第九章 第3节 二项式定理-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第3节　二项式定理 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1.二项展开式中特定项或系数问题，达成直观想象和数学运算的素养． 2．二项式系数及项的系数问题，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．多项式展开式中的特定项或系数问题，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　预计2026年的高考将从以下四个方面进行考查： 1．二项展开式中特定项或系数． 2．二项式展开式系数最大项． 3．二项式系数与二项式系数和的计算． 4．二项式与其他知识的结合．一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属基础题型 　　　　　　　　对应学生用书P184 [必备知识] 1．二项式定理 (1)二项式定理：　(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)　； (2)通项公式：Tr＋1＝　Can－rbr　，它表示第　r＋1　项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即　 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是　递增　的 当k＞(n∈N*)时，是　递减　的 二项式系 数最大值 当n为偶数时，中间的一项　Cn　取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝　2n　. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　2n－1　. 　二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，…一直到C，C. [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　 ) (2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　　 ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 ) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　 ) (5)C－2C＋3C－…＋(－1)n－1nC＝0.(　　 ) (6)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(人教A版教材例题改编)二项式6的展开式中，常数项的值是(　　) A．240　　 B．60　　　 C．192　　 D．180 解析：A　[二项式6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝26－rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C＝16×＝240.故选A.] 2．(2024·北京卷)在(x－)4的二项展开式中，x3的系数为(　　) A．6　　　　　　　 B．－6 C．12 D．－12 解析：A　[(x－)4的展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k(－)k＝(－1)kCx4－，令4－＝3，解得k＝2，所以在(x－)4的展开式中，x3的系数为(－1)2C＝6.] 3．(2025·上饶市模拟)已知(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为(　　) A．－2　　 B．2　　　 C．－1　　 D．1 解析：A　[(2x－y)5＝(2x－y)5＋my(2x－y)5，(2x－y)5的展开式中不存在x3y4的项，存在x2y3的项的系数为C×22(－1)3， 故有(2x＋my)(x－y)5的展开式中x3y4的系数为C×22(－1)3m＝80，解得m＝－2，故选A.] 4．(2025·上海)在二项式(2x－1)5的展开式中，x3的系数为______． 解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法． ∵(2x－1)5展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－r.(－1)r＝(－1)rC25－r·x5－r 令5－r＝3， 得r＝2 ∴x3的系数为：C23(－1)2＝80 答案：80 5．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝____________；a1＋a2＋a3＋a4＝________. 解析：利用赋值法可求a0，利用换元法结合赋值法可求a1＋a2＋a3＋a4的值． 令x＝0，则a0＝1， 又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4， 故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4， 令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4， 令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15 答案：1　15 　　　　　　对应学生用书P185 考点一　二项展开式中特定项或系数问题(自主练透) [题组集训] 1.5的展开式中的x4系数为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．40　　 D．80 解析：C　[5的第k＋1项为Tk＋1＝C2kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系数为C×22＝40.] 2．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________． 解析：本题考查了二项式定理．求特定项系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)r＝(－1)rCx6－r，令6－r＝3，∴r＝3. ∴展开式中含x3的系数为(－1)3C＝－20. 答案：－20 3．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为____________． 解析：由题意可知，令x＝1得，展开式中各项系数的和是(1＋1)n＝32，所以n＝5，该二项式的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x5－r·1r，令5－r＝2，得r＝3，则x2项的系数为C＝10. 答案：10 求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念．一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负号)，它与a，b的取值有关，而二项式系数与a，b的取值无关． 考点二　二项式系数及项的系数问题(师生共研) [典例]　(1)(2025·马鞍山市二模)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3　　 B．5　　　 C．6　　 D．7 [解析]　D　[根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20； ∴20展开式的通项为 Tr＋1＝C·(x)20－r·r＝()20－r·C·x20－； 要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18；∴x的指数是整数的项共有7项．故选D.] (2)(2025·雅安市模拟)已知n展开式的各个二项式系数的和为128，则n的展开式中x2的系数(　　) A．448 B．560 C．7 D．35 [解析]　A　[由题意可知，2n＝128，得n＝7. ∴n＝7，其通项为Tr＋1＝C·(2)7－r·r＝27－r·C·x 取＝2，得r＝1.∴n的展开式中x2的系数为26×C＝448.故选A.] (3)(2025·青岛三模)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于________． 解析：根据题意，(x＋1)n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，令r＝2，则C＝15⇒n＝6. 答案：6 1．赋值法研究二项式的系数和问题 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . 2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等并最大． 3．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得． [跟踪训练] (2025·朝阳区三模)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：B　[在二项式n的展开式中， 令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n. 据二项展开式的二项式系数和为2n，∴B＝2n. ∴4n＋2n＝72，解得n＝3. ∴n＝3的展开式的通项为Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx， 令＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9，故选B.] 考点三　多项式展开式中的特定项或系数问题(多维探究) [命题角度1]　几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题　 1.4＋8的展开式中的常数项为(　　 ) A．32　　 B．34　　　 C．36　　 D．38 解析：D　[4的展开式的通项为Tm＋1＝ C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8－nn＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.] 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． [跟踪训练] (2025·台州市一模)在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项的系数为____________． 解析：在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项为C(2x)2－C(2x)2＋C(2x)2－C(2x)2＋C(2x)2－C(2x)2＋C(2x)2， 则含x2项的系数为4×(1－3＋6－10＋15－21＋28)＝64. 答案：64 [命题角度2]　几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题　 2．(2025·湖北八市联考)(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为________． 解析：(1＋x)5的展开式通项为Tk＋1＝C·xk(0≤k≤5，k∈N)，因为(1＋x2)(1＋x)5＝(1＋x)5＋x2(1＋x)5，在(1＋x)5中，其通项为C·xk(0≤k≤5，k∈N)，令k＝4，在x2(1＋x)5中，展开式通项为x2C·xr＝C·xr＋2(0≤r≤5，r∈N)，令r＋2＝4，可得r＝2，所以，(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为C＋C＝15. 答案：15 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． [跟踪训练] (2025·淮安二模)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____________(用数字作答)． 解析：原式等于(x＋y)8－(x＋y)8，由二项式定理，其展开式中x2y6的系数为C－C＝C－C＝－28. 答案：－28 [命题角度3]　三项展开式中特定项(系数)问题　 3．(2025·龙岩市模拟)已知二项式4，则展开式的常数项为(　　) A．－1 B．1 C．－47 D．49 解析：B　[二项式4＝4＝1＋4＋62＋43＋4， ∴二项式展开式中的常数项产生在1,62，4中； 分别是1,6×2··(－2x)，C·2·(－2x)2； 它们的和为1－24＋24＝1.故选B.] 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，把其中两项看做整体展开，再把这两项继续展开，要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． [跟踪训练] (2025·黄冈中学押题卷)已知等差数列{an}的第5项是6展开式中的常数项，则a2＋a8＝(　　) A．20 B．－20 C．40 D．－40 解析：D　[6展开式中的常数项为Cx3·C3·(2y)0＝－20，(题眼) ∴a5＝－20，∴a2＋a8＝2a5＝－40，故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $