第一章 第2节 充分条件与必要条件、量词-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

艺考生文化课百日冲关·数学 第2节充分条件与必要条件、量词 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必1.充分、必要条件的判断与应 充要条件的判断、全称量词命题、 要条件、充分条件与充要条件的 用，提升数学抽象和逻辑推理 存在量词命题的真假判断以及对含有 意义 的素养。 一个量词的命题进行否定是高考的热 2.通过已知的数学实例，理解全称量词2.全称量词命题、存在量词命题点，多以选择题或填空题的形式出现， 与存在量词的意义. 的真假判断，达成直观想象和一般难度不会太大，属中低档题型，常 3.能正确使用存在量词对全称量词命 逻辑推理的素养。 和函数、不等式及立体几何中直线、平 题进行否定，能正确使用全称量词对3.含有一个量词的命题的否定， 面的位置关系等有关知识相结合，考查 存在量词命题进行否定 形成和发展数学抽象的素养 考生的逻辑推理等能力 们夯实必备知识 对应学生用书P4 教材夯实强基固本 [必备知识] [自主诊断] 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 [思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 p是q的充分条件，q是p的必 p→g 打“√”，错误的打“×” 要条件 (1)若p是g成立的充分条件，则q是p成立的必 力是g的充分不必要条件 p→q且qPp 要条件. p是g的必要不充分条件 pPq且q→p (2)若p是g成立的充要条件，则可记为p台q.( (3)存在一个集合，它里面没有任何元素.( p是q的充要条件 pq (4)“对顶角相等”是全称量词命题. p是q的既不充分也不必要条件 答案：(1)/(2)/(3)√(4)/ pPq且q书p [小题查验] 2.全称量词和存在量词 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题：Hx∈R,x+1 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中 >1,命题q:3x>0,x3=x,则 () 通常叫做全称量词，用符号“”表示， A.p和q都是真命题 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻 B.一p和q都是真命题 辑中通常叫做存在量词，用符号“3”表示. C.p和q都是真命题 D.?p和q都是真命题 3.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题 解析：B[因为Hx∈R,x十1≥0，所以命题p为 的否定 假命题，所以一力为真命题. 命题 因为x3=x,所以x3-x=0,所以x(x2-1)=0, 语言表示 符号表示 命题的否定 名称 即x(x十1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0或x =1,所以了x>0,使得x3=x, 全称量 对M中任意 Vx∈M, 3x∈M, 所以命题q为真命题， 词命题 个x,有(x) p(2) 7p(x) 所以q为假命题，所以一p和q都是真命题.] 成立 2.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D,则 存在M中的 “函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x 存在量 ]x∈M, Vx∈M, ∈D,使得f(x)>M”的 ) 一个元素x, 词命题 (x) p(2) A.充分不必要条件 使(x)成立 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 重要结论 若p是q的充分（必要）条件，q是r的 D.既不充分也不必要条件 充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，即 解析：A[若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈ “p→g且g→r”→“p→r”(“g且g=r”→“p∈r”). R,一定存在∈D,使得f()川=M+1, 6 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 取x,=x1,则|f(x,)=|M+1>M,充分性成立； 题改为其反面即可，因此p为Hx∈[一1,1]， 取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在z x2≤a. ∈D,使得f(x1)=|M+1, 答案：Hx∈[-1,1]，x2≤a 取x。=x1,则|f(x,)|=M十1>M,但此时函数 4.“x一3=0”是“(x一3)(x-4)=0”的 条 f(x)的值域为(0，十∞)，必要性不成立； 件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存 分也不必要”) 在x∈D,使得f(x)|>M”的充分不必要条件. 答案：充分不必要 故选：A.] 5.命题p的否定是“对所有正数x,√>x+1”,则命 3.(2025·黄冈二模)已知命题p:3x∈[-1,1]， 题p可写为 x2>a,则7p为 解析：因为p是一p的否定，所以只需将全称量词 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，在对 变为存在量词，再对结论否定即可.即命题力可写 命题进行否定时不能改变其大前提即变量的取值 为3x∈(0，十∞)，√≤x十1. 范围x∈[一1,1门，只需要将存在改为任意，后面命 答案：]x∈(0，十∞)，√≤x+1 跃升|关键能力 对应学生用书P5 层级突破素养提升 考点一充分、必要条件的判断与应用（多维探究） [命题角度1]充分、必要条件的判定 /方法指导/ 1.