第二章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

上篇：第二章函数、导数及其应用 第5节对数与对数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 对数及对数的运算性 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式 能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1.对数的基本运算，发展数学运质，以对数函数为载体的对 算素养」 数型函数的图象和性质，考 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描 点法或借助计算工具画出对数函数的图象， 2.对数函数的图象及应用，提升查函数值的大小比较及单 探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 直观想象和数学运算素养. 调性的应用，尤其是有关对 3.对数函数的性质及应用，提升数函数的复合函数是高考 3.知道对数函数y=log,x与指数函数y=a互 逻辑推理和数学运算素养 热点.主要以选择题、填空 为反函数(a>0,且a≠1) 题形式出现，属于中低档题 夯实引必备知识 对应学生用书P30 教材夯实强基固本 [必备知识] 3.对数函数及其性质 1.对数的概念 (1)概念：函数y=log。x(a>0,且a≠1)叫做对数函 (1)对数的定义：如果a'=N(a>0,且a≠1)，那么x 数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，十∞). 叫做以a为底N的对数，记作x=log。N,其中a (2)对数函数的图象与性质 叫做对数的底数，N叫做真数. 底 0<a<1 (2)两种常见对数 数 a>1 yt x=1 y=logx x=1 对数形式 特点 记法 图 (1.0) 象 071,0) 常用对数 底数为10 lg N y=logx 自然对数 底数为e In N 定义域：(0，+∞) 2.对数的性质、换底公式与运算性质 值域：R (1)对数的性质：①log.1=0;②loga=1;③a1,N= 性 当x=1时，y=0,即过定点(1,0) 质 N;④loga=b(a>0,且a≠1). 当x>1时，y>0; 当x>1时，y<0: (2)对数的运算法则 当0<x<1时，y≤0 当0<x<1时，y>0 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 ①log。(MN)=log.M+log.N; 4.反函数 指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数y= M ②1og-logM-log,N: logx(a>0,且a≠1)互为反函数，它们的图象关于 直线y=x对称. ③logM"=nlog M(n∈R): 重要结论对数函数的图象与底数大小的比较 ④1ogM=1og,M(m,n∈R,且m≠0. 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的 (3)对数的重要公式 横坐标为相应的底数， log.x ①换底公式：log,N=1og (a,b均大于零且不等 logx log b -y=1 于1)； ②1og.b= ，推广log.b·1og6c·logd logia 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在 log.d. 第一象限内从左到右底数逐渐增大。 ·55 艺考生文化课百日冲关·数学 [自主诊断] 4.(多选题)(2025·山东实验中学押题卷)已知函数 [思考辨析] f(x)=ln(e2十1)-x,则 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“义” A.f(In 2)=In (1)函数y=1og2(x十1)是对数函数. ( B.f(x)是奇函数 (2)logzz2=2logzz. ( C.f(x)在(0，+∞)上单调递增 (3)当x>1时，logx>0. ( ) D.f(x)的最小值为ln2 (4)对数函数y=logx(a>0且a≠1)的图象过定 解析：ACD[fln2)=ln(e2+1)-ln2=lh2, 5 点(1,0)，且过点(a,1), (日小函数图象只在 第一、四象限. A正确；f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-lne (5)函数y=ln }+x与y=1n(1+x)-ln(1-x)的 =ln1=1n(e+e),所以f(-x)=1n(e十 1x e 定义域相同， ( e)=f(x),所以f(x)为偶函数，B错误；当>0 答案：(1)× (2)×(3)×(4)/ (5)/ 时，y=e+e‘在(0，十o∞)上单调递增，因此y= [小题查验] ln(e十e)在(0，十∞)上单调递增，又f(x)为偶 1.(1og29)·(1og4)= ( 函数，所以f(x)在（一∞，0]上单调递减，所以f(x) A B合 C.2 D.4 的最小值为f(0)=ln2,D正确.] 解折：D[法一原式器·：微2一-4 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞) 1g2·1g3 法二：原式=21og3·o8 1og24 上为增函数，f3 =0,则不等式f(logx)>0的 =2×2=4.] 解集为 2.(2025·柳州模拟)设a=53,b=l0g.30.5,c= 解析：，f(x)是R上的偶函数， log0.4,则a,b,c的大小关系是 它的图象关于y轴对称. A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a :f(x)在[0，十∞)上为增 解析：D[由a=5.3>1>b=log.30.5>0>c= 函数， log30.4,∴.c<b<a.] .f(x)在（一∞，0]上为减 3.