第一章 第3节 不等关系与不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第3节 不等关系与不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解现实世界和日常生1.用不等式（组）表示不等关系，达成数学建模 不等关系、不等式的性质及应 活中的不等关系 素养 用是高考的热点，高考中常以不等 2.了解不等式（组）的实际2.比较两个数（式）的大小，发展逻辑推理和数式、不等关系为载体考查充要条件 背景 学运算素养. 问题，有时以新概念（定义）比较两 3.掌握不等式的性质及3.不等式的性质及应用，提升逻辑推理和数学个数的大小，多以选择题为主，题 应用 运算素养 目难度不会太大 口夯实|必备知识 对应学生用书P7 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 不等式的一些常用性质 1.两个实数比较大小的方法 1.倒数性质 a-b>0=a>b, (1)作差法 a-b=0台a=b, (1)a>b,ab>0→1<1 a-b<0台a≤b; [号>10≥ba∈R.b>0. (2)a<0<b1<1 (2)作商法 =1台a=b(a∈R,b>0), (3)0<a<x<b或a<x<b<0→2<1<1 b b x 2.有关分数的性质 b <1=a≤b(a∈R,b>0). 若a>b>0,m>0,则 2.不等式的性质 (1)真分数的性质 性质 性质内容 注意 6b+m,bb-m(b-m-0). 对称性 a>b-b<a aa+m'a a-m (2)假分数的性质 传递性 a>b,b>c→a>c → 可加性 a>b台a+c>b+c >a十m b 4<a-m(b-m>0). b十mbb-m a=by →ac>bc; [自主诊断] c>0 可乘性 c的符号 [思考辨析] a-by c<of →ac<bc 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” 同向可 a=by →a+c>b+d → (1)一个不等式的两边同加上或同乘一个数，不等 加性 c-d 号方向不变 ( 同向同正 a>b>0 →ac>bd → (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( 可乘性 c>d>0 (3)同向不等式具有可加和可乘性： a>b>0→a”>b 可乘方性 a,b同为正数 (n∈N,n≥2) (4)a>b>0,c>d>0→号>b」 d>c 可开方性 a>b>0→a>6 a,b同为正数 (5)若ab>0,则a>b=1<1 (n∈N,n≥2） 答案：(1)×(2)×(3)×(4)/(5)√ ·12 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [小题查验] 解析：0[由>2≥0告<0 1.设M=x2,N=-x一1，则M与N的大小关系是 ( 1(x-1)(x+2)≤0 台-2≤x<1.] A.M>N B.M=N x-1≠0 C.M<N D.与x有关 4.用不等号“>”或“<”填空. 解折：AN=++1=e)+子>0 (1)a>b,c<d-a-c b-d; (2)a>b>0,c<d<0→ac bd; 所以M>N.] (3)a>b>0→a B: 2.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶 时，应使汽车的速度o不超过40km/h,写成不等 (0a>6>0P日 式就是 ( ) 答案：(1)> (2)<(3)> (4) A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40km/h D.v≤40km/h 5.已知a>6>0,且>40，则√月与√E的大小关 解析：D[由汽车的速度v不超过40km/h,即小 系是 于等于40km/h,即u≤40km/h.] 3（2025·全国二卷)不等式二>2的解集是 解折：a>b>0.>>0.号>名>0， “吾 A.{x-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} 答案侣 C.{x|-2≤x<1} D.{xx>1} ☐跃升|关键能力 对应学生用书P8 层级突破素养提升 考点一 用不等式（组）表示不等关系（自主练透） x+y≤100， [题组集训] 600.x+700v≥56000， 1.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表： 解析：依题意，有 800.x+400y≥62000， x≥0， 食物种类 甲 y≥0， x+y≤100， 维生素A(单位/kg) 600 700 6x+7y≥560， 整理化简得 2x+y≥155， 维生素B(单位/kg) 800 400 x≥0，y≥0. 设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多100kg 2+y≤100 的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单 6.x+7y≥560 答案： 位维生素A和62000单位维生素B,则x,y应满 2a+y≥155 足的所有不等关系为 x≥0，y≥0 ·13· 艺考生文化课百日冲关·数学 2.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元 (2)解题策略 销售，每天可销售100件.现在他采用提高售价，减 ①分析题目中有哪些未知量； 少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每 ②选择其中起关键作用的未知量，设为x,再 提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商 用x来表示其他未知量； 品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于 300元的不等关系为 ③根据题目中的不等关系列出不等式（组） 解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少 提醒：①在列不等式（组）时要注意变量自身的 工10×10件，因此，每天的利润为(x-8)[100一 范围，解题时极易忽略，从而导致错解。 1 ②将实际问题中的不等关系写成相应的不等式 10(x一10)门元，则“每天的利润不低于300元”可以 (组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学 表示为不等式(x-8)[100-10(x-10)]≥300. 符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如 即x2-28x+190≤0，同时10≤x≤20. 