第一章 第1节 集合-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

[上篇]知识必备一遍通 第一章 A艺考文化课导师 8破“码”上客疑】 ,题型讲解·错题收录 ·作业批改·复习精讲 集合、常用逻辑用语、不等式 第1节集合 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的从属1.集合的基本概念， 集合的概念及运算的考 关系 形成直观想象和查以集合的运算为主，其中 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符 提升数学运算的交、并、补集的运算以及两集 号语言刻画集合· 素养 合包含关系的考查是高考的 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义。 2.集合间的基本关热点；多以选择题或填空题 4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 系，提升逻辑推理的形式出现，一般难度不大， 子集. 和数学运算属低档题型，通常与函数、方 5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并 的素养 程、不等式等知识结合，也常 集与交集. 3.集合的基本运算，出现新情境设置题，考查考 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子 形成直观想象，提生函数与方程、转化与化归、 集的补集， 升逻辑推理和发数形结合等数学思想的运用 7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会 展数学运算的以及对新情境设置题的阅读 图形对理解抽象概念的作用 素养 理解能力 夯实引必备知识 对应学生用书P1 教材夯实强基固本 2.集合间的基本关系 [必备知识] 关系 自然语言 符号语言 Venn图 1.集合的基本概念 集合A中所有 (1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性 元素都在集合B A三B(或B (2)元素与集合的关系 集 中（即若x∈A, 2A) 或A(B) 则x∈B) ①属于，记为∈；②不属于，记为生. (3)常见数集的记法 真 集合A是集合B 的子集，且集合B AB或B 自然 子 正整 有理 集合 整数集 实数集 集 中至少有一个元 吴A 数集 数集 数集 素不在集合A中 符号 N*(或N+) Q 集合相等 集合A,B中的元 素相同或集合A, A=B A(B) (4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法， B互为子集 艺考生文化课百日冲关·数学 3.集合的基本运算 [小题查验] 基本 1.(2025·山东实验中学押题卷)设集合A={0,一a},B 并集 交集 补集 运算 ={1,a-2,2a-2},若A二B,则a= () 若全集为U, 符号 A.2 B.1 D.-1 AUB A∩B 则集合A的 c号 表示 补集为CuA 解析：B[若a一2=0，则a=2,此时A={0,一2}， B={1,0,2},不满足题意；若2a一2=0，则a=1,此时 图形 A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意.] 表示 2.(2025·全国二卷)已知集合A={一4,0,1,2,8}，B ={x|x3=x},则A∩B 数学 {xx∈A, {xx∈A, {x|x∈U, A.{0,1,2} B.{1,2,8} 语言 或x∈B) 且x∈B》 且x氏A} C.{2,8} D.{0,1} 解析：D[x3=x,即x3一x=0,所以x(x+1)(x AU(C,A)=U; 运算 AUO=A; A∩0=2： 1)=0,解得x=0,-1或1，即B={0,1,-1},所以 AUA=A: A∩A=A; A∩(0A)=必： 性质 A∩B={0,1}.] AUB-BUA A∩B=B∩A G (CA)=A 3.(2024·北京卷)已知集合M={x|-3<2x<1},N ={x一1≤x<4},则MUN= () 重要结论1.AUB=A台BCA,A∩B=A曰A二B. A.{x-1≤x<1}B.{xx>-3} 2.若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2" C.{x|-3<x<4}D.{x|x<4} 真子集个数为2”-1，非空真子集个数为2”-2 解析：C[因为集合M={x一3<x<1},N={x [自主诊断] -1≤x<4},所以MUN={x-3<x<4}.] [思考辨析] 4.(2025·全国一卷)已知全集U={xx是小于9的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 正整数}，集合A={1,3,5},则CvA中元素的个 打“√”，错误的打“X”. 数为 (1)必={0}. ( A.0 B.3 C.5 D.8 (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素 解析：C[8-3=5,选C.] 集合的子集， ) 5.已知A={x|2x≤1}，B={-1,0,1},求A∩B (3)a在集合A中，可用符号表示为a二A.( (4)NEN*∈Z. ( (5)若A={xly=x2},B={(x,y)y=x2},则A∩ 解析：A= 【-,]B=-1,01∴AnB B={xx∈R}. 答案：(1)×(2)× ={-1,0}. (3)× (4)× (5)× 答案：{-1,0} 跃升关键能力 对应学生用书P2 层级突破素养提升 考点一 集合的基本概念（自主练透） [题组集训] 当x=0时y=-1,0,1; 1.已知集合A={(xy)|x2+y2≤3，x∈Z,y∈Z},则 当x=1时，y=-1,0,1; A中元素的个数为 ( 所以A中的元素共有9个.] A.9 B.8 C.5 D.4 2.(2025·重庆市二模)若集合A={x∈Rax2 解析：A[x2+y≤3，x2≤3， 3x十2=0}中只有一个元素，则a= x∈Z,.x=-1,0,1, A号 C.0 当x=-1时，y=-1,0,1; D.0或号 ·2· 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 解析：D[若集合A中只有一个元素，则方程 4.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则 ax2一3.x十2=0只有一个实根或有两个相等实根. (m-n）2025 当a=0时=导，特合题意： =1, 解析：由M=N,知 或∫nm, 当a≠0时，由△=(-3)2-8a=0,解得a=8】 (log2n=m (logz n=1, 综上可知，a的取位为0或号] 。