(2024·全国甲卷（理）)已知a>1且0ga0g.4 1 1 函数， 由（合）0，得()0， 1 1 3 解析：因为0g40g410ga之0g2a=2 “f(og42)>0→10g42<-号或1og+>3 所以(log2a+1)(1og2a-6)=0,而a>1,故log2a= →>2减0<3∴e(0,2)U2,+∞). 6,解得a=64. 答案：64 答案：(0，)U2,+∞) 跃升关键能力 对应学生用书P31 层级突破素养提升 考点一对数的基本运算（自主练透）》 [题组集训] 解析：原式= 1.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= V0g3)-2g3+21g3+3g2- 3 解析：根据题意有f(3)=log2(9十a)=1,可得9+ (1g3-1)·(1g3+21g2-1) a=2,所以a=-7. 答案：一7 1-1g3)…2g3+2g2-1D (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 2 2.g3)=1g9+1(1g27+lg8-1g个000) lg0.3·lg1.2 答案：-号 ·56· 上篇：第二章函数、导数及其应用 3.若log147=a,14=5,则用a,b表示log528 /题后反思/ 对数运算的一般思路 解析：.14=5，∴.log145=b,又1og147=a, (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化 42 成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 ∴.1og3528= og1428 1og147 2-a 正用对数运算性质化简合并. og14351og145+log147a+b (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算， 答案号 然后运用对数的运算性质，转化为同底对数真 数的积、商、幂的运算. 考点二 对数函数的图象及应用（子母变式） 核心素养 [子题1]将母题变为：若不等式z2一logx<0对x∈ 直观想象—数形结合法在对数函数问题中的应用 (0,)恒成立，则实数a的取值范围是 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数 型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零 解析：由x2-logx<0,得x2<logx, 点时，常利用数形结合求解.一些对数型函数、方程、 f (x)=22,f2 (x)=logx, 不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利 用数形结合法求解， 要使r（0,)时，不等式<g恒成立 [母题] 当0<r≤号时，4<1og,则a的取值范 只需f(x)=在(0,2） 上的图象在f2（x) 围是 ( logx图象的下方即可.当a>1时，显然不成立； (原 当0<a<1时，如图所示，要使 ty f(x)=x2 C.(1,2) D.(√2,2) [破题关键点]方法一：构造函数f(x)=4和 <1og在r(0,)上a成 2 f(x)=logx g(x)=logx,利用这两个函数图象的上下位置关 系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法. 立，南（小(） [解析]B[法一：构造函数 f(a)=4和g(x)=logx,当a 所以有（合）≤g解得≥品6a<1 >1时不满足条件，当0<a<1f叫 时，出两个数在0，]上 01号1 即实数a的取值范国是[房，) g(x) 的象，可知，f(合)g()即2<g则a 答案：后 [子题2] 将母题变为：当0<≤时丘<1og,x 所以a的取值范国为 则实数a的取值范围是 解析：若√E<logx在x∈ 法二：”0<x≤2.14≤2，l0gx>4>1, y√x 0<a<1,排除选项C,D:取a=t=, 1 0,4]成立，则0<a<1,且y 01 1 则有4位=2,10g号2=1，显然4<10g2不成立，排 =√元的图象在y=logx图象的 4 y=log.x 除选项A.] 下方，如图所示， ·57· 艺考生文化课百日冲关·数学 由图象知/F<1og.子， 解析：如图，在同一坐标系 中分别作出y=f(x)与 r0<a<1, y=一x十a的图象，其中 解得6<a<1 a表示直线在y轴上的截 lai>1. 距，由图可知，当a>1时， 直线y=一x十a与y= 即实数a的取值范围是 f(x)只有一个交点 答案：a>1 答案：（品 |规律总结/ 应用对数型函数的图象可求解的问题 [子题3] 将母题变为：已知函数f(x) (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对 0g2x,x>0 数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域 ,且关于x的方程f(x)十x一a=0有 (最值)、零点时，常利用数形结合思想. 3,x≤0 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 且只有一个实根，则实数a的取值范围是 函数图象问题，利用数形结合法求解， 考点三 对数函数的性质及应用（师生共研） [命题角度1]比较对数值的大小 即-1≤log.子≤1，即1loga1≤1og3≤loga 1.若a>b>0,0<c<1,则 A.log.c<logic B.log a<log.b 当>1时，得a1≤号<a,即u≥3 C.a<b D.c>c 解析：B[0<c<1,.