第二章 第2节 函数的单调性与最值-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第2节1 函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 确定函数的单调性、单调区间及应 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽 用函数的单调性比较函数值大小、求最 1.借助函数图象，会用符号 象和逻辑推理素养. 值、求参数的取值（范围）是高考的热 语言表达函数的单调性、2.确定函数的单调区间，提升直观想象和 点，多以选择题、填空题的形式出现，难 最大值、最小值，理解它逻辑推理素养， 度不大，属于低中档题型，常与函数的 们的作用和实际意义.3.确定函数的最值（值域），发展直观想象 图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇 2.会运用基本初等函数的 和数学运算素养. 命题，则以解答题的形式出现，难度较 图象分析函数的性质 4.函数单调性的应用，发展逻辑推理和数 大，属于中高档题型.在解答题中常与 学运算素养 恒成立、方程有解等问题综合考查 加夯实引必备知识 对应学生用书P19 教材夯实强基固本 2.函数的最值 [必备知识] 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 (1)对于Hx∈I,都有 (3)对于Vx∈I,都有 f(x)≤M; f(x)≥M: 条件 增函数 减函数 (2)3xo∈I,使得 (4)3xo∈I,使得 f(xo)=M f(zo)=M 般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于 M是函数y=f(x)的 M是函数y=f(x)的 定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 结论 最大值 最小值 的值x1,x2 重要结论 定义 1.设Vx1,x2∈D(x1≠x2),则有以下结论：①x1一x2 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 >0(或<0)，f(x1)-f(x2)>0(或<0)曰f(x)在 f(r)<f(x2),那么 f(x1)>f(x2),那么 D上单调递增；x1-x2>0(或<0)，f(x1)-f(x2) 就说函数f(x)在区间 就说函数f(x)在区间 <0(或>0)台f(x)在D上单调递减； D上是增函数 D上是减函数 ②f）-f2>0(或1-)[fa)-f,)] x1一x2 >0)台f(x)在D上单调递增； y=f(x) 1 /f(x2) y=f(x) ③fa）f）<0(或(-)[fx)-f(x,) I1-12 图象 f(x) if(x)F(x2) <0)台f(x)在D上单调递减. 描述 0x1 2 0 x2无 2.对勾函数y=1十兰(a>0)的增区间为(-0，一回和 自左向右看图象是上 自左向右看图象是下 [va,十∞)：减区间为[-a,0)和(0，√a],且对勾 升的 降的 函数为奇函数. 3.单调函数的运算性质 (2)单调区间的定义 (1)在函数f(x),g(x)的公共单调区间上，有如下 结论： 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函 ①若f(x),g(x)都是增（减）函数，则f(x)+ 数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格 g(x)也是增（减）函数； 的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调 ②若f(x)是增（减）函数，g(x)是减（增）函数，则 f(x)一g(x)是增（减）函数： 区间 ·36· 上篇：第二章函数、导数及其应用 (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间： 2.设定义在[一1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所 D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调 示，则关于函数y一的单调区间表述正确的是 性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单 调性； ②当函数f(x)恒为正（或恒为负）时，f(x)与 567 有相反的单调性； 1 A.在[一1,1]上单调递减 B.在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 ③若f(x)≥0，则f(x)与√f(x)具有相同的单 C.在[5,7]上单调递减 调性. D.在[3,5]上单调递增 4.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区 解析：B[由图象可知当x=0,x=3,x=6时， 间[b,c]上单调递减，则函数y=f(x),x∈[a,c]在 1 x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间 f(x)=0,此时函数y= f(2) 无意义，故排除A, [a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，则函数y C,D.] 三f(x),ax∈[a,c在x=b处有最小值f(b). 3.(2025·东营模拟)以下函数既是奇函数，又是减函 [自主诊断] 数的是 [思考辨析] A.y=-3x B.y=x 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 C.y=logax D.y=3 打“√”，错误的打“X”. 解析：A[选项B、C、D均为增函数，只有A正确.] (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单 4.已知函数f(x)=2一x-1,则不等式f(x)>0的解 调增区间是(-o∞，0]U(0,十∞). 集是 () A.(-1,1) B.