第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

上篇：第二章函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性 课程标准 核心素养 考情聚焦 函数的奇偶性、周期性的应用是 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概1.判断函数的奇偶性，发展数学 高考的热点，常与函数的求值、图象、 念和几何意义： 抽象和逻辑推理素养。 单调性、对称性、零点等知识交汇命 2.会运用函数的图象理解和研究函数2.函数奇偶性的应用，发展逻辑 题，函数的周期性也经常会涉及三角 的奇偶性 推理和数学运算素养。 函数或抽象函数，并且考查力度逐年 3.结合三角函数，了解函数周期性的概3.函数周期性的应用，发展数学 念和几何意义 抽象和逻辑推理素养。 加大.本讲内容在高考中多以选择题 或填空题的形式出现，难度不会太 4.会运用函数的图象理解和研究函数4.函数基本性质的综合应用，提 大，属于低中档题型，主要考查考生 的周期性 升逻辑推理和数学运算素养 对函数性质的理解及应用能力 夯实引必备知识 对应学生用书P23 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.函数周期性的三个常用结论 1.函数的奇偶性 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：（如 下a≥>0)： 奇偶性 定义 图象特点 (1)若f(x十a)=一f(x),则T=2a: 如果对于函数f(x)的定义域内任 关于 (2)若f(x+a) f,则T=2a: 偶函数 意一个x,都有f(一x)=f(x),那 y轴对称 么函数f(x)是偶函数 (3)若f(x十a)= fr则T=2a. 如果对于函数f(x)的定义域内任 关于 3.函数对称性的三个常用结论 奇函数 意一个x,都有f(一x)=一f(x), (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，即f(a-x)=f(a十x), 原点对称 那么函数f(x)是奇函数 则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称： 2.函数的周期性 (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(一x)=f(2a十x),则y=f(x)的图象关于直线 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零 x=a对称； 常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有 (3)若函数y=f(x十b)是奇函数，即f(-x十b)+ f(x十T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期 f(x十b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. 函数，称T为这个函数的周期. [自主诊断 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 [思考辨析] 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 f(x)的最小正周期. 打“√/”，错误的打“×”. 重要结论 1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)函数y=x2,x∈(0，十∞)是偶函数.( (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定 有意义，那么一定有f(0)=0. 过原点 ( (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x). (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数， (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的 则F(x)=f(x)十g(x)是偶函数， (4)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y=f(x) 单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具 关于直线x=a对称. 有相反的单调性 (5)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y=f(x) (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函 关于点(b,0)中心对称. 数=偶函数，奇函数十奇函数=奇函数，偶函数·偶 (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)= 函数=偶函数，偶函数十偶函数=偶函数，奇函 f(x),则f(2024)=0. 数·偶函数=奇函数. 答案：(1)×(2)×(3)/(4)√(5)/(6)/ ,43 艺考生文化课百日冲关·数学 [小题查验] 4.(2025·黄冈二模)已知f(x)=2e是偶函数，则 1.已知f(x)=ax2十bx是定义在[a一1,2a]上的偶 ez-1 函数，那么a+b的值是 ( ) a= A R号 c A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：B[依题意知b=0,且2a=一(a一1)， 解析：D[因为f(x)=e ，为偶函数，则f(x) eaz a-子则a+6子] -f(-x)= ze'(-z)[e'ea-D] ear-1 ea-1 2.下列函数为奇函数的是 ( =0, Ay=2-安 B.y=sin 2 又因为x不恒为0，可得e一ea-1)x=0, 即e'=ea-lr, C.y=2cos 2+1 D.y=x2+2 则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.] 解析：A[由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数 5.(2025·湖南长沙质检)若f(x)=(x-1)2+a.x+ 为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中 的函数为奇函数.] sin+受)为偶函数，则a 3.(2025·黄冈中学质检)已知函数f(x)为R上的偶 函数，且当x>0时，f(x)=log4x-1,则f(-2) 解析：)=(-1)+ax+sn(+) ( =(x-1)2十ax十c0sx=x2+(a-2)x+1+cosx, A.-号 B-号C3 n.号 且函数为偶函数， f(-x)=x2-(a-2)x+1+cos x 解析：A[因为f(x)为偶函数，所以f(一x)= =x2+(2-a)x+1+cosx, f(x),则f(-2)=f(2)=log2子-1=1og2 由于f(x)=f(-x), 1=1g2-1=-1=-] a-2=2-a,解得a=2. 3 答案：2 ☐跃升|关键能力 对应学生用书P24 层级突破素养提升 考点一 判断函数的奇偶性（自主练透） [题组集训] 2.函数f代)=9+1的图象 3 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 ( A.关于x轴对称 A.f(a)=e-z B.关于y轴对称 x2+1 B.f(x)=cosx十x x2+1 C.关于坐标原点对称 C.f(z)-e'-z D.关于直线y=x对称 2+1 D.f(c)=sin 2+4 解析：B 解析：B[对A,f代)=行，画数定义钱为R,但 3.判断下列函数的奇偶性： (1)fx)=√/3-x2+√J2-3: -1=1)=号时-1≠0，所以 (2)fx)= g(1-x2) x-2-2 fx)不是偶函数，故A错误；对B,f(x)=osx十2 (3)f(x)= 1x2十x20, x2+1 -x2+x,x>0. 函数定义域为R,且f(一x)=os(-)十(-) 解：0由30得=3，解得=士5， {x2-30, (-x)2+1 即函数f(x)的定义域为{一√W}, =0s士立=f,则f)为偶函数，故B正确：对 从而f(x)=√3-x+√2-3=0. x+1 因此f(-x)=一f(x)且f(-x)=f(.x), C,函数定义域为{xx≠一1}，不关于原点对称，则 函数f(x)既是奇函数又是偶函数. f()不是偶函数，故C错误；对D,因为f(一x)= (2)由1-0，得定义战为(-1,00,1)，关于 sn(-2)十4(-=-sinx+4=一f(x),则f(x) 1x-2≠2， e 原点对称.x-2<0,∴.x-2一2=-x, e 为奇函数，不是偶函数，故D错误.] f)=1g1-x3) ·44 上篇：第二章函数、导数及其应用 又“f-)=1g1-（-]_lg1-) =-f(x), (2)图象法 x 函数f(x)为奇函数. f) 关于原点对称 )为奇函数 (3)显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十o∞)， 关于原点对称.当x<0时，一x>0, 的图象 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 关于y轴对称 x)为偶函数 当x>0时，一x<0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； (3)性质法 综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(一x)= ①“奇十奇”是奇，“奇一奇”是奇，“奇·奇”是偶， 一f(x)成立，.函数f(x)为奇函数. /题后反思/ “奇÷奇”是偶； 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 ②“偶十偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶·偶”是偶， “偶÷偶”是偶； 定义域 确定定义域 关于原点对称 否 既不是奇函数 也不是偶函数 ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇. 是 提醒：①“性质法”中的结论是在两个函数的公 (化简x) 共定义域内才成立的 计算-x) ②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 、确定孔x)与-x)的关系 f(一x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满 结论 足相同的关系时，才能判断其奇偶性 考点二 函数奇偶性的应用（多维探究） [命题角度1]利用奇偶性求函数值 [命题角度2]利用奇偶性求参数值 l0gx-2,x>0 1.(2025·潍坊市一模)若函数f(x) 2.(2025·安徽质检)若f(x)=(x十a)ln 数号为偶 g(x),0 函数，则a= 奇函数，则f(g(一3)= A.-1 B.0 c号 D.1 A.-3 B.-2 C. -1 D.0 log3x-2,2>0 解析：B[法一：：函数f(x) 为 解析：B[由题知g《)=1n是奇通数，而 (g(x),x<0 f(x)=（x+a)g(x)为偶函数，有f(-x) 奇函数， =(-x+a)g(-x)=-(-x十a)g(x)=(x+a)g(x) .g(-3)=-f(3)=-(1og33-2)=1, =f(x),故x一a=x十a,则a=0.] .f(g(-3))=f(1)=10g31-2=0-2=-2. [命题角度3]利用奇偶性求解析式 法二：当x<0时，一x>0,f(-x)=l0g(一x)一2， 3.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=一e“, ∴.f(x)=-f(-x)=-log3(-x)十2， 若f(ln2)=8,则a= 即g(x)=-l0g(-x)+2, 解析：f(1n2)=-f(-ln2)=e-ah2)=ea2“=2a ∴.g(-3)=-log33+2=1, =8,.a=-3. .f(g(-3)=f(1)=log1-2=0-2=-2.] 答案：一3 ·45· 艺考生文化课百日冲关·数学 [命题角度4]利用奇偶性的图象特征解不等式 第四步根据求解结果取并集 [典例]已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函 可求得其解集是{x|一2<x<-1,或0<x<1, 数，它们的定义域是[一3,3]，且它们在x∈[0,3] 或2<x<3} 上的图象如图所示，求不等式四<0的解集， g(z) 方法总结引 画函数图象：根据奇偶函数的图象特征可画出另 g(x) 一对称区间上的图象，进而利用整个定义域上的 图象解不等式或判断单调性. 核心素养 [跟踪训练 (2025·湖南娄底押密考试)已知函数f(x)的定义 逻辑推理—函数图象与性质在函数中 具体应用的核心素养.