第三章 第3节 三角函数的图象与性质-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

该高中数学三角函数高考复习课件，覆盖定义域与值域、单调性、周期性、奇偶性及对称性等核心考点，严格对接高考评价体系，通过考情分析明确周期性、单调性及最值为高频考点，归纳出选择填空及中档解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，如结合2024天津卷最值题，用数学运算素养指导二次函数转化法求值域，通过2025新课标Ⅰ卷单调性题，以逻辑推理素养示范代换法突破单调区间。助力学生掌握答题技巧，教师可精准教学，提升复习效率。

第3节　三角函数的图象与性质 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第三章 三角函数、解三角形 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第三章 三角函数、解三角形 课程标准 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质 核心素养 1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养． 2．三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养 考情聚焦 　　三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 　eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠))))　 　eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))　 值域 　[－1,1]　 　[－1,1]　 R 周期性 2π 　2π　 　π　 奇偶性 　奇函数　 偶函数 奇函数 递增 区间 　eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))　eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))　 　[2kπ－π，2kπ]　 eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2))) 递减 区间 　eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))　 　eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))　 　[2kπ，2kπ＋π]　 无 对称 中心 　(kπ，0)　 　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) 对称轴 方程 x＝kπ＋eq \f(π,2) 　x＝kπ　 无 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　 ) (2)将余弦曲线向右平移eq \f(π,2)个单位就得到正弦曲线．(　　 ) (3)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))是奇函数．(　　 ) (4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．(　　 ) (5)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．设函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A.eq \f(10π,9)　　 B．eq \f(7π,6)　　　 C.eq \f(4π,3)　　 D．eq \f(3π,2) 解析：C　[由题图知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)))＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)ω＋\f(π,6)))＝0，所以－eq \f(4π,9)ω＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，化简得ω＝－eq \f(3＋9k,4)(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即eq \f(2π,|ω|)<2π<eq \f(4π,|ω|)，所以1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，1<|ω|<2，所以ω＝eq \f(3,2)，最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(4π,3).] 2．下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 解析：A　[函数y＝cos 2x的周期为π，∴函数f(x)＝|cos 2x|的周期为eq \f(π,2)，当eq \f(π,4)＜x＜eq \f(π,2)时，eq \f(π,2)＜2x＜π，y＝cos 2x递减且为负值，∴函数f(x)＝|cos 2x|在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增．] 3．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：BC　[A错，代x＝0便知；B显然对，两者值域相同；C显然对，两者最小正周期都为π；D错，前者对称轴为x＝eq \f(π,2)＋kπ，后者是x＝eq \f(3π,8)＋kπ.] 4．(多选题)(2025·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))中心对称，则(　　) A．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))单调递减 B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(11π,12)))有两个极值点 C．直线x＝eq \f(7π,6)是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝eq \f(\r(3),2)－x是曲线y＝f(x)的切线 解析：AD　[由题意得：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝0， 所以eq \f(4π,3)＋φ＝kπ，即φ＝－eq \f(4π,3)＋kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，所以k＝2时，φ＝eq \f(2π,3)， 故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))). 选项A：x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))时，2x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(3π,2)))， 由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B：x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(11π,12)))时，2x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2)))， 由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点， 由2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(3π,2)，可解得极值点； 选项C：x＝eq \f(7π,6)时，2x＋eq \f(2π,3)＝3π，y＝f(x)＝0，直线x＝eq \f(7π,6)不是对称轴； 选项D：由y′＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝－1，得 coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝－eq \f(1,2)， 解得2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)＋2kπ或2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(4π,3)＋2kπ， k∈Z， 从而得x＝kπ或x＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝f(x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))处的切线斜率为 k＝y′|x＝0＝2coseq \f(2π,3)＝－1， 切线方程为y－eq \f(\r(3),2)＝－(x－0)，即y＝eq \f(\r(3),2)－x.] 5．(2025·上海卷)函数y＝cos x在－eq \f(π,2)，eq \f(π,4)上的值域为______． 解析：本题考查了余弦函数的值域． ∵y＝cos x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,4)))，由余弦函数的图象可知x＝－eq \f(π,2)时，ymin＝0， 当x＝0时，ymax＝1.故y＝cos x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,4)))上的值域为[0,1]． 答案：[0,1] 考点一　三角函数的定义域、值域问题(自主练透) [命题角度1]　三角函数的定义域问题　 1．(1)函数y＝eq \r(sin x－cos x)的定义域为____________________． (2)函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为_______________________． 解析： (1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函数y＝eq \r(sin x－cos x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)). 法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x≥cos x的角x的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y＝eq \r(sin x－cos x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4))) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)). 法三(利用整体思想)：sin x－cos x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))≥0，将x－eq \f(π,4)视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－eq \f(π,4)≤π＋2kπ，k∈Z， 解得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z.