(-o∞，-1)U(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞，0)U(1,+∞) 解析：D[因为f(x)=2-x一1，所以f(x)>0 等价于2>x十1， 在同一直角坐标系中作出y=2和y=x十1的图 (2)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3), 象如图： 则函数f(x)在R上为增函数. (3)函数y=x是R上的增函数. ( ) (4)函数y=f(x)在[1，十∞)上是增函数，则函数 的单调递增区间是[1，十∞)， (5)对于函数f(x),x∈D,若12∈D,且（一2）· [f()一f(x2)门>0，则函数f(x)在D上是增函数. ( ) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端 两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1,2)， 点取到. ( 答案：(1)×(2)×(3)×(4)× (5)/ 不等式2>x十1的解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为（一∞，0）U(1,十∞.] (6)√ [小题查验] 5两数f)名在[1,2]上的最大值和最小值分 1.(2025·济宁模拟)下列函数中是增函数的为 别是 A.f(x)=-x 解析)=%22-2异在[1,2上 x+1 x+1 C.f(x)=x2 D.f(z)=V 是增函数f）=f2)=专，f以nm=fI)=1. 解析：D[AB递减，排除，C有增有减，排除，因此 答案：青1 只有D正确.] ·37· 艺考生文化课百日冲关·数学 跃升|关键能力 对应学生用书P21 层级突破素养提升 考点一函数单调性的判断或证明（自主练透〉 核心素养 .x2-x1>0,x1x2+1>0,(x-1)(x2-1)>0. 逻辑推理一函数单调性问题中的核心素养 因此当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为 常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行， 减函数 充分体现了“逻辑推理”的核心素养. 法二（导数法）：f(x)= a(a2-1)-2a.x (x2-1)2 [题组集训] =-a(x2+1) 1.下列函数中，在区间(1，十∞)上是增函数的是( （x2-1)2 A.y=-x十1 1 B.y=1-一元 又a>0,所以f(x)<0,所以函数f(x)在（一1,1） 上为减函数 C.y=-(x-1)2 D.y=3 /题后反思/ 解析：B[函数y=一x十1在(1，十∞)上为减函 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 数A不符合题意y=已在1，十四)上为增函 设x1,x2是定义区间内的任意两个值，且 取值 数，B符合题意：y=一(x一1)2在(1，十∞)上为减 x1<x2 函数，C不符合题意；y=3在(1，十∞)上为减函 作差、 作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并 数，D不符合题意.] 变形 通过因式分解、配方、有理化等方法，向有 2.判断并证明函数f)=告（其中a>0)在x 利于判断差的符号的方向变形 (一1,1)上的单调性. 确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)一f(x1) 证明：法一（定义法）：设-1<x<2<1, 定号一的符号，当符号不确定时，可以进行分类 则f()-f(2)=a2-a 讨论 x-12-1 判断一根据定义作出结论 =a12x3-a21-a2x+a.2 2 易错警示：可导函数也可以利用导数判断.但 (x-1)(x-1) 是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义 a(x2-x1)(21x2十1) 法进行判断. (x1-1)(x-1) ,-1<<x2<1, 考点二确定函数的单调区间（课堂共研） [典例](1)函数y=f(x)(x∈ 所以要使g(x)=f(logx)单调递减，需要logx∈ R)的图象如图所示，则函数 g(x)=f(log z)(0<a<1)的 [0,2]即01g≤名解得[a,1. 单调递减区间是 ( A[p,] (2)由于y= -x2+2x+1,x≥0， B.[√a,1] -x2-2x+1,x<0, C.(-∞，0U[2,+∞ (x-1)2+2,x≥0， D.[Va,Va+I] 即y (2)函数y=-x2+2x|+1的单调递增区间为 -(x+1)2+2,x<0. ,单调递减区间为 画出函数图象如图所示，单调递增区间为（一∞，一1门 [解析] (1)由图象知f(x)在（一∞，0]和 和[0,1]，单调递减区间为[一1,0]和[1，+o∞). [2,十∞上单调递减，而在[0,2]上单调递增. [答案](1)B(2)(-∞，-1]和[0,1][-1,0] 又0<a<1时，y=logx为(0，十o∞)上的减函数， 和[1，十∞) ·38· 上篇：第二章函数、导数及其应用 [互动探究] (4)若这两个函数同增同减，则y=f(g(x)为增 1.若将典例(2)中的函数变为“y=一x2+2x+1”, 函数；若一增一减，则y=f(g(x)为减函数， 则结论如何？ 即“同增异减” 解：函数y=-x2+2x+1 提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或 的图象如图所示。 不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能 由图象可知，函数y= |一x2+2x+1|的单调递增 1-√2 0 用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结： 1+2 区间为(1一√2,1)和(1十√2， [跟踪训练 1x>0, +∞)；单调递减区间为(-∞，1一√2)和(1,1十√2). 1.设函数f(x) 0,x=0,g(x)=x2f(x-1),则 2.若将典例(1)中的“0<a<1”改为“a>1”,则函数 g(x)的单调递减区间如何？ 1,x<0, 函数g(x)的递减区间是 解析：由例1)解析知，需10g《0或ogx≥号 A.(-o∞，0] B.[0,1) 解得x≤1或x≥√ā，又x>0,所以单调递减区间为 C.[1,+∞) D.[-1,0] (0,1],[Va,+∞). 解析：B[g(x) 方法指导/ (x,>1, 1.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 0,x=1, (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的 -x2,x<1. 和、差或复合函数，求单调区间. 