第九章 第5节 古典概型-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

该高中数学高考复习课件聚焦概率与随机变量及其分布核心考点，依据高考评价体系梳理古典概型定义、特点、概率计算公式等必备知识，通过威海质检、成都二模等真题分析高频考点分布，归纳不同元素选取、互斥事件概率等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“知识夯实+真题演练+素养提升”模式，设置自主诊断辨析等可能性判断等易错点，用数学思维构建“判断概型-计算事件数-应用公式”解题步骤，结合古典概型与函数交汇题型解析，培养学生逻辑推理能力，助力教师精准把握考点，提升复习效率。

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节　古典概型 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课程标准 1.理解古典概型的定义及特点． 2．会应用古典概型的概率公式解决实际问题. 核心素养 1.简单的古典概型，达成数学建模和数学运算的素养． 2．复杂的古典概型，增强数学建模、逻辑推理和数学运算的素养． 3．古典概型的交汇问题，提升增强数学建模、逻辑推理和数学运算的素养. 　　考情聚焦 预计2026年的高考将以古典概型的计算、古典概型与统计等知识的综合考查为主．在选择题、填空题和解答题均可能以实际背景为基础出现，难度不大，属中档题型. [必备知识] 1．古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2．古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 3．古典概型的概率计算公式 样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则 　P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ)　，其中，n(A)与n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键. [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”(　　 ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件(　　) (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．(　　 ) (4)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　 ) (5)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× [小题查验] 1．(2025·威海质检)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A.eq \f(5,6)　　 B．eq \f(2,3)　　　 C.eq \f(1,2)　　 D．eq \f(1,3) 解析：A　[根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意的情况，即可得到概率． 甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有 6×6＝36种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有30种， 则其概率为eq \f(30,36)＝eq \f(5,6)，故选：A.] 2．(2025·成都二模)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(2,3) 解析：D　[设高一年级的两名学生为甲、乙，高二年级的两名学生为丙、丁，则从这4名学生中随机选2名的方法如下：(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)，共6种方法，其中二人来自不同年级的方法有4种，故所求概率为P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).故选D.] 3．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为____________． 解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有Ceq \o\al(7,10)种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(3,3)种不同的取法，故所求概率P＝eq \f(C\o\al(3,6)·C\o\al(3,3),C\o\al(7,10))＝eq \f(20,120)＝eq \f(1,6). 答案：eq \f(1,6) 考点一　简单的古典概型(自主探究) 1．(2025·济宁二模)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A.eq \f(1,6)　　 B．eq \f(1,3)　　　 C.eq \f(1,2)　　 D．eq \f(2,3) 解析：D　[总事件数共Ceq \o\al(2,7)＝eq \f(7×6,2)＝21， 取到的2个数互质的为 第一个数取2时，第二个数可以是3,5,7； 第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8； 第一个数取4时，第二个数可以是5,7； 第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8； 第一个数取6时，第二个数可以是7； 第一个数取7时，第二个数可以是8； 所以P＝eq \f(3＋4＋2＋3＋1＋1,21)＝eq \f(14,21)＝eq \f(2,3).] 2．(多选题)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是(　　) A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为eq \f(5,18) B．四人去了同一餐厅就餐的概率为eq \f(1,1 296) C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为eq \f(25,216) D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为eq \f(2,3) 解析：ACD　[四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有Aeq \o\al(4,6)种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为eq \f(A\o\al(4,6),64)＝eq \f(5,18)，故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为eq \f(6,64)＝eq \f(1,216)，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为eq \f(C\o\al(2,4)×52,64)＝eq \f(25,216)，故C正确；设四人中 去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4. 则P(ξ＝0)＝eq \f(54,64)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,4)53,64)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,4)52,64)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\o\al(3,4)×5,64)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,64)，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P eq \f(54,64) eq \f(C\o\al(1,4)53,64) eq \f(C\o\al(2,4)52,64) eq \f(C\o\al(3,4)×5,64) eq \f(1,64) 则四人中去一餐厅就餐的人数的期望E(ξ)＝0×eq \f(54,64)＋1×eq \f(C\o\al(1,4)53,64)＋2×eq \f(C\o\al(2,4)52,64)＋3×eq \f(C\o\al(3,4)×5,64)＋4×eq \f(1,64)＝eq \f(2,3)，故D正确．] 3．现分配3名师范大学生参加教学实习，有4所学校可供选择，每名学生随机选择一所学校，则恰有2名学生选择同一所学校的概率为____________． 解析：3名大学生各从4所学校中任选一所共有43种选法，恰有2名学生选择同一所学校共有Ceq \o\al(2,3)Aeq \o\al(2,4)种选法，所以所求的概率P＝eq \f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,4),43)＝eq \f(9,16). 答案：eq \f(9,16) 求古典概型概率的步骤 (1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件． (3)利用列举法或排列组合知识求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m. (4)计算事件A的概率P(A)＝eq \f(m,n). 考点二　复杂的古典概型(师生共研) [典例]　在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率． [解]　(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝eq \f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq \f(1,40)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq \f(1,40). (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝eq \f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq \f(1,10)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq \o(E,\s\up16(－)))＝1－P(E)＝eq \f(9,10). (3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝eq \f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq \f(1,4)，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝eq \f(3,4). (1)本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解． (2)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求． [跟踪训练] 某市为庆祝2025第十二届亚洲青少年武术锦标赛，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示． (1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率； (2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率． 解：(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知， f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05. 被采访人恰好在第1组或第4组的频率为 0．05＋0.020×10＝0.25.故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)∵第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6. ∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名． 