第九章 第10节 正态分布-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第10节　正态分布 1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　) A．0.6　　　　　　　　　 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析：C　[画出正态分布曲线如图，结合图象知： P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝(1－0.2－0.2)＝0.3.] 2．已知随机变量X～B(2，p)、Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.36，P(0＜Y＜2)＝p，则P(Y＞4)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 解析：C　[∵随机变量X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，P(X≥1)＝0.64，∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝0.36，可得p＝0.2，进而P(0＜Y＜2)＝p＝0.2，由此能求出P(Y＞4)＝P(Y＜0)＝0.3.] 3．(2025·黑龙江大庆三模)若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ≤a)＝P(ξ≥b)，则a2＋2b2的最小值为(　　) A．18 B．18 C．24 D．27 解析：C　[由题意可得＝3，则b＝6－a，所以a2＋2b2＝a2＋2(6－a)2＝3a2－24a＋72＝3(a－4)2＋24，易知当a＝4时，a2＋2b2的最小值为24.] 4．(2025·六安市三模)已知连续型随机变量ξ服从正态分布N，记函数f(x)＝P(ξ≤x)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 解析：C　[由连续型随机变量ξ服从正态分布N，可得μ＝，σ2＝，可得μ＝，σ＝，所以正态密度曲线关于x＝对称，即P(ξ≤x)＝P(ξ≥1－x)，由f(x)＝P(ξ≤x)，可得f(x)＝P(ξ≤x)在x≤时增加较快，在x＞时增加越来越慢，所以f(x)无对称轴，故AB错误；f(x)＋f(1－x)＝P(ξ≤x)＋P(ξ≤1－x)＝P(ξ≥1－x)＋P(ξ≤1－x)＝1， 所以f(x)关于点成中心对称，故C正确，D错误．] 5．(多选题)(2024·咸阳质检)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则(　　) A．μ＝80，σ＝400 B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C．从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 解析：BCD　[对A：由E(X)＝80，D(X)＝400，则μ＝80，σ2＝400，故A错误；对于B：由μ＝80，σ2＝400，则X～N(80,202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P(100≤X≤120)＝，则P(60≤X≤120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；对C：P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××＝，故C正确；对D：P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确．] 6．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)上的概率和落在区间(3,5)上的概率相等，则这个正态总体的均值为____________． 解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值为1. 答案：1 7．黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2 000,10 000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为____________．(参考数据：若ξ服从N(μ，σ2)，有P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954 5， P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 3) 解析：∵服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率分别为0.682 7，随机变量ξ服从正态分布N(2 000,1002)，∴每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为×(1－0.682 7)≈0.158 7. 答案：0.158 7 8．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为__________． 解析：由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ<2)＝P(ξ≥6)＝0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x＝4，即P(ξ≥4)＝，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝. 答案： 9．(2025·济宁三模)每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间X(单位：小时)，对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学生的数据，统计如下表： 每周阅 读时间X [9,11) [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21) [21,23] 频率 0.05 0.1 0.15 0.4 0.2 0.06 0.04 (1)根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)； (2)若认为目前该校学生每周阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，用(1)中的平均值近似代替μ，且P(14≤X≤17.76)＝0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号．学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡．每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为： 购书卡的 金额(单位：元) 20 50 概率 记Y(单位：元)为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求Y的分布列与数学期望． 解：(1)＝10×0.05＋12×0.1＋14×0.15＋16×0.4＋18×0.2＋20×0.06＋22×0.04＝15.88. (2)由P(14≤X≤17.76)＝0.5，且正态密度曲线关于x＝μ＝15.88对称， 所以P(X＜14)＝P(X＞17.76)＝ ＝， P(X≥14)＝1－P(X＜14)＝1－＝， 由题意甲为“阅读之星”的概率为， 甲获赠购书卡金额Y的可能取值为20,40,50,70,100， P(Y＝20)＝×＝；P(Y＝40)＝××＝； P(Y＝50)＝×＝；P(Y＝70)＝C××＝＝； P(Y＝100)＝××＝. 故Y的分布列为： Y 20 40 50 70 100 P 所以E(Y)＝20×＋40×＋50×＋70×＋100×＝＝48， 故甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额为48.125元． 10．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k＝1,2，…，n)；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？ 附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3；≈19. 解：(1)预赛成绩在[60,80)范围内的样本量为：0.012 5×20×100＝25，预赛成绩在[80,100)范围内的样本量为：0.007 5×20×100＝15， 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则P(X≥1)＝＝，又P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)μ＝＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.012 5＋90×0.007 5)×20＝53， σ2＝362，则σ＝19，又Z～N(53,362)， 故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝[1－P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈0.022 75， 故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有120 000×0.022 75＝273人，因为273＜300，故小明有资格参加复赛． (3)设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ζ～B(n,0.8)，故E(ξ)＝0.8n， Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ， 故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－n2＋＋100＝－2＋， 因为n∈N*，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩． 学科网（北京）股份有限公司 $