第二章 第5节 对数与对数函数（课时冲关）-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

[命题角度4]利用对数函数的性质求参数 1-x十6，x≤2， 4.若函数f(x)= (a>0,且a≠1)的 (3+logx,>2 值域是[4，十∞)，则实数a的取值范围是 解析：当x≤2时，f(x)=一x十6，f(x)在（一∞，2] 上为减函数，.f(x)∈[4，十∞)；当x>2时，若 a∈(0,1)，则fx)=3十logx在(2，+o∞)上为减函 数，f(x)∈（一∞，3十l0g2),显然不满足题意， a>1,此时f(x)在(2，十∞)上为增函数， f(x)∈(3+log2,+o),由题意可知(3十log2, +∞)二[4，+∞)，则3十log.2≥4，即1og.2≥1， .1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]. 答案：(1,2] 课时|分组冲关 对厅 1.log号+log6= A.1 B.2 C.5 D.6 解析：B[原式=loe:(号×6）=log:2=2.] 2.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3十log3y=5十 log之，则x,y,之的大小关系不可能是 A.>y>z B.>>y C.y>a>z D.y>> 解析：B[设2+log2x=3+log3y=5+log之=t, 则x=22,y=33,z=55,取t=0,易知x>y> 之，排除A;取t=5,易知y>x>之，排除C;取t=8, 易知y>之>x,排除D.故选B.] 3.(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言 模型训练N个单位的数据量所需要时间T= log2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下， 已知训练数据量N从10个单位增加到1.024× 10°个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据 量N从1.024×10°个单位增加到4.096×10°个 单位时，训练时间增加（单位：小时） () A.2 B.4 C.20 D.40 ·5 上篇：第二章函数、导数及其应用 /规律总结/ 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数 函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间 量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性 质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单 调性转化为一般不等式求解. (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合 函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问 题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨 论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构 成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 7课时作业P228 素能提升规范演练 解析：B[设当V取10°个单位、1.024×10°个单 位、4.096×10°个单位时所需时间分别为T1, Ta,Ts, 由题意，T1=k10g210°=6k10g210, T2=k1og2(1.024×10°)=b1og2(21°×10) =k(10+61og210), T3=1og2(4.096×10°)=k1og2(22×10°)= k(12+6log210), 因为T2-T1=k(10+61og210)-6k1og210=10k= 20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210) =2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到 4.096×10°个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B.] 4.(2025·烟台5月质检)已知2=5，log3=b,则 4-36= () A.25 B.5 c罗 D.号 解析：C[将1ogs3=b转化为指数，得到8=3.再 结合指数的运算性质，8=（23)=26=3，因此 9 艺考生文化课百日冲关·数学 5.(2025·黑龙江大庆三模)纯电动汽车是以车载电 源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安 全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电 来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界 的乘用车的发展方向，研究发现电池的容量随放电 电流的大小而改变，l898年Peukert提出铅酸电池 的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经 验公式：C=t,其中入为与蓄电池结构有关的常 数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件 下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h;当放 电电流为25A时，放电时间为15h,则该蓄电池的 Peukert常数入约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3 ≈0.477) A.1.12 B.1.13C.1.14D.1.15 解析：D[由题意知C=7.5×60=25×15,所以 (器)-()-铝-4，两边取以10为底的对 数，得返号=g2,所以及=后=2× 0.301 1-0.477 ≈1.15，故选D.] 6.已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)十1，f(a)=4, 则f(-a)= 解析：f(-x)=ln(W1十x+x)+1(x∈R), f(x)+f(-x)=ln(W1+x2-x)+1十 ln(W1+x+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2, ∴.f(a)+f(-a)=2,.f(-a)=-2. 答案：一2 7.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)= 1og,则f()的值等于 解析：：y=f(x)是奇函数，f(一x)=一f(x) ,当x>0时，f(x)=log22, ÷f()=og是=-2. 则f()》=f-2)=-f2)=-1 答案：一1 8.(双空填空题)已知0>6>1，若1og十16g0=号 a=b“,则a= ,b= 解析：由于a>b>1,则logb∈(0,1)，因为logb+ ga=号即10g十b号，所以1现=言我 ·6 l0gb=2(舍去)，所以a立=b,即a=b2,所以a= (b2)=b2=b“,所以a=2b,b=2b,所以b=2(b=0舍 去)，a=4. 答案：42 9.计算： 10(g￥-1g25）÷1001； (2)2(lg√2)2+lg√2·lg5+√(lg√2)2-2g2+1. 解：1(g}-g2对÷100=-2g10÷0 =-20. (2)原式=lg√2(2lg√2+lg5)h√(1g√2)-2lg√2+1 =lg2(lg2+1g5)+1g√2-1 =lg√2+1-lg√2=1. 10.(2024·上海卷)已知函数f(x)=logx(a>0, a≠1). (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式 f(2x-2)<f(x)的解集； (2)若存在x使得f(x十1)，f(ax),f(x+2)依次 成等差数列，求实数a的取值范围. 解：(1)由y=f(x)过(4,2)，可得1og。4=2,则4= a2→a=士2，又a>0,故a=2,因为f(x)=l0g2x 在(0，十o∞)上是严格增函数，f(2x-2)<f(x)→ 0<2x-2<x→1<x<2,所以解集为(1,2). (2)因为f(x十1)，f(ax),f(x+2)成等差数列， 所以f(.x+1)+f(x+2)=2f(ax), 即log.(x十1)十log(x+2)=21og(ax)有解，化 简可得log.（x+1)(x+2)=log。(a,x)2, 「x+1>0 x+2>0 得(x+1)(2x十2)=(a)2且 →x0, a.x>0 a>0,a≠1 则a2=+1)(+22在(0，十oo)上有解， 2 又2-+21=2+- x 故在0，+o)让，+2>20+)-日-1 即a2>1→a<-1或a>1,又a>0,所以a>1. 故实数a的取值范围为(1，十∞).