精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 4. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小 【详解】解：因为，所以为偶函数， 所以， 当时，在上为增函数， 因为，， 所以， 因为在上为增函数， 所以， 所以， 故选：A 【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题. 5. 向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得向量，根据向量与共线，结合向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则，可得， 因为向量与共线，可得，解得. 故选：C． 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，设出的坐标，结合三角形面积公式计算出坐标值，进而利用两点间距离公式求解． 【详解】 ， ，即，抛物线的方程为． 设，则的面积为： ，解得，将代入，解得， ． 故答案为：D． 7. 将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（ ） A. 直线是图像的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再平移图像得到的解析式，然后利用对称轴，周期，对称中心和单调性即可逐个选项判断. 【详解】由 ， 则图像向右平移个单位长度可得， ， 因为， 所以不是图像的一条对称轴，A错； 由，得的最小正周期为，B错； 由， 所以点是图像的一个对称中心，C正确； 由，则， 所以在上有增有减，D错. 故选：C 8. 双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为 A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：假设点在右支上，由双曲线定义可知 的面积为，故选A 考点：双曲线方程及性质 【方法点睛】双曲线椭圆的焦点三角形面积的问题是常考的题目，求解时主要利用余弦定理和双曲线椭圆定义，双曲线的焦点三角形面积公式为椭圆的焦点三角形面积公式为其中，以椭圆为例，公式推导如下： ，双曲线焦点三角形面积公式推导与椭圆类似 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可. 【详解】对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以， 因为底面是正三角形，为棱的中点，所以， 又面，所以面， 因为面，所以，故A正确； 对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角， 因为面，所以，又， 所以，则，故B正确； 对于C，在正中，，则， 所以，故C错误； 对于D，记的中点为，连接，如图， 因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，则， 又面，面，所以直线面，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第百分位数为 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；对于B，根据条件直接求出第百分位数，即可求解；对于C，利用相关系的定义，即可求解；对于D，利用线性回归方程经过样本中心，即可求解. 【详解】对于A，因为，又，则，正确， 对于B，因为，所以数据的第百分位数为，错误， 对于C，因为线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，正确， 对于D，由题知，解得，正确. 故选：ACD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A. 函数的极大值点为2 B. 函数有2个零点 C. 函数在点处的切线方程为 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于，由奇函数性质验算即可；对于，由零点定义解方程即可；对于，只需求出即可；对于，只需算出函数的值域即可. 【详解】对于，当时，，令，得．当时，在单调递增；当时，在单调递 减，所以的极大值点为2，故对； 对于时，令，解得，由是定义在上的奇函数，所以时，．又，故函数有3个零点，故不对； 对于，对，求导得，所以，故所求切线为，即，所以不对； 对于，当时，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且当时，时，，所以．由是定义在上的奇函数，故当时，，故的值域为，所以对， 故选; 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知 ， ，则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】注意四棱台的对称性特征，利用上下底面中心连线建立方程． 【详解】上底正方形外接圆圆心，半径，下底正方形外接圆圆心，半径， 设球心O半径R， ，， 该四棱台外接球的表面积. 故答案为：. 14. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，且， 即， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 又因为且，可得， 所以，当且仅当时，等号成立，即 所以面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知等差数列的公差为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若求数列的前n项和， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，联立方程组，求得的值，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）知，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，等差数列的公差为，且， 则，且， 联立方程组，解得，则， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 则 所以数列的前n项和. 16. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论； （2）结合（1）中分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案. 【小问1详解】 定义域为R，， 令，解得或， ①当时， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 由（1）知时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； 时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； 时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，，即的取值范围是. 17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为为的中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为为的中点，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可证平面，再由线面垂直的性质，可证，根据三线合一可知为等腰三角形，即可证明； （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点垂直平面为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 取的中点，连接．因为，所以． 由（1）平面，平面，所以平面平面． 因为平面平面，平面，， 所以平面，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 所以，即，可取． 同理，可得平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面的夹角为. 18. 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内． 【答案】（1） （2） 如图，设，由题意，， 则直线的方程为，代入，整理得：， 则，即，，故， 直线的方程为，代入，整理得：， 则，即，，故， 于是， ， 因，故可得， 即为钝角，因圆的直径所对的圆周角为直角，故点在以为直径的圆内. 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，写出直线的方程，将它们分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，计算并由推得为钝角，从而证得结论. 【小问1详解】 由题意，，解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 【答案】（1）分布列如下， 0 1 2 P （2） 【解析】 【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案； （2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解． 【小问1详解】 X的可能取值为0,1,2， 当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， 当时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． 【小问2详解】 两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值. 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一学期第一次月考试题 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（ ） A. 直线是图像的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递增 8. 双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为 A. 1 B. C. 2 D. 4 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第百分位数为 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（　　） A. 函数的极大值点为2 B. 函数有2个零点 C. 函数在点处的切线方程为 D. 函数的值域为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知 ， ，则 的最小值为_____. 13. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______． 14. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15. 已知等差数列的公差为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若求数列的前n项和， 16. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面． （1）证明：； （2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内． 19. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $