第一章 第4节 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第4节一元二次不等式及其解法 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不 1.一元二次不等式的解法，达 一元二次不等式、分式不等式的 成直观想象和数学运算解法，及一元二次不等式的恒成立问 等式的过程，了解一元二次不等式的现 素养」 题是高考的热点，常常与集合运算、 实意义. 2.与一元二次不等式有关的函数定义域求解、用导数求单调区间 2.能借助一元二次函数求解一元二次不 恒成立问题，提升直观想象等问题结合考查.题型多样，选择题 等式，并能用集合表示一元二次不等式 和数学运算素养. 或填空题考查解法及恒成立问题，难 的解集. 3.一元二次不等式的实际应度不大，属于低中档题型，解答题与 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二 用，增强数学建模和数学运 导数结合，考查函数的单调性，难度 次不等式与相应函数、方程的联系 算素养 中等及以上，属于中高档题 夯实引必备知识 对应学生用书P10 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 简单的分式不等式与一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 的等价关系 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大 于零的不等式ax2+ba+c>0(a>0)或ax2+ 1.一4>0等价于(x-a)(x-b)>0. x-b1 bz+c<0(a>0). (2)计算相应的判别式 2.-4<0等价于(x-a)(x-b)<0. x-b (3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根， (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次 二0等价于 (x-a)(x-b)≥0， 3. x-b≠0. 不等式的解集。 (x-a)(x-b)≤0， 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方 二8≤0等价于 4. x-b≠0. 程的关系 判别式 [自主诊断] △>0 △=0 △0 △=b2-4ac [思考辨析] 二次函数 y 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 y=ax'+bx+c 打“/”，错误的打“×” (a>0)的图象 02 (1)若不等式az2十bx十c<0的解集为(x1,x2), 则必有a>0. () 一元二次方程 有两个相 有两个相等 (2)若不等式ax2十b十c>0的解集是（一∞，x1) 异实根， 实根x1 没有实 ax2+bx+c= U(x2,+o∞)，则方程a.x2+bx+c=0的两个根是 b 数根 0(a>0)的根 x2(1<x2) X2= 2a x1和x2· ( (3)若方程ax2+ba十c=0(a≠0)没有实数根，则不 ax2+bx+c {x|x≤ 等式ax2+bx十c>0的解集为R. ( 0(a>0)的 x,或x> b (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是 解集 22} a<0且△=b2-4ac≤0. (5)若二次函数y=ax2十bx十c的图象开口向下， ax2+bx+c<0 (xx<x 则不等式ax2+bx十c<0的解集一定不是空集. 必 (a>0)的解集 2 <x2} 答案：(1)/(2)/(3)×(4)×(5)/ ·18 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [小题查验] 则当x>3或x<-3时，f(x)<0; 1.函数f(x)= 的定义域是( 当-3<x<3时，f(x)>0. ln(-x2+4x-3) 不等式(2x-5)f(x-1)<0化为 A.(-∞，1)U(3,+o∞) B.(1,3) 2x5>0,咸2-5<0 C.(-o∞，2)U(2,+∞) D.(1,2)U(2,3) {f(x-1)<0{f(x-1)>01 -x2+4x-3>0 解析：D[由题意知 即3， 所以/25>0， 2-5≥0，或25<0， -x2+4x-3≠1，x≠2， {x-1>3,{x-1<-3,{-3<x-1<3, 故函数f(x)的定义域为(1,2)U(2,3).] 解得x>4或x∈0或-2<<5 2.不等式<0的解集是 x+1 即-2<x< 或x>4,即原不等式的解集为 2 A.(-∞，-1)U(-1,2] B.[-1,2] C.(-∞，-1)U[2,+∞) D.(-1,2] 解析：D [-2≤0台(x十1)(x-2)≤0，且x≠ x十1 4(2025·上海卷)不等式二}0的解集为 -1,即x∈(-1,2].] 解析：X<0 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在 x-3 [0,+∞)上单调递减，且f(3)=0,则不等式(2x一 .(x-3)(x-1)<0 5)f(x一1)<0的解集为 .1<x<3 .原不等式的解集为{x1<2<3},即(1,3). A(-,-2U(34 B.(4,+∞) 答案：(1,3) c(-2,)U4,+o) 5.(2024·上海卷)不等式x2一2x一3<0的解集为 D.(-∞，-2) 解析：C[因为f(x)是定义在R上的偶函数，在 解析：将不等式分解因式得(x一3)(x十1)<0，解 [0,十∞)上单调递减，且f(3)=0,所以f(x)在 得-1<x<3. (一o∞，0]上单调递增，且f(一3)=0. 答案：(-1,3) 跃升|关键能力 对应学生用书P11 层级突破素养提升 考点一一元二次不等式的解法（自主练透）》 [题组集训] 解关于x的不等式： 为{1<<}： (1)x2+3.x+4<0: 当口>1时，日<1，不等式的解集 (2)-3.x2-2x+8≤0； (3)a.z2-(a+1)x+1<0. 为{日<<} 解：(1)由△=9一16=一7<0，故不等式的解集为心. (2)原不等式等价于3x2+2x-8≥0台(x+2)(3x 当a<0时，不等式可化为-1D(。-)>0, -40≥0=≤-2或≥含， 不等式的解集为{红>1，成<召} 故不等式的解集为{女≤-2，成≥号} 综上可知，当a<0时， (3)原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0, 不等式的解集为{x>1,或} .①当a=0时，可解得x>1, 当a=0时，解集为{xx>1}; ②当>0时，不等式可化为a-1D(x-)0, 当0<a<1时，不等式的解集为{1<<日}： ∴.当a=1时，不等式可化为(x一1)2<0，解集为0； 当a=1时，不等式的解集为必； 当0<a<1时，>1，不学式的解条 当>1时，不等式的解条为{口<<} ·19. 艺考生文化课百日冲关·数学 /题后反思/ 2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0， (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准 还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式 形式 或二次项系数为正的形式 (2)判：计算对应方程的判别式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论 (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判 判别式△与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时， 别式说明方程有没有实根。 