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的 命题的充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. A.充分不必要条件 (2)等价法：利用A→B与B→7A,B→A与A→ B.必要而不充分条件 B,A台B与一B台A的等价关系，对于条件 C.充要条件 或结论是否定式的命题，一般运用等价法 D.既不充分也不必要条件 (3)利用集合间的包含关系判断：若A二B,则 解析：A[由x=0→sin2x=sin0=0,由sin2.x=0 A是B的充分条件或B是A的必要条件；若 →2x=kr,x=,k∈Z不一定为x=0 A=B,则A是B的充要条件. 2 [命题角度2]利用充要条件求参数的取值（范围） ∴.sin2x=0x=0 x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] [典例]已知p:-2≤x≤10，q:(x-a)(x-a-1)>0, 2.(2025·浙江质检)设x∈R,则“sinx=1”是“cosx 若p是g成立的充分不必要条件，则实数a的取值范 =0”的 围是 A.充分不必要条件 核心素养 B.必要不充分条件 逻辑推理一充分、必要条件关系中的核心素养 C.充分必要条件 充分、必要条件问题中常涉及参数取值（范围）问 D.既不充分也不必要条件 题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、 解析：A[若sinx=1,则2=受+2x,k∈Z, 生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体 现“逻辑推理”的核心素养.具体见下表： c0sx=0;若c0sx=0,则x=受十kx,k∈Z,sint 信息提取 信息解读 逻辑推理 =1或sinx=-1.故sinx=1可推出cosx=0,充 p:-2≤x p对应集合 着眼点一：若p是q 分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不 ≤10，q:(x {x|-2≤x≤ 成立的充分不必要条 必要条件.] 10},q对应集 件，则{x|一2≤x≤ -a)(x-a 3.(2025·天津质检)“a=b2”是“a2+b=2ab”的( 10}手{xx>a十1，或 1)>0 合{xx>a+ A.充分不必要条件 1,或x<a} x<al. B.必要不充分条件 着眼点二：借助于数 C充分必要条件 p是q成立 {x一2≤x≤ 轴将集合间的基本关 D.既不充分也不必要条件 的充分不必 10}军{x|x> 系转化为关于实数a 解析：B[由a2=b2,则a=士b,当a=一b≠0时， 要条件 a十1，或x<a} 的不等式组 a2+b2=2ab不成立，充分性不成立； 由a2+b=2ab,则(a-b)2=0,即a=b, [解析]由(x-a)(a一a-1)>0,得x>a十1或z<a, 显然a2=b成立，必要性成立； 由题意，得{x-2≤10}{az>a十1，或xa}, 所以“a2=b2”是“a2十b2=2ab”的必要不充分 所以a十1<-2或a>10,即a<-3或a>10. 条件.门 所以实数a的取值范围是(-o∞，一3)U(10,十o∞). [答案](-∞，-3)U(10,十∞) 艺考生文化课百日冲关·数学 [互动探究] [跟踪训练] 本例中，若p:-2<x<10,q:(x-a)(x-a-1)≥ 已知p:<2<16,9+2)(x+a)<0,若p是g的 0,其他条件不变，则a的取值范围是 充分不必要条件，则a的取值范围为 ( 解析：由(x-a)(x-a-1)≥0，得x≥a十1或x≤ a,由题意得{x|-2<x<10}手{xx≥a十1，或x A.[-4,+∞) B.（-∞，-4) C.(-∞，-4] D.(4,+∞) ≤a}.所以a十1≤-2，或a≥10，即a≤-3，或a≥ 10.所以a的取值范围是(-∞，-3]U[10,+∞). 解析：B[由子<2<16，得-2<<4， 答案：(-∞，-3]U[10,十∞) 即p:-2<x<4. /规律总结/ 方程(x十2)(x十a)=0的两个根分别为一a,一2. (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或 ①若-a>-2,即a<2,则条件q:(x十2)(2十a)<0 充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集 等价于一2<x<一a,由p是q的充分不必要条件可 合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 得-a>4,则a<-4; (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 ②若-a=-2,即a=2,则q:(x十2)(x十a)<0无 解，不符合题意； 一p是一g的充分不必要（必要不充分、充要） ③若-a<-2,即a>2,则q:(x+2)(x十a)<0等 条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充 价于一a<x<-2,不符合题意. 要)条件. 综上，可得a的取值范围为（一∞，一4）.] 考点二全称量词命题、存在量词命题 [命题角度1]全称量词命题、存在量词命题的真假 判断（自主练透） 解析：B[对于选项Anx十cosx=厄in2十T) 1.下列命题中，是假命题的是 ≤2，所以此命题不成立；对于选项B,x2一2z一1 A.Hx∈R,x2≥0 (x一1)一2，当x>3时，(x-1)2-2>0,所以此命题 B.Vx∈R,2-1>0 C.3x∈R,lgx<1 成2：时选项C中1-(+ +>0所 D.3x∈R,sinx+cosx=2 以z十x=一1对任意实数x都不成立，所以此命题 解析：D[A显然正确；由指数函数的性质知2 不成立；对于选项D,当x∈ (时，tan<0, >0恒成立，所以B正确；当0<x<10时，lgx<1, sinx>0,命题显然不成立. 