当a>b>1时，log.c 当0<a1时，得u≥行≥a,得0<a≤号 logc,A项错误；：0<c<1,.y=logx在(0， 十o∞)上单调递减，又a>b>0,∴.loga<logb, 综上所述a的取值范国是(0，]U[3,十∞)。 B项正确； ,0<c<1,.函数y=x在(0，十∞)上单调 答案：(0，号]U[3,+∞) 递增， [命题角度3]与对数有关的复合函数问题 又a>b>0,.a>b,C项错误； ,0<c<1,y=c在(0，十∞)上单调递减， 3已知函数fu)=1og(-a-a)在-,]上 又.a>b>0,.c<c,D项错误.] 是增函数，则实数a的取值范围是 [命题角度2]解简单的对数不等式 2.已知f(x)=logx(a>0且a≠1)，如果对于任意 A.[-1,+∞) B【-1,) 的x∈[合，2]都有f代川≤1成立，则a的取值范围 c【-1] D.(-∞，-1] 为 解析：B[f(x)=log号（x2一ax一a）在 解析：：f(x)=logx, (-©，-]上是增画数，说明内层函数a() 则y=|f(x)的图象如图所示. -aa在(-，]上是减画鼓里)>0 由图知，要使x[合2]时恒有 成立，只需对称轴x=2≥-且(x)m ()>0,解得a[-1,)门 ·58· 上篇：第二章函数、导数及其应用 [命题角度4]利用对数函数的性质求参数 /规律总结/ x+6,x≤2， 对数函数性质及应用中应注意的问题 4.若函数f(x)= (a>0,且a≠1)的 3+logaz,x>2 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数 值域是[4，十o∞)，则实数a的取值范围是 函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间 解析：当x≤2时，f(x)=一x十6，f(x)在（一∞，2] 量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较 上为减函数，∴.f(x)∈[4，十∞)；当x>2时，若 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性 a∈(0,1)，则f(x)=3十logx在(2，+o∞)上为减函 质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单 数，f(x)∈（一∞，3十l0g2),显然不满足题意， 调性转化为一般不等式求解. a>1,此时f(x)在(2，十∞)上为增函数， (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合 f(x)∈(3+log2,+o∞)，由题意可知(3十log2, 函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问 +∞)二[4，+∞)，则3十log.2≥4，即1og。2≥1， 题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨 .1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]. 论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构 答案：(1,2] 成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 课时|分组冲关 对应课时作业P228 素能提升规范演练 11og号+1og6= 解析：B[设当N取10个单位、1.024×10°个单 位、4.096×10°个单位时所需时间分别为T1, A.1 B.2 C.5 D.6 T2,T3 解析：B[原式=1og(号×6=1og,2=21 由题意，T1=k10g210=6k10g210, T2=b1og2(1.024×10°)=1og2(21°×10) 2.(2025·全国一卷)已知2十1og2x=3十log3y=5十 =k(10+6log210), log之，则x,y,之的大小关系不可能是 ) T3=k10g2(4.096×10°)=k1og2（212×10°)= A.>y>z B.x>>y k(12+6log210), C.ya>z D.y>> 因为T2-T1=k(10+6log210)-6k1og210=10k= 解析：B[设2+log2x=3+logy=5+logz=t, 20,所以=2， 则x=22,y=33,之=55，取t=0,易知x>y> 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210) 之，排除A;取t=5,易知y>x>之，排除C;取t=8, =2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到 易知y>之>x,排除D.故选B.] 4.096×10°个单位时，训练时间增加4小时. 3.(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言 故选：B.] 模型训练N个单位的数据量所需要时间T= 4.(2025·烟台5月质检)已知2=5，l1og3=b,则 klog2V(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下， 44-36= 已知训练数据量N从10个单位增加到1.024× A.25 B.5 c罗 0号 10°个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据 解析：C[将1og83=b转化为指数，得到8=3.再 量N从1.024×10°个单位增加到4.096×10°个 结合指数的运算性质，8=(23)=26=3，因此 单位时，训练时间增加（单位：小时） A.2 B.4 C.20 D.40 9 ·59·