第一章 第5节 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第5节 基本不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.掌握基本不等式Vab≤a十b1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理 利用基本不等式求函数的 和数学运算素养。 最值，不等式的变形，构造基本 (a,b0). 2.基本不等式的实际应用，发展数学建模不等式的形式，不等式的证明及 2.结合具体实例，能用基本不等式 和数学运算素养。 利用不等式解决实际问题等是 解决简单的最大值或最小值3.基本不等式的综合应用，提升逻辑推理 高考的热点，各种题型均有可能 问题 和数学运算素养 出现，难度中等，属于低中档题 加夯实引必备知识 对应学生用书P13 教材夯实强基固本 [必备知识] (3)x>0且y>0是2+义≥2的充要条件.( 1基本不等式：V< (4)若a>0,则a3+二的最小值是2√a. ( (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号 (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). (3)a称为正数a,b的算术平均数，√ab称为正数 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 2 [小题查验] a,b的几何平均数. 1.设a>b>0,下列不等式不正确的是 2.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 A.aba 2 B.b2) a+b)2 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x十y C.b D.Vab2ab a+b 有最小值是2√匝（简记：积定和最小）. [由a2+b≥2ab,a+b>2√ab及a>b>0,知 (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当x=y时，xy 解析：C a2+b 有最大值是（简记：和定积最大）， ab,ab a十b) 2 ,选项A,B正确；2< 2ab 重要结论 几个重要的不等式 √ab,选项D正确.] 2√ab (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 2.若实数ab满足之+号-，则6的最小值为 (2)ab≤ a+b 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 等号 A.2 B.2 C.22 D.4 (3)0B≥ 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 解析：C [纹题定知。>0,6>0，则+号≥2层 a 等号 (4)2+2≥2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号. =2② a b √ab 当里仅吉}云即6=2知时”成之 [自主诊断] 因为+号-V瓜，所以v0而≥2g即b≥22. a [思考辨析] √ab 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 所以ab的最小值为2√2.] 打“√”，错误的打“×”. 3.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 (1)函数y=x十1的最小值是2. A.a2+62>2ab B.1+11 a+b (2)ab 成立的条件是ab>0. C.a+b>√ab 2 ·24· 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 解析：C[由基本不等式结合特例即可判断， 所以Wy≥2，xy≥4，当且仅当x=y=2时取等号， 对于A,当a=b时，a2十b2=2ab,故A错误；对于 所以xy的最小值为4. B.D取a=分b=子，此时+方-2+4=6< 答案：4 1 =82+=24=6 2 5.已知a>0>0.且a=1.则品品十千6的鼓小 值为 42=2,故B,D错误；对于C,由基本不等式可 √ab 解折：a>0.6>0.a+b>0,a6=1名+元 得a十b≥2√ab>√ab,故C正确.故选：C.] 4.(2025·济南市诊断性考试)若实数x,y满足lgx十 lgy=lg(x十y),则xy的最小值为 =4,当且仅当a十b=4时取等号，结合ab=1,解得 解析：依题意可知x>0,y>0,由lgx十lgy=lg(x十y), a=2-√3，b=2+√5，或a=2+√5，b=2-√5时，等 得g(y)=lg(x十y),得xy=x十y.由基本不等式得xy 号成立 =x+y≥2Wxy,即xy-2√y=√y(Way-2)≥0. 答案：4 跃升关键能力 对应学生用书P14 层级突破素养提升 考点一利用基本不等式求最值（多维探究） [命题点1]通过配凑法利用基本不等式 核心素养 [典例](1)已知0<x<1,则x(4一3x)取得最大值 数学运算—基本不等式应用中的核心素养 时x的值为 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运 [解析]x(4-3x)= 1 算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对 3 ·(3x)(4-3.x) 象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设 计运算程序，求得运算结果等.应用基本不等式求最 值就极大地提升了数学运算的核心素养. 当且仅当32=4一3，即x=气时，取等号 信息提取 信息解读 数学运算 [答案] 已知条 由lga+lgb 着眼点一（对数的运算性 件a>0, =lg(a十b), 质)：由lga+lgb=lg(a+ (2)函数y=+2 x>1)的最小值为 得lg(ab)= b),得lg(ab)=lg(a+b), b0, x-1 即ab=a十b. 1g a+ lg(a+b),即ab [解析] y=22+2 着眼点二（等式的恒等变 (x2-2x+1)+(2x-2)+3 lg b= =a十b,则有 x-1 x-1 +6-1 形)：由ab=a+b,得1十 Ig(a+b) a (x-1)2+2(x-1)+3 x-1 着眼点三(“1”代换)：a十b 3 =(x-1)+气7+2≥28+2 利用常数“1”代 换的方法，将a十 (位+)a+ 当里仅当一1一即2一+1时，等号底主， b变形为a十b= =8+2+ 求a+b 着眼点四（基本不等式的 [答案]2√5+2 (日+)a+o) 的最小值 -2++号再 应用：2+名十号≥2+ [命题点2]通过常数代换法利用基本不等式 a [典例]若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则a+b的 利用基本不等式 3√会·号-4当且仅当 求其最小值 最小值为 a=b=2时等号成立 A.8 B.6 C.4 D.2 ·25 艺考生文化课百日冲关·数学 [解析]C[由lga十lgb=lg(a十b),得lg(ab)= [跟踪训练 ga+,即ab=a+b,则有日+方-1，所以a十b 1.