所以C正确：因为sin十c0sr=厄sin（e+到) /题后反思/ 所以一√2≤sinx十cosx≤√2，所以D错误.] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 2.已知a>0,函数f(x)=ax2十bx十c,若m满足关 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 于x的方程2a.x十b=0,则下列选项中的命题为假 命题的是 ) 真 所有对象使命题真 否定为假 A.3x∈R,f(x)≤f(m) 全称量 词命题 B.3x∈R,f(x)≥f(m) 假 存在一个对象使命题假 否定为真 C.Vx∈R,f(x)≤f(m) D.Hx∈R,f(x)≥f(m) 存在量 真 存在一个对象使命题真 否定为假 解析：C[因为a>0,所以函数f(x)=a.z十bx十c在 词命题 假 所有对象使命题假 否定为真 x=一乡处取得最小值.所以f(m)是函数f)的最 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命 2a 题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其 小值.] 否定的真假 3.下列命题中，是真命题的是 [命题角度2]含有一个量词的命题的否定（自主练透） A.3xe[0,]sinx+cos≥2 4.已知命题p:3x∈R,x2十2x十2≤0，则7p为() B.Vx∈(3，+∞)，x2>2+1 A.3x∈R,x2+2x+2>0 C.]x∈R,x2+x=-1 B.3x∈R,x2+2x+2<0 D.ye(xan>sin C.Hx∈R,x2+2.x+2≤0 D.Vx∈R,x2+2x+2>0 ·8· 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 解析：D[根据存在量词命题的否定，存在量词改 解析：A[依题意可得f(-1)·f(1)<0,即 为全称量词，同时把小于等于号改为大于号.] (-2a-a+3)·(2a-a+3)<0,解得a<-3 5.已知命题：所有指数函数都是单调函数，则一p为 或a>1.] 9.若命题“对Vx∈R,kx2一kx一1<0”是真命题，则 实数的取值范围是 A.所有的指数函数都不是单调函数 解析：“对Vx∈R,k2一kx一1<0”是真命题，当k=0 B.所有的单调函数都不是指数函数 时，则有一1<0；当k≠0时，则有k<0且△=（一k)2 C.存在一个指数函数，它不是单调函数 4X×(-1)=2十4k<0,解得一4<k<0,综上所述， D.存在一个单调函数，它不是指数函数 实数k的取值范围是（一4,0]. 解析：C[命题p:所有指数函数都是单调函数，则 答案：（一4,0] 一p:存在一个指数函数，它不是单调函数.] 10.已知f)=ln(x2+1,g(x)=(2) m,若对 6.(2025·安庆二模)已知命题：“存在x∈[1，+∞)，使 Hx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2), 得(l0g3)>1”,则下列说法正确的是 则实数m的取值范围是 A.7p:“任意x∈[1，十o∞)，使得(1og23)<1” 解析：当x∈[0,3]时，f(x)mm=f(0)=0, B.7p:“不存在x∈[1，十∞)，使得(log23)<1” 当x∈[1,2]时，g(x)nm=g(2)=4-m, C.p:“任意x∈[1，+∞)，使得(log23)≤1” 由f(x）mm≥g(x）min: D.7p:“任意x∈(-∞，1)，使得(10g23)≤1” 一m,所以m≥ 得0≥4 1 4 解析：C[因为存在量词命题的否定是全称量词命 题，所以p:“任意x∈[1，十∞)，使得(1og3)≤1”.] 故实数m的取值范国是[子，十∞ 7.(2025·菏泽质检)已知命题p:3x∈R,sinx<1; 答案：[十∞ 命题q:Hx∈R,e≥1，则下列命题中为真命题 [引申探究] 的是 ( ) 若将10题中“3x2∈[1,2]”改为“Hx2∈[1,2]”， A.pAq B.p∧q 其他条件不变，则实数m的取值范围是 C.p∧q D.(pVq) 解析：A[由已知可得命题p为真命题，命题g为 解析：当x[1,2]时，g()=g1)=分-m, 真命题，所以p八q为真命题.] 由fx)m≥g(c),得0≥2mm≥之 /技巧点拨/ 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否 故实数m的取值范国是[，十∞ 定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命 答案：[片+】 题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词， 存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般 /思维升华引 命题的否定只需直接否定结论即可， 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含 [跟踪训练 的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的 否定 已知命题“3x∈R,使2x2+(a-1)z+2<0"是假 [命题角度3]参数的取值范围问题（师生共研） 命题，则实数a的取值范围是 ( 8.已知函数f(x)=2ax一a+3,若3x∈(-1,1)，使得 A.(-o∞，-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1) f(x)=0,则实数a的取值范围是 解析：B[原命题的否定为Hx∈R,2x2+(a一1)x A.(-∞，-3)U(1,+∞) B.(-o∞，-3) 十合>0，由超意知，其为真命题，即△=a一1-4仪 C.(一3,1) 2X分<0，则-2a-1<2,唧-1<a<3.] D.(1,+∞) ·9·