所以函数y＝eq \r(sin x－cos x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋)) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，k∈Z)). (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin 2x＞0，,9－x2≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＜2x＜2kπ＋π，k∈Z，,－3≤x≤3.)) ∴－3≤x＜－eq \f(π,2)，或0＜x＜eq \f(π,2). ∴函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3≤x＜－\f(π,2)，或0＜x＜\f(π,2))). 答案：(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)) (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3≤x＜－\f(π,2)，或0＜x＜\f(π,2))) 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解． [命题角度2]　三角函数的值域(最值)问题　 2．(1)(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))) 的最小正周期为π，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,6)))的最小值为(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　 B．－eq \f(3,2)　　　 C．0　　 D．eq \f(3,2) 解析：A　[f(x)＝sin 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))＝sin(3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝eq \f(2π,3ω)＝π，得ω＝eq \f(2,3)， 即f(x)＝－sin 2x，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,6)))时， 2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))， 画出f(x)＝－sin 2x图象，如图， 由图可知，f(x)＝－sin 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,6)))上单调递减， 所以，当x＝eq \f(π,6)时， f(x)min＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).] (2)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cos x的最小值为____________． 解析：f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,2)))－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x＋\f(3,4)))2＋eq \f(17,8)，因为cos x∈[－1,1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值， ∴f(x)min＝－4. 答案：－4 1．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 考点二　三角函数的单调性(师生共研) [典例]　(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3) －2x))的单调递减区间为__________． [解析]　y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的减区间是 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的增区间． 由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z. 故所给函数的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z. [答案]　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z (2)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围是_______． 逻辑推理——三角函数单调性中应用的核心素养 具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 已知f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3))) 上是增函数 解读一：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))是函数f(x)单调递增区间的子区间． 解读二：ωx的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的子区间． 解读三：原点到区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))两端点的距离不超过eq \f(T,4) 推理一： 由函数y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2))) 上单调递增，求得f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)的单调递增区间． 求参数ω的取值范围 建立关于ω的不等式组 推理二：由不等式的基本性质求出ωx的取值范围． 推理三： 由正弦函数y＝sin x的图形与性质知原点到区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))两端点的距离等于eq \f(T,4) [解析]　方法一：第一步，求出f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)的单调递增区间． 由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得f(x)的增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,ω)－\f(π,2ω)，\f(2kπ,ω)＋\f(π,2ω)))，k∈Z. 第二步，转化为集合之间的关系，即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))是函数f(x)单调递增区间的子区间． ∵f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递增， ∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω))). 第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． ∴－eq \f(π,2)≥－eq \f(π,2ω)且eq \f(2π,3)≤eq \f(π,2ω)，∴ω∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))). 方法二：第一步，由x的取值范围求出ωx(ω＞0)的取值区间． ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))，ω＞0.∴ωx∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(ωπ,2)，\f(2πω,3)))， 第二步，由f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递增得ωx(ω＞0)的取值区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的子区间． 又f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递增， ∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(ωπ,2)，\f(2πω,3)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， 第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(ωπ,2)≥－\f(π,2)，,\f(2πω,3)≤\f(π,2)，))又ω＞0，得0＜ω≤eq \f(3,4). 方法三：第一步，由f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递增得原点到区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))端点的距离不超过eq \f(T,4). ∵f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上单调递增， 故原点到区间端点的距离不超过eq \f(T,4)， 第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,2)≤\f(T,4)，,\f(2π,3)≤\f(T,4)，))得T≥eq \f(8π,3)，即eq \f(2π,ω)≥eq \f(8π,3).又ω＞0， 得0＜ω≤eq \f(3,4).故ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))). [答案]　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) [互动探究] 在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解：法一：x∈R时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.令k＝0，得－eq \f(π,12)≤x≤eq \f(5π,12)； 令k＝－1，得－eq \f(13π,12)≤x≤－eq \f(7π,12)， 故x∈[－π，0]时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0)). 法二：因为－π≤x≤0，所以－eq \f(7π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤－eq \f(π,3)，结合正弦曲线， 由－eq \f(7π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤－eq \f(3π,2)，解得－π≤x≤－eq \f(7π,12)； 由－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤－eq \f(π,3)，解得－eq \f(π,12)≤x≤0， 所以所求函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12) ，0)). 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间． 　提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [跟踪训练] 1．