答案：x2-28x十190≤0(10≤x≤20) 下表： /题后反思/ 大于， 小于， 大于等 小于等 用不等式（组）表示不等关系的常见类型及解题 文字 高于， 低于， 于，至少， 于，至多， 策略 语言 超过 少于 不低于 不超过 (1)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系； 符号 ②变量与常量之间的不等关系； 语言 ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系. 考点二 比较两个数（式）的大小（师生共研） [典例](1)已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N= [互动探究] a1十a2-1,则M与N的大小关系是 ( 若将本例(1)中a1,a2∈(0,1)这个条件去掉，又将 A.M<N B.MN 如何判断M,N的关系？ C.M=N D.不确定 解：作差，即M-N=(a1-1)(a2-1), [解析]B[因为M-N=a1a2一a1一a2+1 ①当a1,a2∈(-∞，1)时，(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N; =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), ②当a1,a2∈(1，+∞)时，(a1-1)(a2-1)>0, 又a1,a2∈(0,1)，所以a1-1<0,a2-1<0, 即M>N; 所以(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.] ③当a1,a2中一个小于或等于1，另一个大于或等 (2)已知a≠1且a∈，试比较己。与1+a的 于1时，(a1-1)(a2-1)≤0，即M≤N. 综上，当a1,a2∈(-o∞，1)或a1,a2∈(1，十∞)时， 大小 M>N,当a1a2中一个小于或等于1，另一个大于 [解]，1 或等于1时，M≤N. a 1方法指导引 ①当a=0时，8 =0, 比较两个数大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、 @当a1,且a≠0时产。>0∴。>1+a 得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的 正负，常采用配方、因式分解、分子（分母）有理化 @当a>1时，。<0。<1十a 等变形方法. ·14 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特 [跟踪训练] 已知实数a、b、c,满足b+c=6-4a十3a2,c-b=4 别注意当商与1的大小确定后必须对商式分 -4a+a,则a、b、c的大小关系是 ( 子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大 A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b 小时最容易漏掉的关键步骤. 解析：A.c-b=4-4a十a2=(2-a)2≥0，.c≥b. .(b+c)-(c-b)=2a2+2,∴.b=a2+1, (3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范 ∴.b-a=a2-a十1>0，∴.b>a.综上可知，a、b、c的 围，可采用特值验证法比较大小. 大小关系是c≥b>a.] 考点三 不等式的性质及应用（多维探究） 核心素养 [命题角度2]求某些代数式的取值范围 3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4，则 逻辑推理—不等式的性质及应用中的核心素养 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要 f(一2)的取值范围是 方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动 [破题关键点]一是将f(一2)用f(-1)和f(1) 表示出来；二是求f(一2)=4a一2b在 中进行交流的基本思维品质.应用不等式的性质可以 判断或证明不等式是否成立，进一步增强逻辑推理的 (1≤f(-1)≤2 即在a-2 件下的最值. 核心素养 02≤f(1)≤4， (2≤a+b≤4 解析：法一：设f(-2)=mf(-1)十nf(1)(m,n为 [命题角度1]判断或证明不等式是否成立 待定系数)，则4a-2b=m(a一b)十n(a十b), 1.若2十1og2a=4十21ogb,则 ( 即4a-2b=(m十n)a+(n-m)b. A.a2b B.a<2b 于是得m十n=4 C.ab2 D.a<b nn=一2解得m=3 (n=1 解析：B[由指数与对数运算可得：2十log2a= .f(-2)=3f(-1)+f(1). 4+210g,b=226+1og2b,又因为26+10gb<20+ 又，1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， 1ogb十1=26+log22b,即2+log2a<226+log22b, .5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10. 令f(x)=2十l0g2x,由指，对函数单调性可得 法二：由f-1)=a-6 f(x)在(0，十∞)上单调递增，由f(a)<f(2b),可 \f(1)=a+b 得a<2b.] [a=2f(-1D+f1J 2.若a>b,则 ( A.In(a-b)>0 B.3<3 6=21)-f(-1D] C.a3-b3>0 D.lal> ∴.f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 解析：C[若a>b,则a3>b3,即a3-b3>0.] 又.1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， /题后反思/ .5≤3f(-1)+f(1)≤10，故5≤f(-2)≤10. (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断 答案：[5,10] 或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 /题后反思/ 的性质. 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二 判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到 是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量 与命题相近的性质，并应用性质判断命题真 的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整 假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次 对数函数，指数函数的性质等， 性”不等关系的运算求解范围 ·15·