第5节 古典概型-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

跟踪训练 解:(１)由已知共调查了１００人,其中４０分钟内不能赶 到火车站有１２＋１２＋１６＋４＝４４人． ∴用频率估计相应的概率为０．４４． (２)选择L１ 的有６０人,选择L２ 的有４０人,故由调查结 果得频率为 所用时间(分钟)１０~２０２０~３０３０~４０４０~５０５０~６０ 选择L１ 的频率 ０．１ ０．２ ０．３ ０．２ ０．２ 选择L２ 的频率 ０ ０．１ ０．４ ０．４ ０．１ (３)A１,A２ 分别表示甲选择L１ 和L２ 时,在４０分钟内赶 到火车站;B１,B２ 分别表示乙选择L１ 和L２ 时,在５０分 钟内赶到火车站．由(２)得P(A１)＝０．１＋０．２＋０．３＝０．６, P(A２)＝０．１＋０．４＝０．５,P(A１)＞P(A２),∴甲应选择 L１;P(B１)＝０．１＋０．２＋０．３＋０．２＝０．８,P(B２)＝０．１＋ ０．４＋０．４＝０．９,P(B２)＞P(B１), ∴乙应选择L２． 考点三 [典例]　[解]　(１)需求量不超过３００瓶,即最高气温不高 于２５℃,从表中可知有５４天, ∴所求概率为P＝５４９０＝ ３ ５． (２)当这种酸奶一天的进货量为４５０瓶时, 若最高气温不低于２５,则Y＝６×４５０－４×４５０＝９００; 若最高气温位于区间[２０,２５),则Y＝６×３００＋２(４５０－ ３００)－４×４５０＝３００, 若最高气温低于２０,则Y＝６×２００＋２(４５０－２００)－４× ４５０＝－１００, 所以,Y 的所有可能值为９００,３００,－１００． Y 大于零当且仅当最高气温不低于２０,由表格数据知, 最高气温不低于２０的频率为３６＋２５＋７＋４９０ ＝０．８ ,因此 Y 大于零的概率的估计值为０．８． 跟踪训练 １．B　[由题意P＝１－０．４５－０．１５＝０．４．故选B．] ２．解析:记“没有人排队”为事件A,“１人排队”为事件B, “２人排队”为事件C,则事件A,B,C 彼此互斥．记“至多 ２人排队”为事件E,则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋ P(B)＋P(C)＝０．１＋０．１６＋０．３＝０．５６． 答案:０．５６ 第５节 夯实􀅰必备知识　必备知识 ３．P(A)＝kn ＝ n(A) n(Ω) 思考辨析　(１)×　(２)×　(３)×　(４)√　(５)× 小题查验 １．A　２．D　３．１６ 跃升􀅰关键能力　考点一 １．D　[总事件数共 C２７＝ ７×６ ２ ＝２１ , 取到的２个数互质的为 第一个数取２时,第二个数可以是３,５,７; 第一个数取３时,第二个数可以是４,５,７,８; 第一个数取４时,第二个数可以是５,７; 第一个数取５时,第二个数可以是６,７,８; 第一个数取６时,第二个数可以是７; 第一个数取７时,第二个数可以是８; 所以P＝３＋４＋２＋３＋１＋１２１ ＝ １４ ２１＝ ２ ３． ] ２．解析:ACD　[四人去餐厅就餐的情况共有６４ 种,其中四 人去了四个不同餐厅就餐的情况有 A４６ 种,则四人去了 四个不同餐厅就餐的概率为 A４６ ６４ ＝ ５１８ ,故 A 正确;同理, 四人去了同一餐厅就餐的概率为６ ６４ ＝ １２１６ ,故 B错误;四 人中 恰 有 两 人 去 了 第 一 餐 厅 就 餐 的 概 率 为 C２４×５２ ６４ ＝ ２５ ２１６ ,故 C正确;设四人中 去第一餐厅就餐的人数为ξ,则ξ＝０,１,２,３,４． 则P(ξ＝０)＝ ５４ ６４ ,P(ξ＝１)＝ C１４５３ ６４ ,P(ξ＝２)＝ C２４５２ ６４ , P(ξ＝３)＝ C３４×５ ６４ ,P(ξ＝４)＝ １ ６４ ,则四人中去第一餐厅就 餐的人数的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ ４ P ５ ４ ６４ C１４５３ ６４ C２４５２ ６４ C３４×５ ６４ １ ６４ 则四人中去一餐厅就餐的人数的期望E(ξ)＝０× ５４ ６４ ＋１ × C１４５３ ６４ ＋２× C２４５２ ６４ ＋３× C３４×５ ６４ ＋４× １ ６４ ＝ ２３ ,故 D 正确．] ３．解析:３名大学生各从４所学校中任选一所共有４３ 种选 法,恰有２名学生选择同一所学校共有 C２３A２４ 种选法,所 以所求的概率P＝C ２ ３A２４ ４３ ＝９１６． 答案:９ １６ 考点二 [典例]　[解]　(１)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务” 为事件EA,那么P(EA)＝ A３３ C２５A４４ ＝１４０ ,即甲、乙两人同时 参加A 岗位服务的概率是１４０． (２)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那 么P(E)＝ A ４ ４ C２５A４４ ＝ １１０ ,所以甲、乙两人不在同一岗位服 务的概率是P(􀭺E)＝１－P(E)＝９１０． (３)有两人同时参加A岗位服务的概率P２＝ C２５A３３ C２５A４４ ＝１４ ,所 以仅有一人参加A岗位服务的概率P１＝１－P２＝ ３ ４． 跟踪训练 解:(１)设第１组[２０,３０)的频率为f１,则由题意可知, f１＝１－(０．０３５＋０．０３０＋０．０２０＋０．０１０)×１０＝０．０５． 被采访人恰好在第１组或第４组的频率为 ０．０５＋０．０２０×１０＝０．２５．故估计被采访人恰好在第１组 或第４组的概率为０．２５． (２)∵第１组[２０,３０)的人数为０．０５×１２０＝６． ∴第１组中共有６名群众,其中女性群众共３名． 