第七章 第3节 圆的方程-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第3节　圆的方程 课程标准 核心素养 考情聚焦 　　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养． 2．与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养． 3．与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养 　　圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解 　　　　　　　　对应学生用书P142 [必备知识] 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的轨迹叫做圆 方程 标准方程 一般方程 (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r＞0) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心 坐标 (a，b) 半径 r 充要 条件 　D2＋E2－4F＞0　 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在　圆外　； (2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在　圆上　； (3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在　圆内　. 1.圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程． (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r为定值，a，b是参数． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　 ) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) (5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) 解析：(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时才表示圆． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．(2025·潍坊二模)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析：A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝.] 2．(2025·西城区模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－，) C．(－，) D． 解析：C　[∵(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<，选C.] 3．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(　　) A.　　 B．2　　　 C．3　　 D．3 解析：D　[圆x2＋y2－2x＋6y＝0的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝10，圆心坐标为(1，－3)，因此圆心到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝3.] 4．(2025·海口模拟)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝____________. 解析：x2＋(y－2)2＝m＋4，r2＝＝1，由题意m＋4＝1⇒m＝－3. 答案：－3 5．(2025·烟台二模)已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，求该圆的圆心坐标为____________． 解析：x2＋y2－2x－4y＝0⇒(x－1)2＋(y－2)2＝5，故圆心为(1,2)． 答案：(1,2) 　　　　　　对应学生用书P143 考点一　确定圆的方程(自主练透) [题组集训] 1．(2025·日照模拟)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________． 解析：设点A(0,0)，B(4,0)，C(－1,1)，D(4,2)，圆过其中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径． (1)若圆过A、B、C三点，则圆心在直线x＝2，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2⇒a＝3，r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13. (2)若圆过A、B、D三点，同(1)设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2⇒a＝1，r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. (3)若圆过A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5，联立得⇒r＝＝， 所以圆的方程为2＋2＝. (4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC中垂线方程为y＝5x－7，联立得⇒r＝＝， 所以圆的方程为2＋(y－1)2＝. 答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝ 2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为__________________． 解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可得解得所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 3．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的方程为__________． 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)则k,2为x2＋Dx＋F＝0的两根， ∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k， 又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0. ∴E＝－2k－1.故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为. ∵圆C在点P处的切线斜率为1， ∴kCP＝－1＝，∴k＝－3. ∴D＝1，E＝5，F＝－6. ∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0. 答案：x2＋y2＋x＋5y－6＝0 1．求圆的方程，一般采用待定系数法 (1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程． (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择设圆的一般方程． 2．在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的垂直平分线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 考点二　与圆有关的最值、范围问题(多维探究) [命题角度1]　与圆的几何性质有关的最值　 1．点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是____________． 解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1. ∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.易知点P(1,2)在圆外． ∴点P到圆心C的距离为： |PC|＝＝≥3. ∴|PC|min＝3.∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2. 答案：2 1．与圆相关的最值 若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函数求最值． 2．与圆的几何性质有关的最值 (1)记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为|AO|－r，最大为|AO|＋r； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦； (3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r； (4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． [命题角度2]　截距型最值问题　 2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则求y－x的最大值和最小值． 直观想象、数学运算——直线与圆 位置关系应用中的核心素养 以直线与圆位置关系的相关知识为基础，借助直线和方程、圆与方程，来解决最值问题，提升了直观想象、数学运算的核心素养．具体见下表： 信息提取 信息解读 直观想象、数学运算 已知圆的方程x2＋y2－4x＋1＝0 圆心(2,0)，半径 直观想象：数形结合，发现当直线y＝x＋b与圆x2＋y2－4x＋1＝0相切时，纵截距b取得最大值或最小值． 数学运算：利用点到直线的距离公式得＝ 求y－x的最大值和最小值 设b＝y－x，则y＝x＋b，因此y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距 解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. 形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，利用圆心到直线的距离列不等式即可，也可用三角代换求解． [命题角度3]　斜率型最值问题　 3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为____________，最小值为____________． 解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. 答案：　－ 形如μ＝形式的最值问题，最后都转化为动直线斜率的最值问题． [命题角度4]　距离型最值问题　 4．(2025·潍坊三模)在平面直角坐标系xOy中，已知A(－3,0)，B(1,0)，P为圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上动点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为(　　) A．34　　 B．40　　　 C．44　　 D．48 解析：B　[设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2＋2y2＋4x＋10＝2[(x＋1)2＋y2]＋8，即|PA|2＋|PB|2等价于点P到点Q(－1,0)的距离的平方的两倍加8，又|PQ|≥|QC|－|PC|＝－1＝5－1＝4，即|PA|2＋|PB|2≥2×42＋8＝40.] 形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 学科网（北京）股份有限公司 $