第二章 第4节 指数与指数函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第4节指数与指数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过对有理数指数幂a”(a>0,且a≠1；m,n1.根式与有理数指数幂的运 幂的运算性质、指数函数 为整数，且n>0)、实数指数幂a(a>0,且a 算，提升数学运算素养. 的图象和性质是高考命题的 ≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过2.指数函数的图象及应用，达热点，往往与其他函数相结合 程，掌握指数幂的运算性质. 成直观想象和逻辑推理考查，如：图象的识别与应用， 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理 素养. 利用单调性比较大小，解不等 解指数函数的概念. 3.指数函数的性质及应用，发式，求参数的取值范围等.主 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数 展逻辑推理和数学运算要以选择题、填空题形式出 的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 素养 现，属于中低档题 夯实引必备知识 对应学生用书P27 教材夯实强基固本 [必备知识] a>1 0<a<1 1.根式 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 (1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫 做被开方数. 当x>0时，y>1: 当x<0时，y>1; 性质 (2)性质：(a)”=a(a使a有意义)；当n为奇数时， 当x<0时，0≤y≤1 当x>0时，0≤y<1 在(-∞，十∞)上是 在（一∞，十∞）上是 a=a,当n为偶数时，a=a= a,a≥0， -a,a0. 增函数 减函数 2.分数指数幂 重要结论1.(a)”=a(n∈N*). (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a品=a四 「a,n为奇数， (a>0,m,n∈N,且n>1);正数的负分数指数幂的 2.a (a,a≥0， a= n为偶数 意义是a”=1 a≥0，m,n∈N,且≥1D:0的 -a,a<0, 3.底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 正分数指数幂等于0：0的负分数指数幂没有 a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大，函数 意义， 图象越高. (2)有理指数幂的运算性质：a'a=a+;(a)'=a”; [自主诊断] (ab)'=a'b',其中a>0,b>0,r,x∈Q. [思考辨析] 3.指数函数及其性质 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 (1)概念：函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其 打“√”，错误的打“×” 中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是 (1)24·2=2. 底数 (2)函数y=3·2与y=2+1都不是指数函数. (2)指数函数的图象与性质 ( a>1 0a1 (3)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). y y=a y=a (4)函数y=2在R上为单调减函数. 图象 0,1) ---y=1 (0,1) -…y=1 答案：(1)×(2)/(3)×(4)/ [小题查验] 0 1花 0 1.化简[（一2）门克-(-1)”的结果为 定义域 R A.-9 B.7 C.-10 D.9 值域 (0,+∞) 解析：B[原式=(2)立一1=8-1=7.] 50· 上篇：第二章函数、导数及其应用 2.在同一坐标系中，函数y=2 与y 的图象 4.(2025·山东济宁模拟)若a=1.015,b=1.01.6,c =0.65,则a,b,c的大小关系为 之间的关系是 A.cab B.c>b>a A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.a>b>c D.b>a-c C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析：D[由y=1.01在R上单调递增， 则a=1.010.5<b=1.01.6, 解析：A[:y= =2, 由y=x5在(0，十∞)上单调递增，则a=1.01.5> .它与函数y=2的图象关于y轴对称.] c=0.6.5.所以b>a>c.] 3.已知函数f(x)=4十a1的图象恒过定点P,则点 5.(2025·日照二模)已知函数f(x)= (1,x0 ,则 P的坐标是 ( 2,x> A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) f(x)的值域为 解析：A[由a°=1知，当x-1=0,即x=1时， 解析：当x>0时，y=2>1,当x≤0时，y=1,故值 域为[1，十∞). f(1)=5,即图象必过定点(1,5).] 答案：[1，+∞) 跃升关键能力 对应学生用书P28 层级突破素养提升 考点一 根式与有理数指数幂的运算（自主练透） [题组集训] (2)原式= 44 ·aa是.b.b 1.下列等式能够成立的是 100 254°· B.-2)=-2 C.VzFy=(z+y)i D.