0的数，有-1，-1.732；0既不是正数也不是负数。 4. 答案：-800 解析：收入为正，则支出为负，支出800元记作-800元。 5. 答案：-2 解析：标准质量为50克，48克比标准质量少2克，不足记为负，所以应记作-2克。 三、解答题 1. 解： 先化简各数：-(-2) = 2， -|+3| = -3。 正数集合：{ +8， 3.14，， -(-2)} 负数集合：{ -0.275，， -1， -|+3|} 0：{ 0 } 答案： 正数集合：{ +8， 3.14，， -(-2) } 负数集合：{ -0.275，， -1， -|+3| } 0：{ 0 } 解析：先将需要化简的数进行化简，如-(-2)是2（正数），-|+3|是-3（负数）。然后根据正数、负数和0的定义进行分类。正数是大于0的数，负数是小于0的数，0单独列出。 2. 解： （1）直径最大的零件直径为：50 + 0.04 = 50.04（mm） 直径最小的零件直径为：50 + = 49.97（mm） （2）总偏差为各偏差之和： + + + + 0 + + + 0 + + = 0.03 - 0.01 + 0.02 - 0.03 + 0 + 0.01 - 0.02 + 0 + 0.04 - 0.01 = + + + 0 + 0 + 0.04 - 0.01 = 0 + 0 + 0 + 0.04 - 0.01 = 0.03（mm） 答案： （1）直径最大的是50.04mm，最小的是49.97mm； （2）这10个零件的直径与规定直径的总偏差是0.03mm。 解析： （1）最大直径是标准直径加上最大的正偏差，最小直径是标准直径加上最小的负偏差（或减去最大的正偏差的绝对值）。 （2）总偏差是将所有单个偏差（带正负号）相加得到的代数和。 3. 解： （1）将所有路程相加： (+5) + (-3) + (+10) + (-8) + (-6) + (+12) + (-10) = 5 - 3 + 10 - 8 - 6 + 12 - 10 = (5 - 3) + (10 - 8) + (-6 + 12) + (-10) = 2 + 2 + 6 - 10 = 10 - 10 = 0（cm） 因为结果为0，所以蜗牛最后回到了出发点O。 （2）依次计算每次爬行后距离出发点O的距离： 第一次爬行后：|+5| = 5 cm 第二次爬行后：|+5 - 3| = |2| = 2 cm 第三次爬行后：|2 + 10| = |12| = 12 cm 第四次爬行后：|12 - 8| = |4| = 4 cm 第五次爬行后：|4 - 6| = |-2| = 2 cm 第六次爬行后：|-2 + 12| = |10| = 10 cm 第七次爬行后：|10 - 10| = |0| = 0 cm 所以，蜗牛离开出发点O最远时是12厘米。 （3）将所有路程的绝对值相加，即为总爬行路程： |+5| + |-3| + |+10| + |-8| + |-6| + |+12| + |-10| = 5 + 3 + 10 + 8 + 6 + 12 + 10 = 54（cm） 每爬行1cm奖励一粒米，所以一共得到54粒米。 答案： （1）蜗牛最后回到了出发点O； （2）蜗牛离开出发点O最远时是12厘米； （3）蜗牛一共得到54粒米。 解析： （1）若蜗牛回到出发点O，则所有爬行路程的代数和为0。 （2）通过计算每次爬行后距离出发点的距离（绝对值），并比较大小，找出最大值。 （3）总奖励数与爬行方向无关，只与爬行的总路程（各段路程的绝对值之和）有关。 学科网（北京）股份有限公司 $