第九章 第3节 二项式定理（课时冲关）-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

方法点拨/ 对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数） 问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中 分别得到特定的项，再求和即可. [跟踪训练] (2025·台州市一模)在(2x一1)2十(2x-1)3+… 十(2x一1)8的展开式中，含x2项的系数 为 解析：在(2x-1)2十(2x-1)3+…十(2x-1)8的 展开式中，含x2项为C(2x)2-C(2x)2+C (2x)2-C(2x)2+C(2x)2-C(2x)2+C8(2x)2, 则含x2项的系数为4×(1-3十6-10十15-21十28) =64. 答案：64 [命题角度2]几个多项式积的展开式中的特定项 (系数)问题 2.(2025·湖北八市联考)(1+x2)(1十x)的展开式 中x的系数为 解析：(1十x)5的展开式通项为T+1=C·x(0≤ k≤5，k∈N),因为(1+x2)(1+x)5=(1+x)5+ x2(1十x)5,在(1十x)5中，其通项为C·x(0≤k ≤5，k∈N),令k=4,在x2(1十x)5中，展开式通项 为x2C5·x=C·x+2(0≤r≤5，r∈N),令r+2 =4,可得r=2,所以，(1十x2)(1十x)5的展开式中 x4的系数为C+C号=15. 答案：15 方法点拨/ 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题， 般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用 二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适 当地运用分类方法，以免重复或遗漏， [跟踪训练 (2025·准安二模)(1一￥)x十)的展开式中 x2y°的系数为 (用数字作答). 课时分组冲关 对厅 1.在(x一2)8的展开式中，x的系数为 A.16 B.-16 C.24 D.-24 解析：B[(x一2)8的展开式的通项为T,+1=C%· x8'·(-2)',令8-r=7,得r=1. .在(x一2)8的展开式中，x7的系数为一2×C%= -16.故选B.] 2设〔 的展开式中x3的系数为A,二项式系 数为B,则哈 A.4 B.-4 C.25 D.-2 ·35 上篇：第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 解析：原式等于(x十y)8一义(x十y)8,由二项式定理， 其展开式中x2y的系数为C⑧-C=C%-C8=-28. 答案：-28 [命题角度3]三项展开式中特定项（系数）问题 3.(2025·龙岩市模拟)已知二项式1+1一2z 则展开式的常数项为 A.-1 B.1 C.-47 D.49 解析：B [二项式（1+-2 [+(2] +4(日-2a+6(-2x】 +42-2✉+(-2八 .二项式展开式中的常数项产生在1,6 分别是1,6×2· ·(-2x),C ·(-2x)2: 它们的和为1一24+24=1.故选B.] 方法点拨/ 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决， 把其中两项看做整体展开，再把这两项继续展开， 要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法， 以免重复或遗漏， [跟踪训练] (2025·黄冈中学押题卷)已知等差数列{an}的第5 项是(-+2y 展开式中的常数项，则a2十a8 A.20 B.-20 C.40 D.-40 解析：D +2 展开式中的常数项为 cc) ·(2y)°=-20，（题眼） .a5=-20,.a2十a8=2a5=-40,故选D.] 立课时作业P282 素能提升规范演练 解析：A[T+1=Cx C(-2)2x5-号，令6- =3,即=2，所以T,= 2 C%(-2)2x3=60z3,所以x3的系数为A=60,二项 式系数为B=Cg=15,所以合=0=4.] B-15 3.(2025·北京质检)若(2x-1)4=a4x+ax3+ a2x2十a1x十a0,则ao十a2十a4= A.40B.41 C.-40D.