如图所示，其递减区间是[0,1).] (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义. 2.函数f(.x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的 A.(-∞，-2) B.(-∞，1) 单调区间. C.(1,+∞) D.(4,+∞) (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调 解析：D[由x2一2x一8>0，得函数的定义域为 区间 (-∞，-2)U(4,+o∞).令t=x2-2x-8, 2.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤 则y=lnt. (1)确定函数的定义域. ,t=x2-2x-8=(x-1)2-9, (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u), .t=x2一2x一8的单调增区间为(4，十∞). u=g(x). 又y=lnt是增函数，.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的 (3)分别确定这两个函数的单调区间. 单调增区间为(4，十∞).] 考点三 确定函数的最值（值域）（师生共研） [典例] （1)者函数fx)=日-士在[22]小上的值 (3法-：温本不等气流：) 域是[22]则实数a的值为 =+2(x-1)+9=(x-1)+ x-1 x7+2≥ (2)函数f(x)=士8(x>1)的最小值为 20高+2=8，当且仪者g1=号 9 x一1 即x=4时，f(x)mm=8. [解析](1)因为函数f(x)在区间[2,2]上是增 法二：导数法：f()=2一4)(x+2) (x-1)2 令f'(x)=0,得x=4或x=-2(舍去). 画数，值战为[合2]，所以f(经)=是f2)=2, 当1<x<4时，f(x)0,f(x)在(1,4)上单调递减； 当x>4时，f(x)>0,f(x)在(4，十∞)上单调递增， 1-2 所以f(x)在x=4处达到最小值， 2 解得a=号 即f(x)mn=f(4)=8. [答案](1)号 (2)8 ·39 艺考生文化课百日冲关·数学 方法指导引 [跟踪训练] 求函数最值（值域）的常用方法及适用类型 1.函数y=√一x(x≥0)的最大值为 (1)单调性法：应先确定函数的单调性，然后再由 解析：令t=√E,则t≥0，所以y=t一t 单调性求解. 〔)+}始合二次画式的周象如，当1 (2)图象法：作出函数的图象，利用最值的几何意 义，观察其图象最高点、最低点，求出最值. 2即x=时= (3)基本不等式法：分子、分母中的一个为一次函数， 一个为二次函数结构以及两个变量（如，y)的 答案： 函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相 2.函数f(x)= 1og2(x十2)在区间[-1,1]上 等”的条件，用基本不等式法求最值（值域）. (4)导数法：用导数法，先求出给定区间上的极值， 的最大值为 再结合端点值求得. 解析：由于y= 在R上递减，y=log(x十2) (5)换元法：对解析式较复杂的函数，可通过换元 在[一1,1]上递增，所以f(x)在[一1,1]上单调递 转化为以上四种类型中的某种，再求解。 减，故f(x)在[一1,1]上的最大值为f(-1)=3. 易错警示：用换元法时，一定要注意新“元”的范围， 答案：3 考点四函数单调性的应用（多维探究） [命题角度1]比较两个函数值或两个自变量的大小 [破题关键点]函数f(x)满足对任意x1≠x2,都 1.已知函数f(x)=l0gx十1元若x1∈(1,2)x∈ 有f)-f2>0成立，推出f在(-，十o) 1一22 (2,+∞)，则 ( 上是增函数. A.f(1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(1)>0,f(x2)>0 解析：因为对任意≠，都有)-f0, 1一22 解析：B[:函数fu)=1ogx+己在1，十∞) 所以y=f(x)在（一∞，十∞）上是增函数. 上为增函数，且f(2)=0, 2-a>0, .当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)=0, 所以{a>1, 解得3≤a<2. 当x2∈(2，+o∞)时，f(x2)>f(2)=0, (2-a)×1+1≤a, 即f(x1)<0,f(x2)>0.] [命题角度2]解函数不等式 故实数a的取值范国是[受2】 2.f(x)是定义在(0，十∞)上的单调增函数，满足 答案[ f(y)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+ f(x一8)≤2时，x的取值范围是 /规律总结/ A.(8,+∞) B.(8,9] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 C.[8,9] D.(0,8) (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到 解析：B[2=1十1=f(3)十f(3)=f(9),由f(x) 同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 +f(x-8)≤2，可得f[x(x-8]≤f(9),因为 (2)解含“f”的不等式.在求解与抽象函数有关的 f(x)是定义在(0，十∞)上的单调增函数， 不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱 x0, 所以有 x8>0, 解得8<9，故x的取值范围是 掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特 x(x-8)9, 别注意函数的定义域. (8,9].] (3)利用单调性求参数 [命题角度3]利用单调性求参数的取值范围或值 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性 (2-a)x+1,x<1, 定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间 3.如果函数f(x)= 满足对任意 a,x≥1 比较求参数； ≠，都有f)二f》>0成立，那么实数a ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的，则 x1一x2 该函数在此区间的任意子集上也是单调的， 的取值范围是 ·40·