设至少有1名女性群众为事件A，全都是男性群众为事件B，故事件A与事件B为对立事件， P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝1－eq \f(3,15)＝eq \f(4,5). 故至少有1名女性群众的概率为eq \f(4,5). 考点三　古典概型的交汇问题(多维探究) [命题角度1]　古典概型与平面向量相结合　 [典例1](2025·兰州市模拟)如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→))的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为____________． [解析]　基本事件的总数是4×4＝16，在eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OE,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→))中，当eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OQ,\s\up16(→))，eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(ON,\s\up16(→))，eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(ON,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→))，eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(OQ,\s\up16(→))时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－eq \f(4,16)＝eq \f(3,4). [答案]　eq \f(3,4) 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 (1)根据平面向量的知识进行坐标运算，得出事件满足的约束条件； (2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合的结果； (3)利用古典概型概率计算公式求解概率． [跟踪训练] 1．已知k∈Z，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(k,1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2,4)，若|eq \o(AB,\s\up16(→))|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是____________． 解析：因为|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(k2＋1)≤4，所以－eq \r(15)≤k≤eq \r(15)， 因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3， 当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC， 由eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2－k,3)，由eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3， 由eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率P＝eq \f(3,7). 答案：eq \f(3,7) [命题角度2]　古典概型与函数相结合　 [典例2]　已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数的概率是(　　 ) A.eq \f(9,16)　　 B．eq \f(7,16)　　　 C.eq \f(4,16)　　 D．eq \f(3,16) 解析：A　[记事件A为“函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增函数”．因为f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.当函数f(x)在R上为增函数时，f′(x)≥0在R上恒成立．又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥eq \f(b2,3). 当b＝1时，有a≥eq \f(1,3)，故a可取1,2,3,4，共4个数； 当b＝2时，有a≥eq \f(4,3)，故a可取2,3,4，共3个数； 当b＝3时，有a≥3， 故a可取3,4，共2个数； 当b＝4时，有a≥eq \f(16,3)，故a无可取值． 综上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9种． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16(种)．故所求事件A的概率为P(A)＝eq \f(9,16).故选A.] 古典概型与函数交汇问题的处理方法： (1)首先根据函数的相关性质，确定相关系数应满足的条件； (2)再根据系数满足的条件进行分类考虑，求出所有符合条件的基本事件个数； (3)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率． [跟踪训练] 2．设a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，b∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3))，则函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2＋bx＋1.在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－1))上单调递减的概率为____________；从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个，则它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率为____________． 解析：函数f(x)共有4种可能，即(a，b)为(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3) . 由题意，f′(x)＝ax＋b, f′(－1)≤0，即b≤a时有3种：(2,1)，，(4,1)，(4,3)，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－1))上单调递减的概率为eq \f(3,4). 而从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个，共有Ceq \o\al(2,4)＝6种抽法． ∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b， ∴两个函数在(1，f(1))处的切线互相平行，即a与b之和应该相等， 此时只有(2,3)，(4,1)这一组，∴所求概率为eq \f(1,6). 答案：eq \f(3,4)　eq \f(1,6) [命题角度3] 古典概型与统计相结合　 [典例3]　(2025·哈尔滨市道里区三模)棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉绒品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小于等于28 mm的为粗绒棉，纤维长度在(25,33]为细绒棉，纤维长度大于33 mm的为长绒棉，其中纤维长度在38 mm以上的棉花又名“军海1号”，某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分有表所示 纤维长度(mm) ≤25 (25,33] (33,38] ＞38 根数 2 38 40 20 (1)若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求 (2)用样本估计总体，若这批棉共有10 000 kg，基地提出了两种销售方案给采购商参考． 方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算． 方案二：对10 000 kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如表 纤维长度(mm) ≤25 (25,33] (33,38] ＞38 售价 元/kg 2 8 15 25 从采购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案． (3)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率． 解：(1)将频率作为概率， 根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P＝eq \f(60,100)＝60 %， ∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50 %以上的要求“. (2)方案一：13.5×10 000＝135 000. 方案二：2×200＋8×3 800＋15×4 000＋25×2 000＝140 800. ∴从采购商的角度，该用方案一． (3)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花， 其中“军海1号”抽取到6×eq \f(20,20＋40)＝2， 再从6根棉花中取两根进行检验， 基本事件总数n＝Ceq \o\al(2,6)＝15， 抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m＝Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,2)＝8， ∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率P＝eq \f(m,n)＝eq \f(8,15). 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． [跟踪训练] 3．(2025·内蒙古模拟)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表： 质量指标值m m＜185 185≤m＜205 m≥205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N(216,139)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 解：(1)根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260＋0.090＋0.025＝0.375. 由于该估计值小于0.5， 故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定； (2)由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375,0.5,0.125. 故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件， 再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种． ①一等品2件，二等品1件，三等品1件． ②一等品1件，二等品2件，三等品1件． P＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)C\o\al(2,4)C\o\al(1,1),C\o\al(4,8))＝eq \f(3,7)； (3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为： 170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4. “质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N(216,139)， 即质量指标的均值约为216. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6. $