√丽=3 /题后反思/ 解析：D =nm5,-2)=2,+y 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 (x3+y)片≠(x十y)子，√丽=(9)*=(9)*-3.] 运算， 2.求值与化简 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的 (1)(0.027) -()+2)--: 倒数 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成 2) 4ab) 分数；底数是带分数的，先化成假分数。 0.1-2(a3b3) (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的 解：(1)原式= 1000 -(-0() 形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指 )-1-9-49+号1=-46. 数，也不能既有分母又含有负指数！ 考点二 指数函数的图象及应用（师生共研） [典例](1)函数f(x)=1一e的图象大致是( [解析]A[将函数解析式与图象对比分析， 因为函数f(x)=1一e是偶函数，且值域是 (一∞，0]，只有A满足上述两个性质.] (2)(2025·长春市模拟)若存在正数x使2(x一a) <1成立，则a的取值范围是 A.(-∞，十∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+oo) ·51 艺考生文化课百日冲关·数学 核心素养 2.若将本例(3)改为：函数y=|2-1|在（一∞，k]上 单调递减，则k的取值范围是 直观想象—函数图象在不等式中的具体应用 解析：因为函数y=|2一1|的单调递减区间为 信息提取 信息解读 直观想象 (一∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为（一∞，0]. 答案：(-0∞，0] 存在 存在正数x,即x>0,体现 将不等式2r(x-a)<1变 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y=a-1川 正数x 在图象上就是y轴的右侧 形为xa<(合)】 (a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围 是 题干给出的不等式2(x a)<1不易求解，可转化为 解析：y=a一1的图象是由y=a先向下平移1 两个基本初等函数构成不 画出=（） 的图象 个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得 等式心（合） 到的 2"(x-a) 当a>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)； <1成立 考虑利用初等函数的图象解 画出直线y=x一a的图 当0<a<1时，要使两个图象有两个交点， 决，即转化为直线y=x一a 象，满足在y轴的右侧，有 在(0，十∞)上，有一部分在 一部分在曲线y 则0<2a<1,得到0<a<3,如图(2). 曲线y= (合)的下方 (合)）广的下方 =2a 根据在同一平面直角坐标 求a的 取值 观察图象，写出满足的条 系内直线y=x一a与y= 件，即可求得结果 范围 (分）的图象，列出有 关a的不等式，求得结果 图(1) 图(2) [解析]D[第一步 将不等式2(x-a)<1变 综上可知，a的取位范国是(0，号) 形为两个基本初等函数构成的不等式 不等式2(x一a)<1可变形为x-a< 〔) 答案：0，) 1方法指导引 第二步画出函数y= 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (侣)与y=x-a的图象 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 Y=x-0 对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最 在同一平面直角坐标系内 作出直线y=x一a与y= 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指 0 数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图 1 2 的图象.由题意，在 象，然后数形结合使问题得解， (0,十∞)上，直线有一部分在曲线的下方. (2)求解指数型方程、不等式问题 第三步观察图象，列出有关a满足的条件 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利 观察可知，有-a<1,所以a>一1.] 用相应指数型函数图象数形结合求解 (3)若曲线y|=2+1与直线y=b没有公共点， 易错警示：应用指数函数的图象解决指数方程、 则b的取值范围是 不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画 [解析]曲线y=2+1与 2 2+1 出图象的准确性，否则数形结合得到的可能为 直线y=b的图象如图所示， 3 错误结论. 由图象可得：如果y=2+1 v=b [跟踪训练] 与直线y=b没有公共点，则 b应满足的条件是b∈[-1,1]. y=-2-1 1.函数y=a-上(a>0,且a≠1)的图象可能是( [答案][-1,1] [互动探究] 1.若将本例(3)中“|y=2+1”改为“y=2一1”， 且与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围是 解析：曲线y=2一1|与直线 y=b的图象如图所示，由图象可 得，如果曲线y=2-1与直线 y=b有两个公共点，则b的取值 范围是(0,1). 