要讨论两个根的大小关系，从而确定解集形式 (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等 提醒：当不等式中二次项的系数含有参数时， 式的解集 不要忘记讨论其等于0的情况. 考点二与一元二次不等式有关的恒成立问题（多维探究） 核心素养 方法=：由千2-十1(-+>0，所以 直观想象— 一一元二次不等式恒成立问题中的核心素养 将参数m分离出来，即m< 6 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物 x2-x+1' 的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.解 6 决一元二次不等式的恒成立问题，常常将一元二次不等 转化为求函数)一2十在[1,3]上的最小值， 式与一元二次方程、二次函数联系在一起，做到相互转 解析：要使f(x)<-m十5在[1,3]上恒成立， 化，借助于二次函数的图象—抛物线进行求解。 则m.x2-mx十m一6<0， [命题角度1]在实数R上的恒成立 即)广+产m60在x1上极成2 1.若一元二次不等式2+6x一号<0对一切实数 有以下两种方法： 1)2 3 x都成立，则k的取值范围为 ( 法一：令g(x)=m2一 4m-6,a∈[1,3]. A.(-3,0] B.[-3,0) 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， C.[-3,0] D.(-3,0) 所以g(x)nmx=g(3)=7m-6<0. 解析：D[2r十虹音<0对一切实数x布成立， 所以m<号，则0<m<号。 因2必+：意<0是一元二次不等式，所以k0, 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)mx=g(1)=m-6<0. 2k<0, 所以m<6,所以m<0. 则必有 a=-42×(-)0, 综上所迷，m的取值范国是{m0<m<号，或m<0} 解得-3<k<0.] [命题角度2]在给定区间上的恒成立问题 法=：为-x1-（)八+>0， 2.设函数f(x)=m.z2-m.x一1(m≠0)，若对于x∈ 又因为m(x2-x十1)-6<0，所以m<x2-x十1 6 [1,3],f(x)<-m+5恒成立，则m的取值范围 是 因为函数y= 6 6 [破题关键点]函数f(x)<一m十5在[1,3]上恒 x2-x+1 -)+ 在[1,3]上 成立，即n+-601，上恒 的最小值为，所以只需m<号即可。 6 成立.方法-：药造画数g()=m(一)+子n 因为m≠0，所以m的取值范围是 -6,x∈[1,3]，分m>0与m<0两种情况判断 {如0<m<号或m<0} g(2)在[1,3]上的单调性，由g(x)m*<0求出m的 取值范围； 答案：{m0<m<，或m<0} ·20· 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [命题角度3]给定参数范围的恒成立问题 规律总结/ 3.已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)z十4-2a>0恒 恒成立问题求解思路 成立，则x的取值范围为 ( (1)由一元二次不等式在R上恒成立确定参数的 A.(-o∞，2)U(3,+o∞)B.(-o∞，1)U(2,+o∞) 范围时，结合一元二次方程，利用判别式来 C.(-o∞，1)U(3,+o∞)D.(1,3) 求解 解析：C[把不等式的左端看成关于a的一次函数， (2)由一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定 记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4, 参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立， 值，让最小值≥0，从而求参数的范围， 所以f(-1)=x2-5x+6>0, (3)由一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立 且f(1)=x2一3x十2>0即可，解不等式组 确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知 1x2-5x+6>0, 道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就 得x<1或x>3.] x2-3x+2>0, 是参数 考点三一元二次不等式的实际应用（师生共研） [典例]某汽车制造厂上年度生产汽车的投人成本 /规律总结/ 为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 求解不等式应用题的四个步骤 10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品 第1步 阅读理解，认真审题，把握问题中的关健量， 找准不等关系 质量，适度增加投入成本.若每辆车投人成本增加 的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6.x, 第3步 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 己知年利润=（出厂价一投入成本）×年销售量. 自变量的实际意义 (1)写出本年度预计的年利润y与投人成本增加的 第4步 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的 结果 比例x的关系式； [跟踪训练] (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并且每 人成本增加的比例x应在什么范围内？ 100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计 [思维导引](1)由年利润=（出厂价一投入成本）× 划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这 年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的 种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点， 关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建 预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； 立关于投入成本增加的比例x的不等式组，求x的取 (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税 值范围 收的83.2%，试确定x的取值范围. [解析](1)由题意得y=[12(1+0.75.x)- 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%, 10(1+x)]×10000×(1+0.6.x)(0<x<1), 农产品的收购量为a(1+2x%)万担， 收购总金额为200a(1十2x%)万元. 整理得y=-6000x2+2000x十20000(0<x<1). 依题意得y=200a(1+2.x%)(10-x)% (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必 1 y-(12-10)×10000>0, F50a(100+2x)(10-x)(0<x<10). 须有 (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). (0x<1, -6000.x2+2000x>0, 依题意得0a(100+2)(10-)≥20aX83.2%, 即 解得0<x< 0<x<1, 3 化简得x2+40x-84≤0，解得-42≤x≤2. 又0<x10,.0<x2. 所以投入成本增加的比例应在〔0，号) 范围内 .x的取值范围为(0,2]. ·21·