设至少有１名女性群众为事件A,全都是男性群众为事 件B,故事件A 与事件B 为对立事件, P(A)＝１－P(B)＝１－C ２ ３ C２６ ＝１－３１５＝ ４ ５． 故至少有１名女性群众的概率为４５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５３􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点三 [典例１]　[解析]　基本事件的总数是４×４＝１６,在OG → ＝ OE → ＋OF → 中,当OG → ＝OP → ＋OQ →,OG→＝OP→＋ON→,OG→＝ON→ ＋OM →,OG→＝OM→＋OQ→时,点 G 分别为该平行四边形的 各边的中点,此时点G 在平行四边形的边界上,而其余 情况的点G 都在平行四边形外,故所求的概率是１－ ４１６ ＝３４． [答案]　３４ 跟踪训练 １．解析:因为|AB → |＝ k２＋１≤４,所以－ １５≤k≤ １５, 因为k∈Z,所以k＝－３,－２,－１,０,１,２,３, 当△ABC为直角三角形时,应有AB⊥AC,或AB⊥BC, 或AC⊥BC,由AB →􀅰AC→＝０,得２k＋４＝０,所以k＝－２, 因为BC → ＝AC → －AB → ＝(２－k,３),由AB →􀅰BC→＝０,得k(２－ k)＋３＝０,所以k＝－１或３, 由AC →􀅰BC→＝０,得２(２－k)＋１２＝０,所以k＝８(舍去), 故使△ABC为直角三角形的k 值为－２,－１或３,所以 所求概率P＝３７． 答案:３ ７ [典例２]　A　[记事件A 为“函数f(x)＝ax３＋bx２＋x－ ３在 R上为增函数”．因为f(x)＝ax３＋bx２＋x－３,所以 f′(x)＝３ax２＋２bx＋１．当函数f(x)在 R 上 为 增 函 数 时,f′(x)≥０在 R上恒成立．又a＞０,所以Δ＝(２b)２－４ ×３a＝４b２－１２a≤０在 R上恒成立,即a≥b ２ ３． 当b＝１时,有a≥１３ ,故a可取１,２,３,４,共４个数; 当b＝２时,有a≥４３ ,故a可取２,３,４,共３个数; 当b＝３时,有a≥３, 故a可取３,４,共２个数; 当b＝４时,有a≥１６３ ,故a无可取值． 综上,事件A 包含的基本事件有４＋３＋２＝９种． 又a,b∈{１,２,３,４},所以所有的基本事件共有４×４＝１６ (种)．故所求事件A 的概率为P(A)＝９１６． 故选 A．] 跟踪训练 ２．解析:函数f(x)共有４种可能,即(a,b)为(２,１),(２,３), (４,１),(４,３)． 由题意,f′(x)＝ax＋b,f′(－１)≤０,即b≤a时有３种: (２,１),,(４,１),(４,３),所 以 函 数 f (x)在 区 间 －∞,－１( ] 上单调递减的概率为３４． 而从满足条件的所有函数f(x)中随机抽取两个,共有 C２４＝６种抽法． ∵函数f(x)在(１,f(１))处的切线的斜率为f′(１)＝a ＋b, ∴两个函数在(１,f(１))处的切线互相平行,即a与b 之 和应该相等, 此时只有(２,３),(４,１)这一组,∴所求概率为１６． 答案:３ ４　 １ ６ [典例３]　[解]　(１)将频率作为概率, 根据以上数据,长绒棉占全部棉花的比例为P＝６０１００＝ ６０％, ∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的５０ ％ 以上的要求“． (２)方案一:１３．５×１００００＝１３５０００． 方案二:２×２００＋８×３８００＋１５×４０００＋２５×２０００＝ １４０８００． ∴从采购商的角度,该用方案一． (３)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取６根棉花, 其中“军海１号”抽取到６× ２０２０＋４０＝２ , 再从６根棉花中取两根进行检验, 基本事件总数n＝C２６＝１５, 抽到的两根棉花只有一根是“军海１号”包含的基本事 件个数m＝C１４C１２＝８, ∴抽到的两根棉花只有一根是“军海１号”的概率P＝ m n ＝ ８ １５． 跟踪训练 ３．解:(１)根据抽样调查数据,一等品所占比例的估计值为 ０􀆰２６０＋０􀆰０９０＋０．０２５＝０􀆰３７５． 由于该估计值小于０􀆰５, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要 占全部产品５０％”的规定; (２)由 直 方 图 知,一、二、三 等 品 的 频 率 分 别 为:０􀆰３７５, ０􀆰５,０􀆰１２５． 故在样本中用分层抽样的方法抽取的８件产品中,一等 品３件,二等品４件,三等品１件, 再从这８件产品中抽取４件,一、二、三等品都有的情形 有２种． ①一等品２件,二等品１件,三等品１件． ②一等品１件,二等品２件,三等品１件． P＝C ２ ３C１４C１１＋C１３C２４C１１ C４８ ＝３７ ; (３)“质量提升月”活动前,该企业这种产品的质量指标 值的均值约为: １７０×０􀆰０２５＋１８０×０􀆰１＋１９０×０􀆰２＋２００×０􀆰３＋２１０× ０􀆰２６＋２２０×０􀆰０９＋２３０×０􀆰０２５＝２００􀆰４． “质量提升月”活动后,产品质量指标值 X 近似满足X~ N(２１６,１３９), 即质量指标的均值约为２１６． 所以,“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动 前大约提升了１５􀆰６． 第６节 夯实􀅰必备知识　必备知识 (１)P(A)P(B)　(２)相互独立　(３)P(A)P(B) 思考辨析　(１)×　(２)√　(３)×　(４)×　(５)√ 小题查验 １．A　２．B　３．B 跃升􀅰关键能力　考点一 １．