-41 解析：B[当x=1时，1=a4十a3十a2十a1十a①； 当x=-1时，81=a4-a十a2-a1十an②；①+② 得原式=41.] 3 艺考生文化课百日冲关·数学 4.(多选题)二项式(2x一1)7的展开式的各项中，二 项式系数最大的项是 A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 解析：CD[本题考查二项式系数的性质.因为二 项式(2x一1)？展开式的各项的二项式系数为C(k =0,1,2,3,4,5,6,7),易知当k=3或k=4时，C 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4 项和第5项.故选CD.] 5.(多选题)(2025·济宁二模)若(2.x一3)12=a。十a1 (x-1)+a2(x-1)2+…十an(x-1)"+ a12(x-1)12,则 () A.a6=5120 B.a,-a1十a2十…-ag十ao-a11十a12=3 C.a1十a2+…十a12=-2 D号+学+…+2器+器+2器=-1 解析：BD[(2x-3)2=a。十a1(.x-1)十a2(x 1)2+…十a1(x-1)”十a12(x-1)12,令x-1=t, 则(2t-1)2=ao十a1t十a2t2十…十a1mtl十a12t2, 对于A,at°=C2(2t)·(-1)3=-112640t,. ag=-112640,故A错误；对于B,令t=-1,得a 一a1十a2十…一ag十a1w一a11十a12=312,故B正确； 对于C,令t=1,得ao十a1十a2+…十a1m十a12=1, 令t=0,则ao=1,.a1十a2十…十a12=1-1=0,故 C错误：对于D令=分得a,十号十号十…十 十器+器-0，所以号+号+…+器+器+ 一ao=一1，故D正确.故选BD.] 6.(2024·重庆二模)(2- 的展开式中常数项 为 解析：根据二项式的展开式：T,+1=C6·(一1)'· (2)5-'x-6(r=0,1,2,3,4,5,6):当r=4时，常数 项为60. 答案：60 7.(2025·高三下·江苏南通·阶段练习)若C= 4C-Ca∈.则二项式(2z) 展开式中 常数项为 .(结果用数字作答) 解析：由题意得，n≥2且n∈N,由C=4(C,-C) 得4a,D=401-1)→n=8,所以(2x)》 2 的展 开式通项为T1=心·(2)·()=( 1)y·28·C8·x8-,令8-2r=0→r=4,所以二 项式(2x)展开式中零教项为(-1)…2… C8=(-1)·28-4.Cg=1120. 答案：1120 ·35 8.(2024·全国甲卷（理）) 3+x) 的展开式中，各 项系数中的最大值为 解析：（+） 的展开式的通项为T+1 c() ·x*,设第k十1项的系数最大， c(3)≥c3)". 解得9<k<的，因为kC乙，所以k=8 所以展开式中第9项的系数最大，为C二（行）-5， 答案：5 八巴如匠)EN)的熙开式中第五项的系 数与第三项的系数的比是10：1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x立的项. 解：由题意知，第五项系数为C·(一2)， 第三项的系数为C·(-2),则有C:(一2) C8·(-2)= 9化简得-5m24=0, 解得n=8或n=-3(舍去). (1)令x=1得各项系数的和为(1一2)8=1. (3通项公克T-=C（) =C(-2)yx子.令8，'-2r=是，得r=1,故展 2 开式中含x立的项为T2=一16x. 10.已知fn(x)=(1+x)”. (1)若f2s(x)=a,十a1x十…十a2osx218,求a1 十a3十…十a2m5十a217的值； (2)若g(x)=f6(x)十2f,(x)+3f8(x), 求g(x)中含x项的系数. 解：(1)因为fn(x)=(1+x)”, 所以f218(x)=(1十x)218, 又f2o1s(x)=an十a1x十…十a218x2o8, 所以f218(1)=a,十a1十…十a21s=22018,① f2018（-1)=a0-a1十…+a2m7十a2018=0,② ①-②得2(a1十a3十…十a215十a217)=2218, 所以a1十a十…十a2015十a207=207 (2)因为g(x)=f(x)+2f(x)十3f8(x),所以g (x)=(1+x)+2(1+x)7+3(1+x)8.g(x)中含 x°项的系数为C8+2C9+3C8=99.