若正实数x,y满足4x十y=xy,则x十4y取最小值 时，y的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 (日+如+=2++>2+2·=4 解析：D[,x>0,y>0且4x十y=xy, 当且仅当a=b=2时等号成立，所以a十b的最小值 为4.] /规律总结引 当且仅当x=y=5时取等号.] 利用基本不等式求最值的三种常考类型及求解策略 2.（(2025·上海卷)设a,b>0,a十方=1，则6+号的 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提： 最小值为 “一正”“二定”“三相等” 解折：0≥0b>0,u十方-1,0<a<1,b>1, (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后 再利用基本不等式. b+日=b名=61+6十2 (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元 法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方 21)+2=4 法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等 当且仅当)=61，中6=20=日时，等号成立. 式求最值. 答案：4 考点二基本不等式的实际应用（师生共研） [典例]某车间分批生产某种产品，每批产品的生产 方法指导引 准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储 在利用基本不等式解决实际间题时，一定要注意 所涉及变量的取值范围，即定义域.若使基本不等 时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。 式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究 函数的单调性，利用单调性求最值 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用 [跟踪训练 之和最小，每批应生产产品 ( 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器 生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运 A.60件 B.80件C.100件 D.120件 转时间x(单位：年)的关系为y=一x2+18.x一25(x∈ [解析]B[若每批生产x件产品，则每件产品的 N),则该公司年平均利润的最大值是」 万元 生产费用是800元，仓储费用是号元，总的费用是 解析：每台机器运转x年的年平均利润为义=18 x 00+>2 800·=20,当且仅当800=女即 e+)而>0，故兰≤18一2历=8，吉且仅当 x=5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 x=80时取等号.] 8万元. 答案：8 考点三基本不等式的综合应用（师生共研） [典例](1)若a>0,b>0,a十b=2,则下列不等式： [解析] (1)因为a>0,b>0,a+b=2, ①a+8≥2：@】+6>≥2③b≤1：0a+6≤ a 所以由 2 2 2 √2.恒成立的是 ( +中1≥a6≥+ a A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 得a2+≥2：是+方≥2：a6≤1，即①@均正 (2)已知函数f(x)= 2十a十1山(a∈R),若对于 x+1 确；不妨令a=b=1,则√a十√6=2>√2，故④错误； 任意x∈N*,f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是 综上所述，恒成立的是①②③. ·26 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2)对任意x∈N,f(x)≥3恒成立，即 解析：C[当x>2时，x-2>0,f(x)=(x-2)+ 卫8板成之，即知a≥-（e+)十8 1 +1 2+22一2X三2+2=4，当且仅当x-2 设g)=x+r∈N,则g2)=6g8)-号 一2>2)，即x=3时取等号，即当f(x)取得最小值 1 :g2>g8).∴(r)n-号-气e+)十3 时，a=3.] 2.(多选题)(2025·江西南昌三模)已知a>0,b>0, 号≥，故。的取值范国 ≤ a+b=ab,则 是[+）】 A.a>1且b>1 B.ab≥4 C.a+4b≤9 D.2+>1 [答案](1)B (2)「 方法指导引 解析：ABD[对于A,a>0,b>0,a+b=ab,则a= 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 P≥0，故>1，同理可得a>1,A正确：对于B, b 题型 求解策略 a>0,b>0,ab=a十b≥2√ab,.ab≥4，当且仅当 判断或证明不等 对所给不等式（或式子）变形， 式或比较大小 然后利用基本不等式求解 a=b=2时取等号，B正确；对于C,a>0,b>0,a+ 求参数的值或 观察题目特点，利用基本不 6=ab,则是十方=1，则a十46=(a十物)： 范围 等式确定相关成立条件，从 而得参数的值或范围 〔日+公)=1++号+4≥5+2=9，当且仅当 与函数、数列、解 析几何等其他知 利用已知条件进行转化，再 4地= 识结合的问题 利用基本不等式求解 日石，即a=3,6=号时取等号，C错误：对于 a+b=ab [跟踪训练] D.南于>0，故么+}-0+名-6-1+石≥ b 1.若函数f(x)=x十 -2x>2)在x=a处取最小 2-1=1,当且仅当b=1时取等号，而b>1,故+ 值，则a= ( ) A.1+√2 B.1+√3 C.3 D.4 名>1，D正痛 课时|分组冲关 对应课时作业P223 素能提升规范演练 1.(多选题)下列命题正确的是 ) 1 解析：A[若a>0.b>0a+b>2,则d+6≥a十 A.若x≠kr,k∈Z,则sin2x十 b)2>2,充分性成立；若a2十b>2,可能a=√2，b= B.若a<0,则a十≤-4 0.1,此时a十b2,所以必要性不成立.综上所述，“a十 a b>2”是“a2+b>2”的充分不必要条件.] C.若a>0,b>0,则lga+lgb≥2√1ga·lgb 3.已知正数a,b的等比中项是2，且m=b十1 D若a<0.b0.则号+合≥2 解析：BD[当sin2x=1时，1十1=2<4，所以A错 n=a十石，则m十n的最小值是 误：若a0,则a十音<-4，所以B正确：周为1ga A.3 B.4 C.5 D.6 解析：C[由已知正数a,b的等比中项是2，可得 1gb可以小于零，C错误：由a<0,b<0,所以b,g ab=4,又m=b+日n=a十方m十a=(a+b) a’b 都大于零，D正确.] （日+若）2瓜+高5当显权当a62 2.(2025·郑州外国语学校质检)已知a>0,b>0,则 时取“=”，故m十n的最小值为5.] “a+b>2”是“a2+b2>2”的 4.(多选题)已知a>0,b>0,且a十b=1,则 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 Aa+6≥号 B2>司 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.log2a+log2b>≥-2D.√a+√b≤√2 ·27·