(2025·南京质检)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上单调递减 B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上单调递增 C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递减 D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上单调递增 解析：C　[f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x，选项A中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,3)))，此时f(x)单调递增，选项B中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，此时f(x)先递增后递减，选项C中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，此时f(x)单调递减，选项D中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(7π,6)))，此时f(x)先递减后递增．] 2．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A.eq \f(π,4)　　 B．eq \f(π,2)　　　 C.eq \f(3π,4)　　 D．π 解析：A　[∵f(x)＝cos x－sin x＝eq \r(2) coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，∴由2kπ≤x＋eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)得－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，因此，[－a，a]⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴－a<a，－a≥－eq \f(π,4)，a≤eq \f(3π,4)，∴0<a≤eq \f(π,4)从而a的最大值为eq \f(π,4).] 考点三　三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究) [命题角度1]　三角函数的周期性　 1．(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　) A．y＝sin x＋cos x B．y＝sin xcos x C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sin2x－cos2x 解析：A　[对于A，sin x＋cos x＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2)cos x))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，则T＝2π，满足条件，故A正确； 对于B，sin xcos x＝eq \f(1,2)sin 2x，则T＝eq \f(2π,2)＝π，不满足条件，故B错误； 对于C，sin2x＋cos2x＝1，为常值函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故C错误； 对于D，sin2x－cos2x＝－cos 2x，则T＝eq \f(2π,2)＝π，不满足条件，故D错误．] 2．(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a＞0)是函数y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A.eq \f(π,6)　 B．eq \f(π,3)　　 C.eq \f(π,2)　 D．eq \f(4,3)π 解析：B　[依题知a－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)，即a＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，其中k∈Z，又a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值eq \f(π,3)，故选B.] 求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,|ω|)； (3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． [跟踪训练] (2025·成都模拟)已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数f(x)的奇偶性及最大值(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为eq \f(9,8) D．偶函数，最大值为eq \f(9,8) 解析：D　[函数f(x)定义域为R，且f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数；f(x)＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)，故最大值为eq \f(9,8).] [命题角度2]　三角函数的对称轴或对称中心　 3．当x＝eq \f(π,4)时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))(　　 ) A．是奇函数且图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称 B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 解析：C　[∵当x＝eq \f(π,4)时，函数f(x)取得最小值， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝－1，∴φ＝2kπ－eq \f(3π,4)(k∈Z)． ∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2kπ－\f(3π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4))). ∴y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))＝sin(－x)＝－sin x. ∴y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是奇函数，且图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称．] 若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可． [跟踪训练] (2025·日照模拟)记函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若eq \f(2π,3)≤T＜π，且y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2))中心对称，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(　　) A．1　　　 B．eq \f(3,2)　　　　 C.eq \f(5,2)　　　 D．3 解析：A　[ω＝eq \f(2π,T)∈(2,3)，y＝f(x)的函数图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2))中心对称，则有b＝2，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝2，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)ω＋\f(π,4)))＋2＝2，则eq \f(3π,2)ω＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z； 解得ω＝eq \f(4k－1,6)，由ω∈(2,3)，得k＝4，ω＝eq \f(5,2)， 故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)×\f(π,2)＋\f(π,4)))＋2＝－1＋2＝1.] [命题角度3]　三角函数奇偶性、对称性的应用　 4．使函数f(x)＝eq \r(3)sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)是偶函数，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上是减函数的θ的一个值是(　　 ) A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6) 解析：B　[∵函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cos (2x＋θ)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋θ＋\f(π,6)))是偶函数， ∴θ＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，即θ＝kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z ， 因此可取θ＝eq \f(π,3)， 此时，f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2 cos 2x，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上，即2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)单调递减．] 5．(2025·雅安市模拟)函数f(x)＝eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的对称轴方程为____________． 解析：对于函数f(x)＝eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象， 令2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，令k＝0，可得函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的对称轴方程为x＝eq \f(π,12). 答案：x＝eq \f(π,12) 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性的应用 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. (2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． [跟踪训练] 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增； ③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 解析：C　[∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)| ＝sin|x|＋|sin x|， ∴f(x)是偶函数，①对； f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，②错； f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错； f(x)的最大值为2，④对．] $