ABD　[依题意,P(A)＝C １ ２C１２＋C１２C１２ ４×４ ＝ １ ２ ,P(B)＝２４＝ １ ２ ,P(C)＝２４ ＝ １ ２ ,∴P(A)＝P(B)＝P(C),故 A 正 确;P(BC)＝P(B)P(C)＝１２× １ ２＝ １ ４ ,P(AC)＝C １ ２C１２ ４×４ ＝１４ ,P(AB)＝C １ ２C１２ ４×４＝ １ ４ , ∴P(BC)＝P(AC)＝P(AB),故 B 正 确;P(ABC)＝ C１２C１２ ４×４＝ １ ４ ,故 C错误;P(A)􀅰P(B)􀅰P(C)＝１２× １ ２× １ ２＝ １ ８ ,故 D正确．故选 ABD．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５３􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 参考答案 第５节　古典概型 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．理 解 古 典 概 型 的 定 义 及 特点． ２．会应用古典概型的概率公 式解决实际问题． １．简单的古典概型,达成数学建模和数 学运算的素养． ２．复杂的古典概型,增强数学建模、逻 辑推理和数学运算的素养． ３．古典概型的交汇问题,提升增强数学 建模、逻辑推理和数学运算的素养． 　　预计２０２６年的高考将以古典 概型的计算、古典概型与统计等知 识的综合考查为主．在选择题、填 空题和解答题均可能以实际背景 为基 础 出 现,难 度 不 大,属 中 档 题型． [必备知识] １．古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模 型,简称古典概型． ２．古典概型的特点:①有限性:样本空间的样本点 只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可 能性相等． ３．古典概型的概率计算公式 样本空间 Ω 包含n个样本点,事件A 包含其中 的k个样本点,则　　　　　　,其中,n(A)与 n(Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本 点个数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　一个试验是否为古典概型,在于这个试 验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可 能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概 型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号 里打“√”,错误的打“×”: (１)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发 芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽” (　　 ) (２)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反” “两个反面”,这三个结果是等可能事件 (　　) (３)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、 一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性 相同． (　　 ) (４)从－３,－２,－１,０,１,２中任取一数,取到的 数小于０与不小于０的可能性相同． (　　 ) (５)分别从３名男同学、４名女同学中各选一名 作代表,那么每个同学当选的可能性相同． (　　 ) [小题查验] １．(２０２５􀅰威海质检)某学校举办作文比赛,共６个 主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备 作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概 率为 (　　) A．５６ B． ２ ３ C． １ ２ D． １ ３ ２．(２０２５􀅰成都二模)某校文艺部有４名学生,其中 高一、高二年级各２名．从这４名学生中随机选２ 名组织校文艺汇演,则这２名学生来自不同年级 的概率为 (　　) A．１６ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ３．从０,１,２,３,４,５,６,７,８,９中任取七个不同的数, 则这七个数的中位数是６的概率为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点一　简单的古典概型(自主探究) １．(２０２５􀅰济宁二模)从２至８的７个整数中随机取２ 个不同的数,则这２个数互质的概率为 (　　) A．１６ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ２．(多选题)某学校共有６个学生餐厅,甲、乙、丙、 丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择 每个餐厅的概率相同),则下列结论正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为５１８ B．四人去了同一餐厅就餐的概率为 １１２９６ C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为２５２１６ D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为２３ ３．