(m-)225=-1或0. 3.已知集合A={m十2,2m2十m},若3∈A,则m 答案：一1或0 解析：因为3∈A,所以m十2=3或2m十m=3. /题后反思/ 当m+2=3,即m=1时，2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3， 1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足 所以m=1不符合题意，舍去. 的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值 当2加十m=3时，解得m=一号或m=1(含去)， 后，要注意检验集合的元素是否满足互异性. 此时当m= 多时m十2=了≠8符合题意。 2.对于集合相等的问题，首先要分析已知元素 与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情 所以m= 3 21 况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否 答率：号 满足互异性， 考点二 集合间的基本关系（师生共研） [典例](1)已知集合A={xa.x=1},B={xx2-1= [互动探究] 0},若A二B,则a的取值构成的集合是 本例(1)中若A={x|ax>1(a≠0)}，B={xx2-1 >0},其他条件不变，则a的取值范围是 A.{-1} B.{1} 解析：由题意，得B={xx>1,或x<-1}, C.{-1,1} D.{-1,0,1} (2)已知集合A={x一2≤x≤7}，B={xm十1< 对于来合A.①当>0时，A={>} x<2m-1},若B二A,则实数m的取值范围是一 因为A二B,所以1≥1.又a>0,所以0<a≤1. [解析](1)由题意，得B={一1,1}， @当a<0时A-{<} 因为A三B,所以当A=☑时，a=0; 当A={-1}时，a=-1;当A={1}时，a=1. 因为ACB,所以上≤-1， a 又A中至多有一个元素， 又a<0,所以-1≤a<0, 综上所述，0<a≤1，或-1≤a<0. 所以a的取值构成的集合是{一1,0,1}. 故a的取值范围是[-1,0)U(0,1]. (2)当B=必时，有m十1≥2m-1,则m≤2. 答案：[-1,0)U(0,1] 当B≠必时，若B三A,如图. 方法指导/ 由集合的关系求参数的关键点 -2m+10 2m-17x 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关 fm+1≥-2 系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的 关系，解决这类问题要合理利用数轴、Venn图帮 则{2m-1≤7 ,解得2<m≤4. 助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点 m+1<2m-1 的取舍 综上，m的取值范围为m≤4. 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的 [答案](1)D(2){mm≤4} 情况. ·3· 艺考生文化课百日冲关·数学 [跟踪训练] 2.(2024·青岛三模)已知集合A= 1.已知集合A={x∈Nx3<27},则A的子集的个 B={x|log2x≥a},若B三(C.A),则a的取值范围 数是 是 A.4 B.8 C.16 D.32 解析：由士号≤0，得一2≤1<2，所以A={z x-2 解析：B[由x3<27,解得<3，所以A={x∈N 一2≤x<2},则CA={xx<一2，或x≥2}， 由log2x≥a,得x≥2，又B二(CRA),所以2≥2， x3<27}={x∈Nx<3}={0,1,2},所以A的子集 解得a≥1.故a的取值范围是[1，十o∞). 有2=8个.故选B.] 答案：[1，十∞) 考点三 集合的基本运算（多维探究） [命题角度1]求交集、并集 [命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值（范围） 1.(2025·北京卷)集合M={x2z-1>5},N={1,2,3}, 5.设集合A={1,2,4},B={xx2-4x+m=0}.若 则M∩N= A∩B={1},则B= ( A.{1,-3} B.{1,0} A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,3} D.{1,5} C.3} D.) 解析：C[由题意可知x=1是方程x2一4x十m=0的 解析：D[因为M={x2x-1>5}={xx>3},所以 解，代入解得m=3,所以x一4x十3=0，解得x=1或 M∩N=⑦，故选：D.] x=3,从而B={1,3}.] 2.(2025·四川质检)设集合A={1,2},B={2,4,6}则A 6.已知集合A={xx≤a},B={x|1≤x≤2}，且AU UB- (C.B)=R,则实数a的取值范围是 A.{2} B.{1,2} 解析：CB={xx<1,或x>2}, 要使AU(CRB)=R, C.{2,4,6} D.{1,2,4,6} 则a≥2.故实数a的取值范围是[2，十∞). 解析：D[由并集运算，得AUB={1,2,4,6.] 答案：[2，十o∞) [命题角度2]集合的交、并、补的综合运算 方法指导引 3.(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A= 解集合运算问题应注意以下三点 {1,3},B={2,3,5},则C,(AUB)= ( (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} 合中元素的构成入手是解决集合运算问题的 C.{2,4} D.(4} 关键 解析：D[A=1,3},B={2,3,5},AUB={1,2,3,5} (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简 .Cu(AUB)={4.] 再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决. 4.(2025·上海卷)已知全集U={x2≤x≤5，x∈R},集 (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 合A={x2≤x<4,x∈R},则A= 式有数轴、坐标系和Venn图. 解析：，U={x2≤x≤5}，A={x2≤x<4 提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集 .A={x4≤≤5}. 合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图 答案：{x4≤2≤5} 示法要特别注意端点是实心还是空心