答案：(0,1) ·52· 上篇：第二章函数、导数及其应用 解析：D[法一：当0<a<1时，函数y=a一1是 2.方程2=2一x的解的个数是 减函数，且其图象可视为是由函数y=a的图象向 解析：方程的解可看作函数y= 2和y=2一x的图象交点的横 Y=2-x 下平移」个单位长度得到的，结合各选项知选D. 0 12 坐标，分别作出这两个函数图 法二：因为函数y=a (a>0,且a≠1)的图象 象（如图所示）. a 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解 必过点（一1,0），所以选D.] 答案：1 考点三 指数函数的性质及应用（多维探究） [命题角度1]比较指数式的大小 [思路导引](1)遵循“同增异减”法则求f(x)的 1.(2024·天津卷)若a=4.2.3,b=4.2.3,c 单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应 log.20.2,则a,b,c的大小关系为 有最小值一1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的 值域为(0，十o∞)，应使g(x)=ax2-4x十3的值域 A.a>b>c B.b>ac 为R,由此可求出a的值. C.c>a>b D.b>c>a -4.x十3 解：(1)当a=-1时，f(x) 解析：B[因为y=4.2在R上递增，且一0.3<0< 3 0.3,所以0<4.23<4.2°<4.203， 令g(x)=-x2-4x十3， 所以0<4.20.3<1<4.2.3，即0<a<1<b, 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递增，在(-2， 因为y=log.2x在(0，十∞)上递增，且0<0.2<1， 十∞)上单调递减，而y= 1 3 在R上单调递减， 所以l0g.20.2<1og.21=0,即c<0, 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2， 所以b>a>c.] 十∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是 (一2，十∞)，单调递减区间是（-∞，一2). [命题角度2]简单的指数方程或不等式的应用 (2)令g(x)=a.x2-4x十3，f(x)= 1) 3 2 7,x0, 2.设函数f(x) 若f(a)<1,则实 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值一1， a>0, Wa,2≥0， 因此必有{3a一4 数a的取值范围是 a 一1 A.(-∞，-3) B.(1,+∞) 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， C.(-3,1) D.(-∞，-3)U(1,+∞) 要使y= 1） 解析：C[当a<0时，不等式f(a)<1可化为 3 的值域为(0，十∞)， 〔)-<1,2)<侣)（侣）· 应使g(x)=az2-4x十3的值域为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函 数，其值域不可能为R).故a的值为0. 因为0<号<1，所以Q>-3,此时-3<4<0： /规律总结/ 指数函数的性质及应用问题解题策略 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为√a<1, (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中 所以0≤a<1.综上可知，a的取值范围是(-3,1).] 间值(0或1)法. [命题角度3]探究指数型函数的性质 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类 问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 -4x+3 3.已知函数f(x)= Q的取值范围，并在必要时进行分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的 (1)若a=-1,求f(x)的单调区间； 概念和性质同函数的其他性质（如奇偶性、周 (2)若f(x)有最大值3，求a的值； 期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时， (3)若f(x)的值域是(0，十o∞)，求a的值. 对底数的分类讨论. 课时分组冲关 对应课时作业P227 素能提升规范演练 1.已知f(x)=2+22,若f(a)=3,则f(2a)= 3.(2025·济宁三模)已知函数f0)-(号) 一3，则 A.5 B.7 C.9 D.11 f(z) 解析：B[由f(a)=3,得2+2“=3，两边平方得 A.是奇函数，且在R上是增函数 22a+22a+2=9,即22a+22a=7,故f(2a)=7.] B.是偶函数，且在R上是增函数 2.(2025·蚌埠市一模)已知a=e',b=lga,c=e°， C.是奇函数，且在R上是减函数 则 ( D.是偶函数，且在R上是减函数 A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<<a 解析：C[函数的定义域为R,因为f(一x)=3一 解析：A[因为0<e<1,所以lga<0,1<e<e, 1 3 =一f(x),所以函数f(x)为奇函数，又因为 所以b<a<c.」 ·53