具体见下表： 域为R,f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则 () 信息提取 信息解读 逻辑推理 y=f(x)是偶函数 偶函数的图象关于y A()-0 B.f(-1)=0 轴对称，奇函数的图象 y=g(x)是奇函数 关于原点对称 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解分式不等式f☒ g(x) 定义域是[-3,3]， 题干已给出x∈[0,3] 解析：B[f(a十2)是偶函数，即f(x十2)=f(2-x), <0白f(x)·g(x) 且它们在x∈ 上的图象，可根据奇偶 可得f(x)的对称轴为x=2,f(2x十1)为奇函数，即 0台x∈[0,3]时 [0,3]上的图象如 性的图象特征补上 由图象直接判断： f1十2)=一f(1一2x),可得f(x)的对称中心为 图所示 x∈[一3,0]上的图象 x∈[-3,0]时，根 (1,0).此时，x=0和x=2关于(1,0)对称，.f(x)是 此分式不等式可等价 据奇偶性补全图象 偶函数，此时有f(一1)=f(1)=0.其他选项不一定 转化为分子、分母相乘 后判断取并集，得到 不等式fr)<0 的不等式，最终还是判 分式不等式的解集 成立.] g(x) 断f(x)与g(x)在定 /规律总结/ 义域内的正负值情况 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 [解]第一步根据奇偶性补全函数f(x)和g(x) (1)求函数值 在整个定义域上的图象y=f(x)是偶函数，y= 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数 g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y= 值求解。 f(x),y=g(x)在[一3,0]上的图象如图所示， (2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再 利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程（组），从而得到f(x)的解析式. y=f(x) (3)求函数解析式中参数的值 第二步将分式不等式等价转化 利用待定系数法求解，根据f(x)士f(一x)=0得 器0学价于 f(x)>0, (f()<0, 或 到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参 (g(x)<0,(g(x)>0, 数的值或方程（组），进而得出参数的值 第三步根据图象，分别解两个不等式组 (4)画函数图象和判断单调性 由图可知f(x)>0,g(x)<0时，一2<x<一1或 0<x<1, 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及 f(x)<0,g(x)>0时，2<x<3. 判断另一区间上的单调性 ·46· 上篇：第二章函数、导数及其应用 考点三函数周期性的应用（师生共研） [典例](1)x为实数，[x]表示不超过x的最大整 A.- 数，则函数f(x)=x一[x]在R上为 ( A.奇函数 B.偶函数 C. 0.2 C.增函数 D.周期函数 (2)(2025·济宁市一模)已知函数f(x)是（一∞， 解析：A [f(-)-()-f(2+)-5 +∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称， 当x∈[0,1]时，f(x)=2-1.则f(2023)+ 2(2+)=-2故选A.] f(2024)的值为 ( 2.(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)的定义域 A.-2 B.-1 C.0 D.1 为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), [解析](1)作出函数f(x)的 f1)=1,则2fh) 图象，由图象可知选D. A.-3 B.-2 C.0 D.1 (2):函数f(x)是(-∞，十∞) 解析：A[令y=1,得f(x+1)+f(x一1) 上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称， .f(一x)=一f(x),由图象关于x=1对称， =f(x)·f(1)=f(x)→f(x+1)=f(x)-f(x-1), 得f1十x)=f(1-x),即f(-x)=f(2十x)=-f(x), 故f(x+2)=f(x+1)-f(x), .f(4十x)=-f(2+x)=f(x),∴.周期T=4. f(.x+3)=f(x+2)-f(+1), 当x∈[0,1]时，f(x)=2-1, 消去f(x十2)和f(x十1)，得到f(x十3)=-f(x), .f(2023)+f(2024)=f(-1)+f(0)=-f(1) 故f(x)周期为6； +f(0)=-2+1+1-1=-1. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)→ [答案](1)D(2)B f(0)=2, /题后反思/ f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, (1)判断函数周期性的两个方法 f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2, ①定义法.②图象法. f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, (2)函数周期性的重要应用 f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值， 求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区 f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, 间上的相应问题，进而求解. 根据周期性质，f(k)(k=1,2,…,22)中，任意连续 易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变量 6个数的和为0， 在给定的区间内 故至f)=8L1+/2)++0]+f19)+ [跟踪训练] f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+ 1.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期 f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3, 为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5一2x,则 () 即登f(k)=-3.] k= ·47·