现分配３名师范大学生参加教学实习,有４所学 校可供选择,每名学生随机选择一所学校,则恰 有２名学生选择同一所学校的概率为　　　　． 求古典概型概率的步骤 (１)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理 解题意． (２)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求 事件． (３)利用列举法或排列组合知识求出总的基本事 件的个数n及事件A中包含的基本事件的个 数m． (４)计算事件A 的概率P(A)＝mn． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点二　复杂的古典概型(师生共研) [典例]　在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者 被随机地分到A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者． (１)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率; (２)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (３)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的 概率． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 (１)本题属于求较复杂事件的概率问题,解题关 键是理解题目的实际含义,把实际问题转化 为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此 互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概 率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对 立事件的概率公式求解． (２)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事 件数时,要保证计数的一致性,就是在计算基 本事件数时,都按排列数求,或都按组合数求． [跟踪训练] 某市为庆祝２０２５第十二届亚洲青少年武术锦标 赛,围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题 开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随 机抽取１２０名群众,按他们的年龄分组:第１组[２０, ３０),第２组[３０,４０),第３组[４０,５０),第４组[５０, ６０),第５组[６０,７０],得到的频率分布直方图如图 所示． (１)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行 采访,估计被采访人恰好在第１组或第４组的 概率; (２)已知第１组群众中男性有３名,组织方要从 第１组中随机抽取２名群众组成志愿者服务队, 求至少有１名女性群众的概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２９１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学 考点三　古典概型的交汇问题(多维探究) [命题角度１]　古典概型与平面向量相结合 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例１](２０２５􀅰兰州市模拟) 如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点, P,Q,M,N 分别是线段OA, OB,OC,OD 的中点．在 A,P,M,C 中任取一点 记为E,在B,Q,N,D 中任取一点记为F．设G 为满足向量OG → ＝OE → ＋OF → 的点,则在上述的点G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外 (不含边界)的概率为　　　　． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋 　　 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法 (１)根据平面向量的知识进行坐标运算,得出事 件满足的约束条件; (２)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合 的结果; (３)利用古典概型概率计算公式求解概率． [跟踪训练] １．已知k∈Z,AB → ＝(k,１),AC → ＝(２,４),若|AB → |≤ ４,则△ABC是直角三角形的概率是　　　　． [命题角度２]　古典概型与函数相结合 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例２]　已知 M＝{１,２,３,４},若a∈M,b∈M, 则函数f(x)＝ax３＋bx２＋x－３在 R上为增函 数的概率是 (　　 ) A．９１６ B． ７ １６ C． ４ １６ D． ３ １６ 　　 古典概型与函数交汇问题的处理方法: (１)首先根据函数的相关性质,确定相关系数应 满足的条件; (２)再根据系数满足的条件进行分类考虑,求出 所有符合条件的基本事件个数; (３)最后利用古典概型的概率计算公式求解概率． [跟踪训练] ２．设a∈ ２,４{ },b∈ １,３{ },则函数f(x)＝１２ax ２＋ bx＋１．在区间 －∞,－１( ] 上单调递减的概率为 　　　　;从满足条件的所有函数f(x)中随机 抽取两个,则它们在(１,f(１))处的切线互相平行 的概率为　　　　． [命题角度３]古典概型与统计相结合 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [典例３]　(２０２５􀅰哈尔滨市道里区三模)棉花的 优质率是以其纤维长度来衡量的,纤维越长的棉 绒品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小 于等于２８mm的为粗绒棉,纤维长度在(２５,３３] 为细绒棉,纤维长度大于３３mm 的为长绒棉,其 中纤维长度在３８mm 以上的棉花又名“军海１ 号”,某采购商从新疆某一棉花基地抽测了１００ 根棉花的纤维长度,得到数据如下图频率分有表 所示 纤维长度 (mm) ≤２５ (２５,３３](３３,３８] ＞３８ 根数 ２ ３８ ４０ ２０ (１)若将频率作为概率,根据以上数据,能否认为 该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的 ５０％以上的要求 (２)用样本估计总体,若这批棉共有１００００kg, 基地提出了两种销售方案给采购商参考． 方案一:不分等级卖出,每千克按１３􀆰５元计算． 方案二:对１００００kg棉花先分等级再销售,分级 后不同等级的棉花售价如表 纤维长度 (mm) ≤２５ (２５,３３](３３,３８] ＞３８ 售价 元/kg ２ ８ １５ ２５ 从采购商的角度,请你帮他决策一下该用哪个 方案． (３)用分层抽样的方法从长绒棉中抽取６根棉 花,再从６根棉花中取两根进行检验,求抽到的 两根棉花只有一根是“军海１号”的概率． [尝试解答]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上篇:第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 　　 　　解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关 的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和 随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公 式进行计算． [跟踪训练] ３．(２０２５􀅰内蒙古模拟)某种产品的质量以其质量 指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如表: 质量指标值m m＜１８５１８５≤m＜２０５m≥２０５ 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取２００件,检测后 得到如图所示的频率分布直方图: (１)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生 产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品 ５０％”的规定? (２)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽 取８件,再从这８件产品中随机抽取４件,求抽 取的４件产品中,一、二、三等品都有的概率; (３)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升 月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值X 近似服从正态分布N(２１６,１３９),则“质量提升 月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提 升了多少? 学习至此,请完成配套训练　课时冲关五十五 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第６节　事件的相互独立性 课程标准 核心素养 考情聚焦 １．结合有限样本空间及古典概型, 了解事件相互独立的含义． ２．会利用相互独立事件的概率公式 计算随机事件的概率． １．事件相互独立的含义,达成数学抽象 的素养． ２．利用相互独立事件的概率公式计算 随机事件的概率,增强数据分析、逻 辑推理和数学运算的素养． 　　２０２６年的高考预计与古 典概型、二项分布及其数字 特征相结合,解决一些实际 问题． [必备知识] 相互独立事件 (１)对任意两个事件A与B,如果P(AB)＝　　　　 成立,则称事件A 与事件B 相互独立,简称为 独立． (２)如果事件A 与事件B 相互独立,则A 与􀭺B,􀭿A 与B,􀭿A 与􀭺B 也都　　　　． (３)事件A与事件B相互独立,则P(AB)＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响, 计算公式为P(AB)＝P(A)P(B),互斥事件是指 在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式 为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９１􀅰 艺考生文化课百日冲关􀅰数学